গাণিতিক যুক্তি

ধরি, কিউব ক এর সাইড ২x একক
এবং, কিউব খ এর সাইড x একক
∴ তল দুটির অনুপাত = ৬(২x)^২ : ৬(x)^২ = ২৪x^২ : ৬x^২ = ৪ : ১

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য ১৪ সে. মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ ৩০° হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ, θ = ৩০°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য, a = b = ১৪ সে. মি

আমরা জানি,
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (১/২)ab sinθ
=  (১/২) × ১৪ × ১৪ × sin৩০°
=  (১/২) × ১৪ × ১৪ × ১/২
= ৪৯ বর্গ সে. মি.

∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ৪৯ বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন: ৪৮০০ টাকার ২৫ শতাংশের ১৫ শতাংশের ১০ শতাংশ কত?

সমাধান: 
৪৮০০ টাকার ২৫ শতাংশ,
৪৮০০ টাকার ২৫% = ৪৮০০ × (২৫/১০০) = ১২০০ টাকা

আবার, ১২০০ টাকার ১৫ শতাংশ,
 ১২০০ টাকার ১৫% = ১২০০ × (১৫/১০০) = ১৮০ টাকা

এবং, ১৮০ টাকার ১০ শতাংশ,
১৮০ টাকার ১০% = ১৮০ × (১০/১০০) = ১৮ টাকা

অতএব, ৪৮০০ টাকার ২৫ শতাংশের ১৫ শতাংশের ১০ শতাংশ হলো ১৮ টাকা।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার 60% হতে 48 বিয়োগ করলে, ফলাফল হয় সংখ্যাটির 36%। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি, সংখ্যাটি = x
প্রশ্নমতে,
(60x/100) - 48 = (36x/100)
⇒ (60x/100) - (36x/100) = 48
⇒ 24x = 4800
⇒ x = 4800/24
⇒ x = 200

মনে করি,
ছাগলটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।
১০% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা
= ৯০ টাকা।
এবং ১৫% লাভে, বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ১৫) টাকা
= ১১৫ টাকা।
সুতরাং বিক্রয়মূল্য বেশি = (১১৫ - ৯০) = ২৫ টাকা।
বিক্রয়মূল্য ২৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০/২৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৫০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০×৫০/২৫ টাকা
= ২০০ টাকা।

প্রশ্ন: 2x² + 5x - 3 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: 2x² + 5x - 3 = 0
সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 2,
b = 5,
c = - 3

নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (5)² - 4 × 2 × (- 3)
= 25 + 24
= 49

যেহেতু 49 > 0,
নিশ্চায়ক ধনাত্মক হলে, মূল দুইটি বাস্তব ও অসমান হবে।
∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

প্রশ্ন: একটি ঘড়ি প্রতিদিন ২৪ মিনিট সময় হারায়। কতদিন পর ঘড়িটি সঠিক সময় নির্দেশ করবে?

​সমাধান:
আমরা জানি, 
​ঘড়ির কাঁটার সম্পূর্ণ ঘন্টা = ১২ ঘন্টা 
​অর্থাৎ ১২ ঘণ্টা = ১২ × ৬০ মিনিট = ৭২০ মিনিট সময় হারালে ঘড়িটি পুনরায় সঠিক সময় নির্দেশ করবে।
​
এখন, 
​২৪ মিনিট সময় হারায় = ১ দিনে
∴ ৭২০ মিনিট সময় হারায় = ৭২০/২৪ দিনে
= ৩০ দিনে
​
​অতএব, ঘড়িটি ৩০ দিন পর সঠিক সময় নির্দেশ করবে।

প্রশ্ন: 2, 5, 8, 9 তথ্যসারির ভেদাঙ্ক কত?

