গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: ৩০ টাকা ৭৫ টাকার শতকরা কত?

সমাধান: 
৩০ টাকা ৭৫ টাকার শতকরা = (৩০/৭৫) × ১০০%
= ৪০%

ΔABD ত্রিভূজের অতিঃ BD = ১০ সে. মি.
∴ AB = AD = ১০/√২ সে. মি.
∴ ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = ১/২ × ১০/√২ × ১০/√২ = ২৫ বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন: 'SYLHET' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'PABNA' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
'SYLHET' শব্দটিতে মোট বর্ণ = 6, সব ভিন্ন।
সুতরাং বিন্যাস সংখ্যা = 6! = 720

'PABNA' শব্দটিতে মোট বর্ণ = 5, যেখানে A দুইবার আছে।
বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2! = 120/2 = 60

এখন,
 SYLHET/PABNA = 720/60
⇒ SYLHET/PABNA = 12
⇒ SYLHET = 12 × PABNA

অর্থাৎ  'SYLHET' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'PABNA' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার 12 গুণ।

প্রশ্ন: ক, খ, গ, এর বেতনের অনুপাত ৭: ৫: ৩। খ, গ অপেক্ষা ২২২ টাকা বেশী পেলে ক এর বেতন কত?

সমাধান:
ধরি,
ক এর বেতন = ৭ক
খ এর বেতন = ৫ক
গ এর বেতন = ৩ক
প্রশ্নমতে,
৫ক - ৩ক = ২২২
⇒ ২ক = ২২২
⇒ ক = ১১১
ক এর বেতন:
৭ক = ৭ × ১১১ = ৭৭৭ টাকা।

ধরি,
ত্রিভুজের কোণ তিনটি যথাক্রমে, x, x ও 2x।
প্রশ্নমতে, x + x + 2x = 180°
বা, 2x = 90°
অর্থ্যাৎ, ত্রিভুজটির একটি কোণ একসমকোণ।
∴ ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: x + 2y = 12 এবং xy = 18 হলে, x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, xy = 18
⇒ y = 18/x

এখন,
x + 2y = 12
⇒ x + 2 × (18/x) = 12
⇒ x + 36/x = 12
⇒ x² + 36 = 12x
⇒ x² - 12x + 36 = 0
⇒ x² - 2 . x . 6 + 6² = 0
⇒ (x - 6)² = 0
⇒ (x - 6) = 0
⇒ x = 6
∴ x = 6

প্রশ্ন: যদি x > 0 এবং (x² + 1)² = 5x² হয়, তাহলে x³ + (1/x³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x² + 1)² = 5x²
বা, x² + 1 = √5x  [উভয়পক্ষকে বর্গমূল করে]
বা, (x² + 1)/x = √5
∴ x + (1/x) = √5

এখন,
প্রদত্ত রাশি = x³ + (1/x³)
= {x + (1/x)}³ - 3 . x . (1/x) {x + (1/x)}
= (√5)³ - 3(√5)
= 5√5 - 3√5
= 2√5

প্রশ্ন:

সমাধান:

এখানে, প্রথম পদ, a = ১৫, সাধারণ অন্তর, d = ৫ এবং শেষ পদ = ১৬৫।
সুতরাং পদ সংখ্যা = (শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণত অন্তর + ১
= {(১৬৫ - ১৫)/৫} + ১
= (১৫০/৫) + ১
= ৩০ + ১
= ৩১

3x + 3y + 3z = 90
⇒ 3(x + y + z) = 90
⇒ (x + y + z) = 30

∴ x, y, z এর গড় = 30/3 = 10

প্রশ্ন: ৭, ১১, ১৫, ১৯ সংখ্যার গাণিতিক গড় ৯, ১২, ১৫ এবং নিচের কোন সংখ্যার গাণিতিক গড়ের সমান?

