গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: তিনটি ঘণ্টা যথাক্রমে ২০ মিনিট, ৩০ মিনিট ও ৪০ মিনিট অন্তর বাজে। দুপুর ১২:০০ টায় তিনটি ঘণ্টা একবার একত্রে বাজলে আবার কখন তারা একত্রে বাজবে?

সমাধান:
২০, ৩০ ও ৪০ এর ল.সা.গু হলো ঘণ্টাগুলোর পরবর্তী একত্রে বাজার সময়।
২০ = ২ × ২ × ৫
৩০ = ২ × ৩ × ৫
৪০ = ২ × ২ × ২ × ৫

∴ ২০, ৩০ ও ৪০ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
= ১২০

অর্থাৎ, ঘণ্টাগুলো ১২০ মিনিট পর আবার একত্রে বাজবে।
এখন, ১২০ মিনিট = ২ ঘণ্টা [ ১ ঘণ্টা = ৬০ মিনিট]

∴ ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে = (১২ : ০০ + ২ ঘণ্টা)
= ০২ : ০০ টায়।

প্রশ্ন: একটি বাগানের দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার ও প্রস্থ ২০ মিটার। বাগানের বাইরে চারিদিকে ২ মিটার চওড়া রাস্তা আছে। রাস্তাসহ বাগানের  ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,  
বাগানের দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার এবং প্রস্থ ২০ মিটার
এবং বাগানের বাইরে চারিদিকে ২ মিটার চওড়া রাস্তা আছে

∴ রাস্তা সহ মোট দৈর্ঘ্য = {২৫ + (২ × ২)} মিটার 
= ২৯ মিটার
এবং, রাস্তা সহ মোট প্রস্থ = {২০ + (২ × ২)} মিটার 
= ২৪ মিটার

∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (২৯ × ২৪)} বর্গ মিটার
= ৬৯৬ বর্গ মিটার

২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর ল.সা.গু. = ৬০
৯৯৯৯ কে ৬০ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় ১৬৬ এবং ভাগশেষ হয় ৩৯।
ভাজক ও ভাগশেষের পার্থক্যই হবে নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা।
∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা (৬০-৩৯) = ২১

মনে করি সংখ্যাটি ক
প্রশ্নমতে, ক - ক এর ২০% = ৪০
⇒ ক - ক/৫ = ৪০
⇒ ৪ক/৫ = ৪০
⇒ ক = (৪০× ৫)/৪ = ৫০

প্যাকেটে মোট তাস = 52
কালো তাস = 26
লাল তাস = 26
∴ তাস দু'টি ভিন্ন রংয়ের হওয়ার সম্ভাবনা = (²⁶c₁ × ²⁶c₁)/⁵²c₂
= (26 × 26)/1326
= 26/51

2x + 2/x = 3
বা, x + 1/x = 3/2
আমরা জানি,
a² + 1/b² = (a + 1/b)² - 2ab
∴ x² + 1/x² = (x + 1/x)2 - 2.x.1/x
= (3/2)² - 2
= 9/4 - 2
= 9/4 - 8/4
= 1/4

প্রশ্ন: ১০ টাকায় ১২ টি কলা ক্রয় করে, ১০ টাকায় ৯ টি কলা বিক্রি করলে শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান:
১২টি কলার ক্রয়মূল্য = ১০ টাকা
∴ ১টি কলার ক্রয়মূল্য = ১০ ÷ ১২ = ৫/৬ টাকা

৯টি কলার বিক্রয়মূল্য = ১০ টাকা
∴ ১টি কলার বিক্রয়মূল্য = ১০ ÷ ৯ = ১০/৯ টাকা

লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য
= (১০/৯) - (৫/৬) টাকা
= (২০ - ১৫)/১৮
= ৫/১৮ টাকা

প্রতি কলার ক্রয়মূল্য = ৫/৬ টাকা

∴ শতকরা লাভ = (লাভ ÷ ক্রয়মূল্য) × ১০০
= {(৫/১৮) ÷ (৫/৬)} × ১০০
= (৫/১৮) × (৬/৫) × ১০০
= (৬/১৮) × ১০০
= ১/৩ × ১০০
= (১০০/৩)%

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: 'JUMBLE' শব্দটিকে কত উপায়ে সাজানো যাবে যেন শব্দগুলো স্বরবর্ণ দিয়ে শুরু হয়?

সমাধান:
'JUMBLE' শব্দটিতে মোট ৬টি বর্ণ রয়েছে।
যেহেতু শব্দগুলো স্বরবর্ণ দিয়ে শুরু হবে তাহলে ১ম ঘরে U অথবা E বসবে।
১ম ঘর বাদে বাকি ৫ ঘর ৫টি বর্ণ দিয়ে সাজানো যাবে ৫P৫ = ৫! = ১২০ উপায়ে

∴ মোট সাজানোর উপায় = ২ × ১২০ = ২৪০

১২(১/২)%
= ২৫%/২
= ২৫/(২ × ১০০)
= ১/৮

প্রশ্ন: cos{(7π/2) + θ} =?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
cos{(7π/2)+θ} = cos{7×(π/2)+θ} 
= cos{(7×90°)+θ}

অর্থাৎ, 90° করে 7 বার ঘুরে 4th চতুর্ভাগে আসবে। যেখানে cosθ এর মান ধনাত্মক।
∴ cos{(7π/2) + θ}= sinθ.