সমাধান:
এখানে,
তথ্য সংখ্যা, n = 4
∴ গাণিতিক গড় (x̄) = (2 + 5 + 8 + 9)/4
= 24 / 4
= 6

আমরা জানি, ভেদাঙ্ক (σ²) = Σ(x_i - x̄)²/n

∴ ভেদাঙ্ক = {(2 - 6)² + (5 - 6)² + (8 - 6)² + (9 - 6)²}/4
= {(- 4)² + (- 1)² + (2)² + (3)²}/4
= (16 + 1 + 4 + 9)/4
= 30/4
= 7.5

∴ তথ্যসারিটির ভেদাঙ্ক = 7.5

3^{m + 1}/(3^m)^m-1 ÷ 9^{m + 1}/(3^{m - 1})^{m + 1} ÷ 3^-2
3^{m + 1}/(3^m)^m-1 ÷ 9^{m + 1}/(3^{m - 1})^{m + 1} ÷ 3^-2
= 3^{m + 1}/(3^{m² - m} ÷ 3^{2m + 2}/3^{m² - 1} ÷ 3^-2
= 3^{m + 1 - m² + m} ÷ 3^{2m + 2 - m² + 1} ÷ 3^-2
= 3^{m + 1 - m² + m - 2m - 2 + m² - 1 + 2}
= 3⁰
= 1

ধারাটির প্রথম পদ a = ২
সাধারণ অন্তর d = -৫ - ২ = -৭
∴ ১২ তম পদ
= a+(n-1)d
= ২ +(১২ -১)(-৭)
= -৭৫

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ১২ সে.মি. এবং অতিভুজ ১৩ সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভূমি = ১২ সে.মি.
অতিভুজ = ১৩ সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই, 
অতিভুজ^২ = ভূমি^২ + উচ্চতা^২
⇒ ১৩^২ = ১২^২ + উচ্চতা^২
⇒ ১৬৯ = ১৪৪ + উচ্চতা^২
⇒ উচ্চতা^২ = ১৬৯ - ১৪৪
⇒ উচ্চতা^২ = ২৫
∴ উচ্চতা = √২৫ = ৫ সে.মি.

আমরা জানি, 
এখন সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
= (১/২) × ১২ × ৫
= ৬ × ৫
= ৩০ বর্গ সে.মি.

সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৩০ বর্গ সে.মি.।

প্রশ্ন: 0.75 + 0.0075 + 0.000075 +......... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা।
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.75
সাধারণ অনুপাত, r = 0.0075 / 0.75 = 0.01
যেহেতু |r| < 1, তাই ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় করা সম্ভব।
অসীম ধারার সমষ্টির সূত্র, S = a/(1 - r)
= 0.75/(1 - 0.01)
= 0.75/0.99
= 75/99
= 25/33
সুতরাং, ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল হলো 25/33।

অপশন থেকে সরাসরি উত্তর পাওয়া যায়। যেমন-
৩৪ এর ক্ষেত্রে স্থান বিনিময় করলে ৪৩ পাওয়া যায়।
সুতরাং, ৪৩-৩৪ = ৯ (উত্তর)

প্রশ্ন: যদি কোন বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 90 সে.মি. হয় তবে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
অতএব, বৃত্তের ব্যাস = 2r
এবং বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে,
2πr - 2r = 90
⇒ 2r(π - 1) = 90
⇒ 2r(22/7 - 1) = 90
⇒ 2r((22 - 7)/7) = 90
⇒ 2r(15/7) = 90
⇒ 30r/7 = 90
⇒ 30r = 90 × 7
⇒ r = (90 × 7)/30
⇒ r = 3 × 7
∴ r = 21

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ হলো 21 সে.মি.।

প্রতিবারে এক বা একাধিক বস্তুকে বাছাই করা যায় 2ⁿ -1 উপায়ে
মাহি এক বা একাধিক বন্ধুকে নিমন্ত্রন করতে পারবে 2¹² - 1 উপায়ে

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যার সমষ্টি √6 হলে, ঐ সংখ্যার ঘন ও ঘন-এর গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/x = √6

এখন
x³ + (1/x)³ = (x + 1/x)³ - 3. x. (1/x)(x + 1/x)
= (√6)³ - 3√6
= 6√6 - 3√6
= 3√6

সবাই ১৩ দিন খেয়েছে তাই বাকি আছে = ৪০ - ১৩ = ২৭ দিন
২৭ দিনের খাবার আছে = ১৫০০ জন সৈনিকের
১ দিনের খাবার আছে = ১৫০০ × ২৭ জন সৈনিকের
৩০ দিনের খাবার আছে = (১৫০০×২৭)/৩০ জন সৈনিকের = ১৩৫০
তাহলে অন্য জায়গায় গিয়েছে = ১৫০০-১৩৫০ = ১৫০জন

A এর উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ = 2³ = 8 টি।
A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2³ - 1 = 8-1 = 7 টি।
এবং A এর অপ্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 1 টি।

