গাণিতিক যুক্তি

১ম বৃত্তের পরিধি = ২πa
∴ ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = a
২য় বৃত্তের পরিধি = ২πb
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = b
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দুরত্ব = a + b

চিত্রে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব C₁C₂ = a + b.

(3/x) + {4/(x+1)} = 2
বা, {3x+3+4x} / {x(x+1)} = 2
বা, 7x+3=2(x²+x)
বা, 2x²-7x+2x-3 = 0
বা, 2x²-5x-3 = 0
বা, 2x²-6x+x-3 = 0
বা, 2x(x-3)+1(x-3) = 0
বা, x-3 = 0 [(2x+1) = 0 is not acceptable]
So, x = 3

১ম সমীকরণ, 3x-7y = -10
২য় সমীকরণ, -14x + 7y = 21 [7y মেলানোর জন্য ২য় সমীকরণকে ৭ দিয়ে গুণ করা হয়েছে]
সমীকরণদ্বয় যোগ করলে পাই,
-11x = 11
⇒ x = -1
এখন, y-2x-3 = 0 সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
y - 2(-1) - 3 = 0
⇒ y+2-3 = 0
∴ y = 1

ধরি, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ R
∴ বিষুব রেখার দৈর্ঘ্য ২πR
তাহলে, ২πR = ৪,০০,০০,০০০ মিটার
∴ R = ৪,০০,০০,০০০/২π = ৪,০০,০০,০০০/(২ × ৩.১৪১৬) মিটার
= ৬৩৬৯৪২৬.৭৫ মিটার
= ৬৩৬৯.৪২৬ কিলোমিটার
পৃথিবীর ব্যাসার্ধ মোটামুটিভাবে ৬৪০০ কিলোমিটার। প্রায় সবক্ষেত্রে এ মানই ব্যবহৃত হয়।
এখানে, কাছাকাছি উত্তর হয় ৬৩৬৩.৬৩ কিলোমিটার।

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর ২। লব থেকে ৩ বিয়োগ ও হরের সাথে ৩ যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা ১/৩ এর সমান।

সমাধান:
মনে করি, প্রকৃত ভগ্নাংশটির লব = x এবং হর = x + ২

প্রশ্নমতে,
(x - ৩)/(x + ২ + ৩) = ১/৩
⇒ (x - ৩)/(x + ৫) = ১/৩
⇒ ৩(x - ৩) = x + ৫
⇒ ৩x - ৯ = x + ৫
⇒ ৩x - x = ৫ + ৯
⇒ ২x = ১৪
⇒ x = ৭

∴ ভগ্নাংশটির লব = ৭ এবং হর = (৭ + ২) = ৯

অতএব, ভগ্নাংশটি = ৭/৯

a² + 1/a²
= (a + 1/a)² - 2 . a . 1/a
= (5)² - 2
= 25 - 2
= 23

প্রশ্ন: 2x³ - 3x² + x - 6 কে x + 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
ধরি, p(x) = 2x³ - 3x² + x - 6
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, p(x) কে (x + 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে P(- 2)।
P(- 2) = 2(- 2)³ - 3(- 2)² + (- 2) - 6
= - 16 - 3(4) - 2 - 6
= - 16 - 12 - 2 - 6
= - 36

∴ নির্ণেয় ভাগশেষ হলো - 36

Speed = 60×(5/18) m/sec = 50/3 m/sec
Length of the train = (Speed×Time)
∴ Length of the train = (50/3)×9 m = 150 m

১ম পদ a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 1/2
আমরা জানি,
৮ম পদ = ar^{(8 - 1)}
= ar⁷
= 1 × (1/2)⁷
= 1 / 128

প্রশ্ন: 5 - 10 + 20 - 40 + ................ ধারাটির প্রথম 5টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = (- 10)/5 = - 2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n টি পদের সমষ্টি,
S_n = {a (1 - rⁿ)}/(1 - r)

∴ S₅ = [5{1 - (- 2)⁵ }]/{1 - (- 2)}
= {5 × (1 + 32)}/3
= 165/3
= 55

(9x)⁰ + 9x⁰
= 1 + 9 = 10

প্রশ্ন: ১.৫ মিটার এবং ১০ সেমি-এর অনুপাত কত?

