গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৩২ থেকে যত বেশি ৭৮ থেকে তত কম, তবে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x - ৩২ = ৭৮ - x
বা, x + x = ৩২ + ৭৮
বা, ২x = ১১০
বা, x = ১১০/২
∴ x = ৫৫

∴ সংখ্যাটি = ৫৫

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার সাতগুণের সাথে সেই সংখ্যার চারগুণ যোগ করলে ২৭৫ হয়। সংখ্যাটি কত?
 
সমাধান:
ধরি, সংখ্যা ক 

প্রশ্নমতে, 
৭ক + ৪ক = ২৭৫
⇒ ১১ক = ২৭৫
⇒ ক = ২৭৫/১১ 
∴ ক = ২৫ 

সুতরাং, সংখ্যাটি = ২৫

ⁿC₇ = ⁿC₅
n!/7!(n-7)! = n!/5!(n-5)!
1/7.6.5!(n-7)! = 1/5!(n-5).(n-6).(n-7)!
1/42 = 1/(n-5)(n-6)
n² - 11n + 30 = 42
n² - 11n – 12 = 0
n² - 12n – n – 12 = 0
(n-12)(n+1) = 0
n = 12, -1
n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না। তাই n এর মান 12।

প্রশ্ন: 2, 4, 5, 7 এবং 9 অংকগুলোর প্রতিটি একবার নিয়ে দুই অংকের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
মোট অংক 5টি।
যেহেতু দুই অংকের সংখ্যা গঠন করতে হবে, তাই প্রতিবার 2টি অংক নিয়ে গঠিত সংখ্যা
= ⁵P₂ = 5!/(5 - 2)!
= 5 × 4 × 3!/3!
= 20

৩০ সের ছোলা খায় ৬ টি ঘোড়া
∴ ২৫ সের ছোলা খায় ৬ × ২৫ / ৩০ = ৫ টি ঘোড়া

ক্ষুদ্রতর অংশ = ৬০০০ এর ১/(১+২+৩+৪+৫) = ৪০০ টাকা এবং বৃহত্তর অংশ = ৬০০০ এর ৫/(১+২+৩+৪+৫) = ২০০০ টাকা।
সুতরাং বৃহত্তর এবং ক্ষুদ্রতর অংশের পার্থক্য = ২০০০ - ৪০০ = ১৬০০ টাকা।

প্রশ্ন: নিচের উপাত্তগুলো মানের উর্ধ্বক্রমে সাজানো আছে। যদি উপাত্তগুলোর মধ্যক 30 হয় তাহলে x এর মান নির্ণয় করুন।
18, 22, x, 28, x + 6, 38, 40, 50, 60

সমাধান:

18, 22, x, 28, x + 6, 38, 40, 50, 60
এখানে মোট ৯টি উপাত্ত রয়েছে যা বিজোড় সংখ্যক।
∴ মধ্যক হবে (৯ + ১)/২ = ৫ তম পদ

∴ মধ্যক = x + 6

প্রশ্নমতে,
x + 6 = 30
∴ x = 24

সপ্তভূজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = (n - ২) × ১৮০
                                                          = (৭ - ২) × ১৮০°
                                                          = ৯০০°

প্রশ্ন: সমীকরণটিতে p এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: 2 + 6 + 18 + ............. ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 2
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 6/2 = 3 > 1
ধারাটির পদ সংখ্যা, n = 10

আমরা জানি,
প্রথম 10টি পদের সমষ্টি ‍S₁₀ = a (rⁿ - 1)/(r - 1)
= 2 × (3¹⁰ - 1)/(3 - 1)
= 2 × (3¹⁰ - 1)/2
= 3¹⁰ - 1

x³ - x -6
-6 এর উৎপাদক গুলো ±1, ±2, ±3, ±6
ƒ(2) হলে ƒ(x) = x³ - x -6 = 0 হবে।
x³ - x -6
= x²(x - 2) + 2x(x-2) + 3(x-2)
= (x-2)(x² + 2x + 3)

চতুর্থ সমানুপাতিক x হলে
3 × x = 9 × 4
⇒ x = (9 × 4) / 3
∴ x = 12

মনে করি,
একটি কোণ 'ক' তাহলে অপর কোণ (90 - ক)
শর্তমতে,
ক - (90 - ক) = 8
বা, ক - 90 + ক = 8
বা, 2ক = 98
বা, ক = 49
সুতরাং অপর কোণটি = 90 - ক
= 90 - 49
= 41°

প্রশ্ন: log₄(1/16) এর মান কত? 