৬ জন ছাত্র ৬ পৃষ্ঠা টাইপ করতে পারে ৬ মিনিটে
১ জন ছাত্র ১ পৃষ্ঠা টাইপ করতে পারে ৬×৬/৬ মিনিটে
= ৬ মিনিটে।

আমরা জানি, n সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে r সংখ্যক বস্তু একত্রে নিয়ে বিন্যাস = n^r
∴একজন প্রার্থী নির্বাচিত হবে =3⁴ = 81 উপায়ে।

দেওয়া আছে, x + 1/x = 2  
⇒ x² + 1/x² + 2.x.1/x = 4
⇒ x² + 1/x² = 2
⇒ x⁴ + 1/x⁴ + 2.x².1/x² = 4
⇒ x⁴ + 1/x⁴ = 2

∴ (x² + 1/x²)(x⁴ + 1/x⁴) = 2 × 2 = 4

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ও গ.সা.গু যথাক্রমে ২০০ এবং ৫। একটি সংখ্যা ৪০ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
অপর সংখ্যাটি = (ল.সা.গু × গ.সা.গু)/একটি সংখ্যা
= (২০০ × ৫)/৪০
= ২৫

∴ অপর সংখ্যাটি = ২৫

স্রোতের অনুকূলে লঞ্চের বেগ ঘন্টায় = লঞ্চের বেগ + স্রোতের বেগ
= ১৮ + ৬ কিমি
= ২৪ কিমি

∴ ৪৮ কিমি যেতে সময় লাগবে = ৪৮/২৪ ঘন্টা
= ২ ঘন্টা।

স্রোতের প্রতিকূলে লঞ্চের বেগ ঘন্টায় = লঞ্চের বেগ - স্রোতের বেগ
= ১৮ - ৬ কিমি
= ১২ কিমি

∴ ৪৮ কিমি যেতে সময় লাগবে ৪৮/১২ = ৪ ঘন্টা।
∴ মোট সময় লাগবে = ২ + ৪ ঘন্টা।
= ৬ ঘন্টা।

প্রশ্ন: একটি থলিতে ১২টি নীল বল, ১৪টি সাদা বল এবং ২২টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি নীল না হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
থলিতে মোট বল আছে = (১২ + ১৪ + ২২) টি 
= ৪৮টি
∴ নীল বল উঠার সম্ভাবনা = ১২/৪৮
= ১/৪

∴ নীল বল না উঠার সম্ভাবনা = (১ - ১/৪)
= (৪ - ১)/৪
= ৩/৪

প্রশ্ন: যদি a + b + c = 10 এবং a² + b² + c² = 24 হয়, তবে ab + bc + ca এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 10
এবং a² + b² + c² = 24

আমরা জানি, 
2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²) 
বা, 2(ab + bc + ca) = {(10)² - (24)}
বা, 2(ab + bc + ca) = (100 - 24)
বা, 2(ab + bc + ca) = 76
বা, (ab + bc + ca) = 76/2
∴ (ab + bc + ca) = 38

প্রশ্ন: 100 টি এক টাকার ও দুই টাকার মুদ্রা আছে। দুই টাকার মুদ্রার সংখ্যা এক টাকার মুদ্রার চেয়ে 20 টি বেশি। মোট টাকার পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরি,
এক টাকার মুদ্রার সংখ্যা x এবং দুই টাকার মুদ্রার সংখ্যা y 

প্রশ্নমতে,
x + y = 100 
এবং 
y = x + 20  (দুই টাকার মুদ্রা এক টাকার মুদ্রার চেয়ে ২০ টি বেশি)

প্রথম সমীকরণে দ্বিতীয় সমীকরণের মান বসিয়ে পাই,
x + (x + 20) = 100
⇒ 2x + 20 = 100 
⇒ 2x = 80 
∴ x = 40

তাহলে, y = x + 20 = 40 + 20 = 60 
∴ y = 60

এখন,
মোট টাকা = (এক টাকার মুদ্রার মূল্য) + (দুই টাকার মুদ্রার মূল্য) = (40 × 1) + (60 × 2) 
 = 40 + 120
= 160 টাকা 

প্রশ্ন: ৫ টাকায় ৮ টা করে কলা বিক্রয় করলে ২৫% ক্ষতি হয়। প্রতি ডজন কলার ক্রয়মূল্য কত? 