সমাধান:
প্রথমে দুটি মানকে একই এককে (সেন্টিমিটারে) রূপান্তর করে পাই,
১.৫ মিটার = ১.৫ × ১০০ = ১৫০ সেমি ; [১ মিটার = ১০০ সেমি] 
দ্বিতীয় মান = ১০ সেমি

এখন অনুপাত = ১৫০ সেমি : ১০ সেমি
= ১৫০ : ১০
= ১৫ : ১ ; [১০ দিয়ে ভাগ করে] 

সুতরাং, ১.৫ মিটার এবং ১০ সেমি-এর অনুপাত হলো ১৫ : ১। 

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × 36 = 9√3 বর্গ মিটার

প্রশ্ন: তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হতে কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৫, ১০ ও ১৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
আমরা জানি, 
তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০
এবং, 
৫, ১০ ও ১৫ ল.সা.গু = ৩০

এখন,
১০০ ÷ ৩০ ⇒ 
ভাগফল = ৩
ভাগশেষ = ১০

∴ নির্ণেয় লঘিষ্ঠ সংখ্যা = ১০

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৮ সে.মি. ও ১৪ সে.মি. এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৭ সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৮ সে.মি. ও ১৪ সে.মি.
এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৭ সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) ×  (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব বা উচ্চতা
= (১/২) ×  (১৮ + ১৪) × ৭ বর্গ সে.মি.
= ১১২ বর্গ সে.মি.

ধরি বৃত্তের ব্যাসার্ধ = র একক
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πর^২ বর্গ একক
বৃত্তের পরিবর্তিত ব্যাসার্ধ = (র - র এর ১০/১০০) =(৯র/১০) একক
বৃত্তের পরিবর্তিত ক্ষেত্রফল = (৮১πর^২)/১০০ বর্গ একক
ক্ষেত্রফলের হ্রাসের পরিমাণ = ১৯πর^২/১০০ বর্গ একক
ক্ষেত্রফলের হ্রাসের হার = ((১৯πর^২/১০০)/πর^২) ×১০০ = ১৯%

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৪র্থ পদ ১৯ এবং ৬ষ্ঠ পদ ২৭ হলে, ধারাটির ২য় পদ কত? 

সমাধান: 
এখানে,
১ম পদ = a 
৪র্থ পদ = ১৯
৬ষ্ঠ পদ = ২৭

সাধারণ অন্তর, d = ২৩ - ১৯  = ৪

আমরা জানি,
৪ তম পদ = a + (৪ - ১)d 
বা, ১৯ = a  + ৩ × ৪
বা, ১৯ = a + ১২
বা, a = ১৯ - ১২
∴ a = ৭

২য় পদ = a + (২ - ১)d 
= ৭ + ৪
= ১১

প্রশ্ন: ১৫ এর ০.২ ÷ ০.৩ = কত?

সমাধান:
১৫ এর ০.২ ÷ ০.৩
= ১৫ এর (২/১০) ÷ ৩/১০
= ৩ ÷ ৩/১০
= ৩ × (১০/৩)
= ১০

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল 14 এবং বিয়োগফল 2 হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
দুইটি সংখ্যা হলো x এবং y ; [যেখানে, x > y]

দেওয়া শর্তমতে,
x + y = 14  ……… (1)
x - y = 2   ……… (2)

এখন দুটি সমীকরণ যোগ করে পাই, 
⇒ (x + y) + (x - y) = 14 + 2
⇒ 2x = 16
∴ x = 8
এখন x = 8 কে সমীকরণ (1)-এ বসাই, 
⇒ 8 + y = 14
⇒ y = 14 - 8
∴ y = 6

সুতরাং, সংখ্যা দুইটি 8 এবং 6

এখানে, ১৩^২ + ৯^২
= ১৬৯ + ৮১
= ২৫০ (১ম শর্ত)
আবার,
১৩ × ৯ = ১১৭

∴ সঠিক উত্তর - ঘ) ১৩ ও ৯।

প্রশ্ন: দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করলে কমপক্ষে একটি H আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দুটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করলে নমুনা হবে=HH, HT, TH, TT
কমপক্ষে একটি H আসার এমন ঘটনা = HH, HT, TH

∴ দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করলে কমপক্ষে একটি H আসার সম্ভাবনার = 3/4

প্রশ্ন: x + (1/x) = 7 হলে {x - (1/x)}² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + (1/x) = 7

∴ {x - (1/x)}² = {x + (1/x)}² - 4 . x . (1/x)
= 7² - 4
= 49 - 4
= 45

প্রশ্ন: 1024 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান: 
1024 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম = log₂1024
= log₂2¹⁰
= 10log₂2 [∴ log_aa = 1]
= 10 .1
= 10

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ 4 সে.মি. এবং উচ্চতা 9 সে.মি. হলে, উহার তলগুলোর মোট ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = 4 সে.মি.
উচ্চতা, h = 9 সে.মি.

