গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: একটি খুটির দৈর্ঘ্য 20 মিটার। এর ছায়ার দৈর্ঘ্য কত মিটার হলে উন্নতি কোণ 45° হবে?
সমাধান:
খুটির দৈর্ঘ্য AB = 20 মিটার
ছায়ার দৈর্ঘ্য BC = ?
সূর্যের উন্নতি কোণ ∠ACB = θ = 45°

∆ABC এ
tanθ = AB/BC
⇒ tan 45° = 20/BC
⇒ 1 = 20/BC
⇒ BC = 20

∴ ছায়ার দৈর্ঘ্য = 20 মিটার

রেখার কোনো প্রান্তবিন্দু নাই কিন্তু রশ্মির একটিমাত্র প্রান্তবিন্দু থাকে।
আবার, রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।
একটি বিন্দু থেকে একাধিক রশ্মি আঁকা যায়।

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ৭৩০ টাকায় বিক্রয় করায় ৭০ টাকা ক্ষতি হয়। ক্ষতির শতকরা হার কত?

সমাধান:
ক্রয়মূল্য = ৭৩০ + ৭০ = ৮০০ টাকা

৮০০ টাকার জিনিস বিক্রয় করলে ক্ষতি হয় ৭০ টাকা
∴ ১ টাকার জিনিস বিক্রয় করলে ক্ষতি হয় ৭০/৮০০ টাকা
∴ ১০০ টাকার জিনিস বিক্রয় করলে ক্ষতি হয় (৭০ × ১০০)/৮০০ টাকা
= ৭০০০/৮০০ = ৮.৭৫ টাকা

∴ নির্ণেয় ক্ষতি = ৮.৭৫%

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে 55 জন শিক্ষার্থী আছে। তাদের মধ্যে 35 জন ক্রিকেট খেলে, 28 জন ফুটবল খেলে এবং 13 জন উভয় খেলায় অংশ নেয়। তাহলে কতজন শিক্ষার্থী কোনো খেলাই খেলে না?

সমাধান:
ক্রিকেট খেলে, n(C) = 35 জন
ফুটবল খেলে, n(F) = 28 জন
উভয় খেলা খেলে, n(C ∩ F) = 13 জন

আমরা জানি,
n(C ∪ F) = n(C) + n(F) - n(C ∩ F)
= 35 + 28 - 13
= 63 - 13
= 50

∴ না খেলা শিক্ষার্থীর সংখ্যা = 55 - 50 = 5 জন

প্রশ্ন: 4^{(a + 1)} = 64 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
4^{(a + 1)} = 64
⇒ 2^{2(a + 1)} = 2⁶
⇒ 2(a + 1) = 6
⇒ a + 1 = 6/2
⇒ a + 1 = 3
∴ a = 3 - 1
= 2

Option 1: The range of values that x takes is infinite.
Option 2: An infinite range of values.
Option 3: An infinite range of values.
Option 4: Finite range of values for 'x'.

Factorizing x² - 4x + 3 < 0 we get, (x - 3)(x - 1) < 0.
This inequality will hold good when one of the terms (x - 3) or (x - 1) is positive and the other is negative.

Possibility 1: (x -3) is positive and (x - 1) is negative.
i.e., x - 3 > 0 AND x -1 < 0
i.e., x > 3 AND x < 1
Such a number DOES NOT exist. It is an infeasible solution.

Possibility 2: (x - 3) is negative and (x - 1) is positive.
i.e., x - 3 < 0 AND x - 1 > 0
i.e., x < 3 AND x > 1
Essentially translates to 1 < x < 3

প্রশ্ন: কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যাকে ৯, ১৩ ও ১৭ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৫, ৯ ও ১৩ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
৯ - ৫ = ৪
১৩ - ৯ = ৪
১৭ - ১৩ = ৪

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৯, ১৩ ও ১৭ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৪ কম।

৯ = ৩ × ৩
১৩ = ১ × ১৩
১৭ = ১ × ১৭

এখন, ৯, ১৩ ও ১৭ এর ল.সা.গু = ৩ × ৩ × ১৩ × ১৭ = ১৯৮৯

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে = ১৯৮৯ - ৪ = ১৯৮৫

প্রশ্ন: একটি দ্রব্যের লিখিত মূল্য এর ক্রয়মূল্য অপেক্ষা ৪০% বেশি নির্ধারণ করা হয়েছে। উক্ত লিখিত মূল্যের ওপর শতকরা কত ছাড় দিলে মোটের ওপর ১২% লাভ হবে?