সমাধান: 
৮ টি কলার বিক্রয়মূল্য = ৫ টাকা 
∴ ১ টি কলার বিক্রয়মূল্য = ৫/৮ টাকা 
∴ ১২ টি কলার বিক্রয়মূল্য = (৫ × ১২)/৮ টাকা 
= ১৫/২ টাকা 

২৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ২৫) টাকা = ৭৫ টাকা 

বিক্রয়মূল্য ৭৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৭৫ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ১৫/২ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ১৫)/(৭৫ × ২) টাকা 
= ১০ টাকা 

∴ প্রতি ডজন কলার ক্রয়মূল্য = ১০ টাকা ।

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ ৪ সে. মি. এবং উচ্চতা ১০ সে মি হলে,সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল?

সমাধান: 
দেওয়া আছে
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = ৪ সে.মি.
উচ্চতা, h = ১০ সে.মি. 
 
আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= ২π × ৪(৪ + ১০)
= ২π × ৫৬
= ১১২π বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: যদি a² + ab + b² = 7 এবং a² - ab + b² = 5 হয়, তবে a⁴ + a²b² + b⁴ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + ab + b² = 7
a² - ab + b² = 5

সুতরাং সূত্রে বসালে পাই
a⁴ + a²b² + b⁴
= (a² + ab + b²)(a² - ab + b²)
= 7 × 5
= 35

প্রশ্ন: (.০০৯/?) = .০১ হলে, প্রশ্নবোধক চিহ্নের স্থানে কত বসবে?

সমাধান:
মনে করি,
(.০০৯/P) = .০১
⇒ P = ০.০০৯/০.০১
= P = ০.৯

x² - 5x + 6 ≥ 0
বা, x² - 3x - 2x + 6 ≥ 0
বা, x(x - 3) - 2(x - 3) ≥ 0
(x - 3)(x - 2) ≥ 0

সরলরেখা থেকে পাই
x ≤ 2 অথবা x ≥ 3

প্রশ্ন: ΔABC -এ ∠B এক সমকোণ। যদি AC = 2AB হয় তবে, ∠A এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, লম্ব AB = x
অতিভুজ AC = 2x



∴ sinC = x/2x 
⇒ sinC = 1/2 
⇒ sinC = sin30° 
⇒ C = 30°  

আমরা জানি, 
⇒ ∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠A + 90° + 30° = 180° 
⇒ ∠A = 180° - (90° + 30°)
∴ ∠A = 60°

৪ এর ক% = ১০
বা, ৪ এর ক/১০০ = ১০
বা, ৪ক = ১০০০
বা, ক = ২৫০

প্রশ্ন: যদি 2 + log₆(x - 1) = log₆(x + 6) হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2 + log₆(x - 1) = log₆(x + 6)
⇒ 2log₆6 + log₆(x - 1) = log₆(x + 6)   ; [log₆6 = 1]
⇒ log₆36 + log₆(x - 1) = log₆(x + 6)
⇒ log₆{36(x - 1)} = log₆(x + 6)
⇒ 36(x - 1) = x + 6
⇒ 36x - 36 = x + 6
⇒ 36x - x = 6 + 36
⇒ 35x = 42
⇒ x = 42/35
∴ x = 6/5

ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে,
x এর 40%+42 = x
⇒ 40x/100 + 42 = x
⇒ (40x+4200)/100 = x
⇒ 40x+4200 = 100x
⇒ 100x - 40x = 4200
⇒ 60x = 4200
∴ x = 70

এখানে,
n(A) = ৩৫,
n(F) = ৪০,
n(A ∩ F) = ২৫
∴ n(A ∩ F) = n(A) + n(F) - n(A ∩ F)
= ৩৫ + ৪০ - ২৫
= ৫০
∴ কোন ভাষায় কথা বলতে পারেনা এরুপ সদস্য সংখ্যা
= n(S) - n(A ∩ F)
= ৭০ - ৫০
= ২০

(3^x+6 - 9.3^x+3) / 3^x+2
= (3^x.3⁶ - 9.3^x.3³) / 3^x.3²
= 3^x(3⁶ - 9.3³) / 3^x.3²
= (729 - 243) / 9
= 54

প্রশ্ন: x² + 3x + 2, x² -1 এবং x² + x - 2 এর ল.সা.গু. কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি, 
x² + 3x + 2
= x² + 2x + x + 2
= x(x + 2) + 1(x + 2)
= (x + 2)(x + 1)

২য় রাশি, 
x² -1 
= (x + 1)(x - 1) 

৩য় রাশি, 
x² + x - 2
= x² + 2x - x - 2
= x(x + 2) - 1(x + 2)
= (x + 2)(x - 1) 

অতএব, ল.সা.গু = (x + 1)(x + 2)(x - 1) 

প্রশ্ন: গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 5 এবং চতুর্থ পদ 40 হয়, তবে সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ = a 
সাধারণ অনুপাত, r

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n তম পদ, a_n = a × r^{n - 1}

চতুর্থ পদ a₄ = 40 এর মান বসিয়ে পাই, 
a₄ = a × r^{4 - 1}
⇒ 40 = a × r^{4 - 1}
⇒ 40 = 5 × r³
⇒ r³ = 40/5
⇒ r³ = 8 = 2³
∴ r = 2

∴ সাধারণ অনুপাত হলো = 2