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= 2π × 4(4 + 9)
= 2π × 4 × 13
= 104π বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: কোনো আসল ৩ বছরে সুদে-আসলে ৪৬০ টাকা এবং ৫ বছরে সুদে-আসলে ৫০০ টাকা হয়। শতকরা সরল সুদের হার কত?

সমাধান:
৫ বছরের সুদ + আসল = ৫০০ টাকা
৩ বছরে সুদ + আসল = ৪৬০ টাকা

∴ ২ বছরের সুদ = ৪০ টাকা
∴ ১ বছরের সুদ = ৪০/২ টাকা
∴ ৩ বছরের সুদ = (৪০ × ৩)/২ টাকা
= ৬০ টাকা

সময়, n = ৩ বছর
আসল, P = ৪৬০ - ৬০ = ৪০০ টাকা

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, r = I/Pr
বা, r = (৬০ × ১০০)/(৪০০ × ৩)
∴ r = ৫%

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ১১৫ থেকে যত বড়, ২০৫ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যাটি ক।

প্রশ্নমতে,
ক - ১১৫ = ২০৫ - ক
বা, ক + ক = ২০৫ + ১১৫
বা, ২ক = ৩২০
বা, ক = ৩২০ / ২
∴ ক = ১৬০

অতএব, সংখ্যাটি হলো ১৬০।

2^{1 - n}(2ⁿ - 2^{n - 1})
= 2^{1 - n}.2ⁿ - 2^{1 - n}.2^{n - 1}
= 2^{1 - n + n} - 2^{1 - n + n - 1}
= 2 - 2°
= 2 - 1
= 1

প্রশ্ন: বার্ষিক কত টাকা হার সুদে ৮০০ টাকার ৫ বছরের সরল সুদ ১২০ টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ৮০০ টাকা 
সময়, n = ৫ বছর 
সুদ, I = ১২০ টাকা 
সুদের হার, r = ?

আমরা জানি,
I = Pnr/১০০
⇒ r = (১০০ × I)/Pn
⇒ r = (১০০ × ১২০)/(৮০০ × ৫) 
⇒ r = ৩

∴ সুদের হার, r = ৩ %

প্রশ্ন: একটি সুষম পঞ্চভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ = {(2n - 4)/n} × 90°
যেখানে n = বাহু সংখ্যা।
সুষম পঞ্চভুজের ক্ষেত্রে, বাহু সংখ্যা, n = 5

∴ প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ = {(2 × 5 - 4)/n} × 90°
= {(10 - 4)/5} × 90°
= 6/5 × 90°
= 108°

∴ একটি সুষম পঞ্চভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান 108°।

আমরা জানি,
ক্ষতি = ক্রয়মূল্য - বিক্রয়মূল্য
= ১৬০০ - ১৫০০
= ১০০ টাকা
∴ নির্ণেয় ক্ষতি ১০০ টাকা

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 14 টি পুস্তক থেকে 6 টি পুস্তক কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 3 টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু 3 টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে সেহেতু পুস্তক বাকি থাকে (14 - 3) বা 11 টি এবং 6 টি থেকে বাছাই করতে হবে (6 - 3) বা 3 টি
∴ 11 টি থেকে 3 টি পুস্তক বাছাই করার সংখ্যা = ¹¹C₃ = 165

২, ৩, ৪, ৫, ৬এর ল.সা.গু = ৬০

তাহলে, (৯৯৯৯৯৯ ÷ ৬০) = ভাগফল ১৬৬৬৬ এবং ভাগশেষ ৩৯

সুতারাং, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = (৬০ - ৩৯) = ২১

৮০ টাকায় ডিসকাউন্ট হয় ১২ টাকা 
১০০ টাকায় ডিসকাউন্ট হয় ( ১২ × ১০০ )/৮০ = ১৫ টাকা

প্রশ্ন: আহসান সাহেব ২০১১, ২০১২ এবং ২০১৩ সালের প্রত্যেক বছর পূর্বের বছরের অপেক্ষা ১০% বেশি পারিশ্রমিক পান। ২০১৩ সালে তিনি ২০১১ সাল অপেক্ষা কত বেশি পারিশ্রমিক পান?

সমাধান:
মনেকরি,
শ্রমিকটি ২০১১ সালে পারিশ্রমিক ১০০ টাকা পেলে,

তাহলে,
২০১২ সালে পারিশ্রমিক পায় (১০০ + ১০) = ১১০ টাকা
এবং
২০১৩ সালে পারিশ্রমিক পায় (১১০ + ১১০ এর ১০%) টাকা = {১১০ + ১১০ × (১০/১০০)} = ১২১ টাকা

∴ শ্রমিকের পারিশ্রমিক বৃদ্ধি পায় (১২১ - ১০০)% = ২১%