৮ কি ডিমের বিক্রয় মূল্য ৫০ টাকা
১২ টি ডিমের বিক্রয় মূল্য ( ৫০ × ১২ )/৮ = ৭৫ টাকা
২৫% ক্ষতিতে,
বিক্রয় মূল্য ৭৫ টাকা হলে ক্রয় মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয় মূল্য ৭৫ টাকা হলে ক্রয় মূল্য ( ১০০ × ৭৫ )/৭৫ = ১০০ টাকা

ধরি, ছাত্রসংখ্যা ক
প্রশ্নমতে, ক² = ৬৫৬১
বা, ক = √৬৫৬১ = ৮১

ক -
১৫ দিনে করে ১ অংশ
১ দিনে করে ১/১৫ অংশ

খ -
২০ দিনে করে ১ অংশ
১ দিনে করে ১/২০ অংশ

ক ও খ একত্রে ১ দিনে করে = (১/১৫ + ১/২০) = ৭/৬০ অংশ
ক ও খ একত্রে ৪ দিনে করে = ৭/১৫ অংশ।

অর্থাৎ, বাকী থাকে (১ - ৭/১৫) = ৮/১৫ অংশ।

মোট সদস্য সংখ্যা = ১১ জন
ম্যানাজারকে অর্থাৎ ১ জনকে সর্বদা বিদ্যমান রেখে কমিটি গঠনের মোট উপায় = ^(১১-১)C_(৪-১)
= ^১০C_৩
= ১২০

প্রশ্ন: 5^1/4 × (125)^0.25  এর মান কত?

সমাধান:
5^1/4 × (125)^0.25
= 5^0.25 × (5³)^0.25
= 5^0.25 × 5^{(3 × 0.25)}
= 5^0.25× 5^0.75
= 5^{(0.25 + 0.75)}
= 5¹
= 5

4 + 8 + 16 + -----------
ধারাটির প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 8/4 = 2
সুতরাং ধারাটির সাধারণ তথা n তম পদ = ar^n-1
= 4.2^n-1
= 2².2^n-1
= 2^2+n-1
= 2ⁿ⁺¹

প্রশ্ন: যদি 2x - 7 ≤ 11 হয়, তাহলে-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ 2x - 7 ≤ 11
⇒ 2x − 7 + 7 ≤ 11 + 7 ; [উভয় পাশে 7 যোগ করে] 
⇒ 2x ≤ 18
⇒ x ≤ 18/2 ; [উভয় পাশে 2 দিয়ে ভাগ করে] 
∴ x ≤ 9

a - [a - a - (a - 1)]
= a - [a - a - a + 1]
= a - [- a + 1]
= a + a - 1
= 2a - 1

প্রথম শর্তটি সবগুলো অপশনই পূর্ণ করে।
দ্বিতীয় শর্তের ক্ষেত্রে কেবল 93 এর অংকদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে 39 হয় অর্থাৎ (93-39) = 54 হ্রাস পায়।
অর্থাৎ, সংখ্যাটি 54।
বিকল্প পদ্ধতিঃ
ধরি,
একক স্থানিয় অংক = x
দশক স্থানীয় অংক = y
∴ সংখ্যাটি = 10y + x
এবং x + y = 12 -------- (1)
প্রশ্নমতে,
10x + y = (10y+x) - 54
⇒ 10x + y - 10y - x = -54
⇒ 9x - 9y = -54
∴ x - y = -6 ----------- (2)
এখন,
(1)+(2) ⇒ (x+y) + (x-y) = 12 - 6
⇒ 2x = 6
⇒ x = 3
আবার, (1) - (2) ⇒ (x+y) - (x-y) = 12 - (-6)
⇒ 2y = 18
⇒ y = 9
∴ সংখ্যাটি = 10y + x = 10(9) + 3 = 93

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 154 বর্গমিটার এবং পরিধি 44 মিটার হলে, বৃত্তটির ব্যাস কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ব্যাস = 2r

আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে, বৃত্তের পরিধি = 44 মিটার
∴ 2πr = 44
⇒ 2 × (22/7) × r = 44
⇒ (44/7) × r = 44
⇒ r = 44 × (7/44)
⇒ r = 7 মিটার

বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 7 মিটার
∴ বৃত্তটির ব্যাস = 2 × 7 = 14 মিটার

অতএব, বৃত্তটির ব্যাস হলো 14 মিটার।