সমাধান: 
ধরি,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা। 
লিখিতমূল্য  = ১০০ + ১০০ এর ৪০%
= ১০০ + ১০০ × (৪০/১০০)
= ১০০ + ৪০ = ১৪০ টাকা

বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১০০ এর ১২%
= ১০০ + ১০০ × (১২/১০০)
= ১০০ + ১২ = ১১২ টাকা

∴ তাঁকে ছাড় দিতে হবে = (১৪০ - ১১২) = ২৮ টাকা

∴ লিখিত মূল্যের উপর ছাড়ের শতকরা হার = (২৮/১৪০) × ১০০ = ২০%

সুতরাং, লিখিত মূল্যের ওপর ২০% ছাড় দিলে মোটের ওপর ১২% লাভ হবে।

প্রশ্ন: একটি ল্যাপটপ ১৫% ক্ষতিতে বিক্রি করা হলো। যদি এটি ২১০০ টাকা বেশি দামে বিক্রি করা হতো, তবে ৬% লাভ হতো। ল্যাপটপটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ল্যাপটপটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা

১৫% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ১৫ = ৮৫ টাকা

৬% লাভে,
বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ৬ = ১০৬ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = ১০৬ - ৮৫ = ২১ টাকা

বিক্রয়মূল্য ২১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০/২১ টাকা
বিক্রয়মূল্য ২১০০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ২১০০)/২১ টাকা
= ১০০০০ টাকা

∴ ল্যাপটপটির ক্রয়মূল্য = ১০০০০ টাকা

প্রশ্ন: একটি চেয়ার ৮% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। যদি চেয়ারটি আরও ৭২০ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রয় করা হতো তবে ১২% লাভ হতো। চেয়ারটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
চেয়ারটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।

৮% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ৮) টাকা = ৯২ টাকা
১২% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ১২) টাকা = ১১২ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য বেশি = (১১২ - ৯২) টাকা = ২০ টাকা

এখন,
বিক্রয়মূল্য ২০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/২০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৭২০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৭২০)/২০ টাকা
= ৩,৬০০ টাকা

∴ চেয়ারটির ক্রয়মূল্য = ৩,৬০০ টাকা

প্রশ্ন: ১৮ ফুট উঁচু একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙ্গে গেল যে, ভাঙ্গা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সঙ্গে ৩০° কোণে মাটি স্পর্শ করলো। খুঁটিটি মাটি থেকে কত উঁচুতে ভেঙ্গে গিয়েছিল?

সমাধান: 
 
ধরি, 
মাটি থেকে h ফুট উঁচুতে খুঁটিটি ভেঙ্গে যায়।

আমরা জানি, 
sin 30° = লম্ব/অতিভুজ 
বা, ১/২ = h/(১৮ - h)
বা, (১৮ - h) = ২h
বা, ৩h = ১৮
বা, h = ১৮/৩ 
∴ h = ৬

সুতরাং, মাটি থেকে ৬ ফুট উঁচুতে খুঁটিটি ভেঙ্গ যায়।

প্রশ্ন: ০.০১ এর বর্গমূল কত?

সমাধান:
০.০১ = ১/১০০

∴ ০.০১ এর বর্গমূল = √(১/১০০)
= ১/১০ = ০.১০ 

প্রশ্ন: একটি সমবাহ ত্রিভূজের বাহুর দৈর্ঘ্য 4 মিটার হলে, ত্রিভূজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = 4 মিটার।
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a²
= √3/4 × 4²
= √3/4 × 16
= 4√3 বর্গমিটার

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
এখানে,
√7/√63
= √(7/63)
= √(1/9)
= 1/3

∴ 1/3 = √7/√63  মূলদ সংখ্যা। 

প্রশ্ন: 3 + x + y + z + 243 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, y এবং z এর সমষ্টি নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 3
ধরি, 
সাধারণ অনুপাত = r
∴ ২য় পদ ar^2-1 = ar = x
৩য় পদ = ar² = y
৪র্থ পদ = ar³ = z
৫ম পদ = ar⁴ = 243

প্রশ্নমতে, 
ar⁴ = 243
⇒ r⁴ = 243/3 = 81
∴ r = 3

এখন, 
∴ x = ar = 3 × 3 = 9
∴ y = ar² = 3 × 3² = 27 
∴ z = ar³ =  3 × 3³ = 81

∴ y, z এর সমষ্টি = 27 + 81 = 108

প্রশ্ন: q - {q - (q + 1)} = কত?
 