সমাধান: 
log₄(1/16)
= ​log₄(1/4²)
= log₄4^-2
= - 2 log₄4
​= - 2 × 1
= - 2 

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় ৪০টি প্রশ্ন আছে। প্রতিটি সঠিক উত্তরে ৩ নম্বর এবং ভুল উত্তরে ১ নম্বর কাটা হয়। শিক্ষার্থী ৭০% নম্বর পেতে চাইলে সর্বোচ্চ কতটি ভুল উত্তর দিতে পারবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রতিটি সঠিক প্রশ্নের উত্তরের মান = ৩
প্রতিটি ভুল উত্তরে কাটা যাবে = ১

তাহলে ৪০ টি প্রশ্নের পূর্ণমান হবে = ৪০ × ৩ = ১২০

৭০% নম্বর পেতে হলে (৭০ × ১২০)/১০০ = ৮৪ নম্বর পেতে হবে।

ধরি,
ভুল উত্তরের সংখ্যা = ক
∴ সঠিক উত্তরের সংখ্যা = ৪০ - ক

প্রশ্নমতে,
৩(৪০ - ক) - (ক× ১) = ৮৪
বা, ১২০ - ৩ক - ক = ৮৪
বা, ১২০ - ৪ক = ৮৪
বা, ৪ক = ১২০ - ৮৪
বা, ৪ক = ৩৬
বা, ক = ৯

∴ ৭০% নম্বর পেতে চাইলে সর্বোচ্চ ৯ টি ভুল উত্তর দিতে পারবে।

মনে করি, উৎপাদন খরচ = x টাকা
∴ উৎপাদন কারীর বিক্রয়মূল্য = ১১০x/১০০
পাইকারী বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য = ১১০x/১০০ × ১২০/১০০
∴ ক্রেতার ক্রয়মূল্য = ১১০x/১০০ × ১২০/১০০ × ১০৫/১০০ = ২৭৭২
বা, x = (১০০×১০০×১০০×২৭৭২)/(১১০×১২০×১০৫)
= ২০০০ টাকা

প্রশ্ন: log_x6 + log_x36 + log_x216 = 12 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x6 + log_x36 + log_x216 = 12
⇒ log_x(6 × 36 × 216) = 12
⇒ log_x(6¹ × 6² × 6³) = 12
⇒ log_x(6⁶) = 12
⇒ 6log_x6 = 12
⇒ log_x6 = 2
⇒ x² = 6
∴ x = √6

প্রশ্ন: a = 4/3 হলে,  a^-4 এর মান -

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 a = 4/3

আমরা জানি,
x^-n = 1/xⁿ

সুতরাং,
a^-4
= 1/a⁴
= 1/(4/3)⁴
= 1/(256/81)
= 81/256

প্রশ্ন: 16P² + 8P - 48 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
16P² + 8P - 48
= 8(2P² + P - 6)
= 8(2P² + 4P - 3P - 6)
= 8{2P(P + 2) - 3(P + 2)}
= 8(P + 2)(2P - 3)

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৯০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৯০০ বর্গমিটার 
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৯০০ মিটার 
= ৩০ মিটার 

আমরা জানি, 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য 
= (৩০ × ৪) মিটার 
= ১২০ মিটার 