সমাধান:
ধরি সংখ্যা = ক 

প্রশ্নমতে, 
(৭ + ১১ + ১৫ + ১৯)/৪ = (৯ + ১২ + ১৫ + ক)/৪ 
⇒ ৫২/৪ = (৩৬ + ক)/৪ 
⇒ ৩৬ + ক = ৫২ 
⇒ ক = ৫২ - ৩৬ 
∴ ক = ১৬ 

সুতরাং, ৭, ১১, ১৫, ১৯ এর গাণিতিক গড় = ৯, ১২, ১৫, ১৬ এর গাণিতিক গড়

ইংরেজিতে ফেল করে = ১০০-৯০ = ১০ জন।
১০ জন ফেল করলে পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ১০০ জন।
১ জন ফেল করলে পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ১০০/১০ জন।
৭০ জন ফেল করলে পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ১০০ X ৭০/১০ জন।
= ৭০০ জন।

মোট সংখ্যা = 6টি
4 থেকে বড় নয় এরুপ সংখ্যা = 4টি
∴ সম্ভবনা = 4/6 = 2/3

সুষম ষড়ভূজের মোট কোণের পরিমাণ = 180°× (n - 2)
                                               = 180°× (6 - 2)
                                               = 720°

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + 7 +......... ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3 - 1 = 2
আমরা জানি,
 সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টির, S_n = n/2 [2a + (n - 1)d]
∴ S_n = n/2 [2×1 + (n - 1)×2]
= n/2 [2 + 2n - 2]
= n/2 × 2n
= n²
সুতরাং, ধারাটির n পদের সমষ্টি হলো n²।

ঈগলু খাবার তৈরি করে = ১০ উপায়ে
নাবিস্কো খাবার তৈরি করে = ১২ উপায়ে
∴ খাবার তৈরির উপায় = ১০ + ১২
= ২২ [গণনার যোজন বিধি]

প্রশ্ন: 24 মি পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
 
ABCD বর্গের পরিসীমা = 24 মিটার
ABCD বর্গের বাহু = (24 ÷ 4) = 6 মিটার

যেহেতু বর্গটি অন্তর্লিখিত
∴ বৃত্তের ব্যাস = বর্গটির কর্ণ
= বাহু × √2
= 6√2 মিটার

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 6√2 ÷ 2 = 3√2 মিটার

∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π (3√2)2 বর্গ মিটার
= (π × 9 × 2) বর্গ মিটার
= 18π বর্গ মিটার

(x - y, 3) = (0, 2y - x)
∴ x - y = 0
বা, y = x
এবং 2y - x = 3
বা, 2.x - x = 3
∴ x = 3

প্রশ্ন: 2a² - 6a + 4 = 0  হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
2a² - 6a + 4 = 0
⇒ 2a² - 4a - 2a + 4 = 0
⇒ 2a(a - 2) - 2(a - 2) = 0
⇒ (a - 2)(2a - 2) = 0

হয়, a - 2 = 0 ⇒ a = 2
অথবা, 2a - 2 = 0 ⇒ 2a = 2 ⇒ a = 1
∴ a এর মান 1, 2

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনবাহুর দৈর্ঘ্য ৬, ৮ ও ১০ মিটার। নিকটতম বর্গমিটারে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
তিনবাহুর দৈর্ঘ্য a = ৬ মিটার, b = ৮ মিটার, c = ১০ মিটার

ত্রিভুজটির পরিসীমা (২s) = ৬ + ৮ + ১০ = ২৪ মিটার
∴ অর্ধ-পরিসীমা (s) = ২৪/২ = ১২ মিটার

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)} বর্গমিটার
= √{১২(১২ - ৬)(১২ - ৮)(১২ - ১০)}
= √{১২ × ৬ × ৪ × ২}
= √৫৭৬ বর্গমিটার
= ২৪ বর্গমিটার

প্রশ্ন:

সমাধান:

৩টি আমের ক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি আমের ক্রয়মূল্য ১/৩ টাকা
আবার, ২টি আমের বিক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি আমের বিক্রয়মূল্য ১/২ টাকা
∴ লাভ = (১/২)-(১/৩) = ১/৬ টাকা
এখন ১/৩ টাকায় লাভ হয় ১/৬ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় (১×৩)/৬ টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় (১×৩×১০০)/৬ টাকা
= ৫০ টাকা
∴ নির্ণেয় লাভ ৫০%

প্রশ্ন: বার্ষিক ৮% সুদে ১২০০ টাকার ৫ বছরের যে সুদ হয়, বার্ষিক ৬% সুদে কত টাকার ১০ বছরের তত সুদ হবে?