সমাধান:
q - {q - (q + 1)}
= q - {q - q - 1}
= q - { - 1}
= q + 1

প্রশ্ন: যদি ১৫ টি পোশাকের মধ্যে শতকরা ৪০ ভাগ পোশাক শার্ট হয় তবে ১৫ টি পোশাকের মধ্যে কতটি শার্ট নয়? 

সমাধান: 
১০০ টি পোশাকের মধ্যে শার্ট = ৪০ টি 
∴ ১ টি পোশাকের মধ্যে শার্ট = ৪০/১০০ টি 
∴ ১৫ টি পোশাকের মধ্যে শার্ট = (৪০ × ১৫)/১০০ টি 
= ৬ টি 

∴ পোশাকের মধ্যে শার্ট নয় = (১৫ - ৬) টি 
= ৯ টি।

প্রশ্ন: যদি কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হয়, তবে বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণটি কত ডিগ্রি?

সমাধান: 
যদি কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হয় অর্থাৎ,  a² + b² = c² হয়, তবে সেই ত্রিভুজটি অবশ্যই সমকোণী হবে এবং বৃহত্তম বাহুর (অতিভুজ) বিপরীত কোণটি হবে 90° বা এক সমকোণ। একে পিথাগোরাসের বিপরীত উপপাদ্য বলা হয়।

a² + 1/a²
= (a + 1/a)² - 2.a.1/a
= 5² - 2
= 23

প্রশ্ন: একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে, 5 অথবা তার থেকে বড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে মোট নমুনা ক্ষেত্র হবে = 6 টি
নমুনা ক্ষেত্র = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

এখন,
5 বা তার থেকে বড় সংখ্যাগুলো হলো = 5, 6
= 2 টি সংখ্যা

∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা সংখ্যা/মোট ঘটনা সংখ্যা
= 2/6
= 1/3

শুধু ক্রিকেট খেলে = ১৮ - ৭ = ১১ জন।
শুধু ফুটবল খেলে = ১৬ - ৭ = ৯ জন।
কোনটিই খেলে না = ৩২ - (১১ + ৯ + ৭)
= ৩২ - ২৭
= ৫ জন

প্রশ্ন: x + y = 7 এবং x - y = 1 হলে, xy এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
(x + y = 7) এবং (x - y = 1)

আমরা জানি,
4xy = (x + y)² - (x - y)²
= 7² - 1²
= 49 - 1
= 48
⇒ 4xy = 48
⇒ xy = 48/4
∴ xy= 12

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ 3 এবং তৃতীয় পদ 7 হলে, ধারাটির 12 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 3
৩য় পদ = 7
২য় পদ = (7 + 3)/2 = 10/2 = 5
সাধারণ অন্তর, d = 5 - 3 = 2

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
12 তম পদের সমষ্টি = (12/2){(2 × 3) + (12 - 1)2}
= 6{6 + (11 × 2}
= 6(6 + 22)
= 6 × 28
= 168

প্রশ্ন: (x² + 2) এবং (x⁴ - 2x² + 4) এর গুণফল নির্ণয় করুন- 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
(x² + 2)(x⁴ - 2x² + 4)
= (x² + 2){(x²)² - x² × 2 + 2²}
= (x²)³ + (2)³
= x⁶ + 8

প্রশ্ন: একজন ব্যবসায়ী লিখিত মূল্যের উপর ১০% ছাড় দেয়। সে ক্রয় মূল্য থেকে শতকরা কত বেশি নির্ধারণ করলে ১৭% লাভ করতে পারবে?