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ১২০ মিটার।

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পর বহিঃস্পর্শ করে। এদের একটির ব্যাস ১০ সে.মি. এবং ২য় টির ব্যাসার্ধ ৪ সে.মি হলে, এদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত সে.মি. হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম বৃত্তের ব্যাস = ১০ সে.মি
∴ ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ  = ১০/২ = ৫ সে.মি
২য় বৃত্তের, ব্যাসার্ধ = ৪ সে.মি

বহিঃস্পর্শ করে এখন দুইটি বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ + ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ
= (৫ + ৪) সে.মি
= ৯ সে.মি

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু. 3 এবং ল.সা.গু. 11880। একটি সংখ্যা 120 হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
বা, একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = 11880 × 3
বা, 120 × অপর সংখ্যা = 35640
বা, অপর সংখ্যা = 35640 ÷ 120 = 297

∴ অপর সংখ্যা = 297

ধরি, ক্ষুদ্রতম কোণটি = ক
অপর কোণ ৯০-ক
সুতরাং ৯০-ক-ক = ৮
২ক = ৮২
ক = ৪১

প্রশ্ন: P = {x ∈ N : 4x < 20} হলে, P-এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
P = {x ∈ N : 4x < 20},
4x < 20
⇒ x < 5
অর্থাৎ 5 এর চেয়ে ছোট সকল স্বাভাবিক সংখ্যা P সেটের উপাদান।
∴ P = {1, 2, 3, 4}

P সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2⁴ = 16
∴ P-এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 16 - 1 = 15 টি

সমাধান:
বাস্তব সংখ্যা: শূণ্য সহ সকল মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলে। যেমনঃ 0, 1, 2, -1, -2, √2, √5, 22/7

অপশন ক, খ, ঘ তিনটিই বাস্তব সংখ্যা।

কিন্তু,
অপশন (গ) এর √-৩৬ একটি কাল্পনিক সংখ্যা। কারণ,
√-৩৬ = √(-১ × ৩৬) = √-১ × √৩৬ = i × ৬ = ৬i, বাস্তব সংখ্যার মধ্যে পড়ে না। এটি একটি কাল্পনিক সংখ্যা।

9x² + 9x - 4
= 9x² + 12x - 3x - 4
= 3x(3x + 4) - 1(3x + 4)
= (3x + 4)(3x - 1)

প্রশ্ন: ৮ জন লোক একটি কাজ ২০ দিনে করতে পারে। ৫ দিন পরে ৩ জন চলে গেলে কাজটি শেষ করতে বাকি লোকের কতদিন লাগবে?

সমাধান:
মনে করি ,
সম্পূর্ন কাজটি = ৮০ একক।

দেয়া আছে,
৮ জনের
২০ দিনে শেষ হয় = ৮০ একক।
∴ ৫ দিনে শেষ হয় = ৮০×৫/২০ একক।
= ২০ একক।

কাজ বাকি থাকে = ৮০ - ২০ একক
= ৬০ একক, যা (৮-৩) বা ৫ জন লোক শেষ করে। 

এখন,
৮ জন লোক ৮০ একক কাজ করে = ২০ দিনে
∴ ১ জন লোক ৮০ একক কাজ করে = ২০×৮ দিনে
∴ ৫ জন লোক ৮০ একক কাজ করে = ২০×৮/৫ দিনে
∴ ৫ জন লোক ১ একক কাজ করে = (২০×৮)/(৫×৮০) দিনে
∴ ৫ জন লোক ৬০ একক কাজ করে = (২০×৮×৬০)/(৫×৮০) দিনে
= ২৪ দিনে

উত্তর: ২৪ দিনে

প্রশ্ন: ৪০ এবং ৬০ সংখ্যা দু’টির গড় ব্যবধান কত?

সমাধান:
৪০, ৬০ এর গড় = (৪০ + ৬০)/২
= ৫০

∴ গড় ব্যবধান = {।৪০ - ৫০। + ।৬০ - ৫০।}/২
= (১০ + ১০)/২
= ২০/২
= ১০

বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৬২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৬২০)/৮০ = ৭৭৫ টাকা