সমাধান:
৮% হারে ১২০০ টাকার ৫ বছরের সুদ = ১২০০ × ৫ × (৮/১০০)
= ৪৮০ টাকা

আমরা জানি,
সুদ = আসল × সময় × সুদের হার
বা, আসল = সুদ / (সময় × সুদের হার)
বা, আসল = ৪৮০ / {১০ × (৬/১০০)}
বা, আসল = (৪৮০ × ১০০) / (১০ × ৬)
বা, আসল = ৪৮০০০ / ৬০
বা, আসল = ৮০০ 

∴ আসল = ৮০০ টাকা

ΔABC এর ক্ষেত্রফল
= 1/2 × বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের গুণফল × বাহুদ্বয়ের অর্ন্তভুক্ত কোণের সাইন
= 1/2 ab SinC
= 1/2 bc SinA
= 1/2 ca SinB

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৫৭, ৯৩, ১৮৩ কে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে না। 

সমাধান: 
নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা হবে ৫৭, ৯৩ ও ১৮৩ এর গ.সা.গু।
৫৭ = ৩ × ১৯
৯৩ = ৩ × ৩১
১৮৩ = ৩ × ৬১

∴ ৫৭, ৯৩ ও ১৮৩ এর গসাগু ৩।

সুতরাং নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা ৩।

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ১০ম পদ ৫৮ হলে, তার প্রথম ১৯ পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - ১)d

∴ ১০ম পদ = a + (১০ - ১)d = a + ৯d

প্রশ্নমতে,
a + ৯d = ৫৮

আমরা জানি,
প্রথম nটি পদের সমষ্টি, Sn = (n/২){২a + (n - ১)d}
∴ প্রথম ১৯টি পদের সমষ্টি, S_১৯ = (১৯/২){২a + (১৯ - ১)d}
= (১৯/২)(২a + ১৮d)
= (১৯/২) × ২(a + ৯d)
= ১৯ × (a + ৯d)
= ১৯ × ৫৮
= ১১০২

∴ প্রথম ১৯ পদের সমষ্টি হলো ১১০২

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৬ মিটার হলে, চতুর্ভুজটির পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার 
= ২ × (৮ + ৬) মিটার 
= (২ × ১৪) মিটার 
= ২৮ মিটার ।

১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোঃ ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯
∴ পরিসর = বৃহত্তম সংখ্যা - ক্ষুদ্রতম সংখ্যা
= ১৯ - ২
= ১৭

প্রশ্ন: একটি মোবাইল ফোনের বিক্রয়মূল্য ক্রয়মূল্যের ৬/৫ অংশের সমান। শতকরা লাভ বা ক্ষতি নির্ণয় কর।

সমাধান:
মনে করি, 
মোবাইল ফোনের ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য = (১০০ × ৬/৫) টাকা 
= ১২০ টাকা

ক্রয়মূল্য থেকে বিক্রয়মূল্য বেশী হওয়ায় এখানে লাভ হয়েছে।

∴ লাভ = (১২০ - ১০০) টাকা = ২০ টাকা

শতকরা লাভ = (লাভ/ক্রয়মূল্য) × ১০০
= (২০/১০০) × ১০০ 
= ২০%

প্রশ্ন: ১০% হার মুনাফায় ৫০০০ টাকার ৩ বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ৫০০০ টাকা
সময়, n = ৩ বছর
সুদের হার, r = ১০/১০০ = ১/১০

আমরা জানি
সরল মুনাফা, I = Pnr
= ৫০০০ × ৩ × ১/১০
= ১৫০০ টাকা

চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় সবৃদ্ধিমূল, C = P(১ + r)ⁿ
= ৫০০০(১ + ১/১০)^৩
= ৫০০০(১১/১০) × (১১/১০) × (১১/১০)
= ৫০০০ × (১,৩৩১/১,০০০)
= ৬,৬৫৫ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = ৬,৬৫৫ − ৫০০০ = ১৬৫৫ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা ও সরল মুনাফার পার্থক্য = (১৬৫৫ − ১৫০০) টাকা
= ১৫৫ টাকা

প্রশ্ন: 54° কোণের বিপ্রতীপ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
54° কোণের বিপ্রতীপ কোণ হল সেই কোণ যা দুটি সরল রেখার মধ্যে তৈরি হয়, যখন তারা একে অপরকে ছেদ করে। বিপ্রতীপ কোণগুলি সমমান হয়ে থাকে।

অতএব, 54° কোণের বিপ্রতীপ কোণও হবে 54°।