সমাধান: 
ধরি, নির্ধারিত মূল্য x টাকা এবং ক্রয় মূল্য ১০০ টাকা
১৭% লাভে বিক্রয় মূল্য = (১০০ + ১৭) টাকা
= ১১৭ টাকা

 প্রশ্নমতে,
x এর ৯০% = ১১৭
⇒ x × (৯০/১০০) = ১১৭
⇒ x = (১১৭ × ১০)/৯
⇒ x = ১৩০ 

∴ ক্রয় মূল্য থেকে (১৩০ - ১০০) = ৩০% বেশী নির্ধারণ করলে ১৭% লাভ করতে পারবে।

মানের ক্রম: ০.৬ > ০.৫০. > ০.০৬ > ০.০০৬

মই এর দৈর্ঘ্য x মিটার হলে,
x² = 15² + 8² = 289
∴ x = 17 m

প্রশ্ন: তিনটি নল দ্বারা একটি পানির ট্যাংক ২০ মিনিটে পূর্ণ হয়। নল তিনটি খুলে দেওয়ার ১২ মিনিট পর প্রথম এবং দ্বিতীয় নলটি বন্ধ করে দিলে ট্যাংকটি পূর্ণ হতে আরো ৩০ মিনিট সময় লাগলে শুধু তৃতীয় নলটি দ্বারা সম্পূর্ণ ট্যাংকটি পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
তিনটি নল দ্বারা,
২০ মিনিটে ট্যাংক পূর্ণ হয় = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১/২০ অংশ
∴ ১২ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১২/২০ অংশ = ৩/৫ অংশ

১২ মিনিট পর অবশিষ্ট থাকে = ১ - (৩/৫) অংশ
= ২/৫ অংশ

তৃতীয় নলটি,
২/৫ অংশ পূর্ণ করতে সময় লাগে = ৩০ মিনিট
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ করতে সময় লাগে = ৩০ × (৫/২) মিনিট
= ৭৫ মিনিট
= ১ ঘণ্টা ১৫ মিনিট [৬০ মিনিট = ১ ঘণ্টা]

∴ শুধু তৃতীয় নলটি দ্বারা সম্পূর্ণ ট্যাংকটি পূর্ণ করতে সময় লাগবে = ১ ঘণ্টা ১৫ মিনিট

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রকৃত ভগ্নাংশ?

সমাধান:
প্রকৃত ভগ্নাংশে লব হরের চেয়ে ছোট হয়।

এখানে,
৩/৮ ভগ্নাংশে লব (৩) হর (৮)-এর চেয়ে ছোট, তাই এটি প্রকৃত ভগ্নাংশ।

অন্যদিকে,
৯/৭, ১১/৯, ৭/৫ ভগ্নাংশগুলোর লব হরের চেয়ে বড়, তাই এগুলো অপ্রকৃত ভগ্নাংশ।

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৪৫ কিলোমিটার গতিতে একটি সেতু ৫০ সেকেন্ডে পার হলো। ট্রেনের দৈর্ঘ্য ২৫০ মিটার হলে সেতুটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান: 
এখানে, 
৪৫ কিলোমিটার = (৪৫ × ১০০০) মিটার  
= ৪৫০০০ মিটার

আমনা জানি,
১ ঘণ্টা = ৩৬০০ মিনিট

৩৬০০ সেকেন্ডে ট্রেনটি অতিক্রম করে = ৪৫০০০ মিটার
∴ ৫০ সেকেন্ডে ট্রেনটি অতিক্রম করে = (৪৫০০০ × ৫০)/৩৬০০ = ৬২৫ মিটার

 আমরা জানি,
সেতু অতিক্রম করার জন্য ট্রেনকে তার নিজের দৈর্ঘ্য ও সেতুর দৈর্ঘ্যের সমান পথ অতিক্রম করতে হবে।

∴ সেতুটির দৈর্ঘ্য = (৬২৫ - ২৫০) মিটার
= ৩৭৫ মিটার

 Question: If 9^{2x + 1} = 81, then x = ?

Solution:
9^{2x + 1} = 81
বা, 9^{2x + 1} = 9² 
বা, 2x + 1 = 2
বা, 2x = 2 - 1
বা, 2x = 1
বা, x = 1/2