গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: a + b = 7 এবং ab = 10 হলে a এবং b এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 7
ab = 10

এখন অপশনগুলো যাচাই করি—

ক) a = 2, b = -5
a + b = -3 ≠ 7

খ) a = 4, b = -3
a + b = 1 ≠ 7

গ) a = -2, b = -5
a + b = -7 ≠ 7

ঘ) a = 5, b = 2
a + b = 7 এবং ab = 10 

অতএব,
সঠিক উত্তর:
ঘ) a = 5, b = 2

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ²= লম্ব²+ভূমি²
12² + 5² = 13²
তাই সঠিক উত্তর অপশন (ঘ)।

প্রশ্ন: ১৩৫০ টাকায় একটি পণ্য বিক্রয় করা হলে লাভ হয় ২০% , পণ্যটি ৩৬% লাভে বিক্রয় করলে, বিক্রয়মূল্য কত হত?

সমাধানঃ 
ধরি
পণ্যের ক্রয়মূল্য = C টাকা 

প্রথম বিক্রয়মূল্য = ১৩৫০ টাকা, লাভ = ২০% 

তাহলে ক্রয়মূল্য, 
১৩৫০ =  C × {১ + (২০/১০০)}
⇒ ১৩৫০ = ১.২C 
⇒ C = ১৩৫০/১.২
∴ C = ১১২৫ টাকা

৩৬% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১১২৫ × (১ + ৩৬/১০০)
= ১১২৫ × ১.৩৬
= ১৫৩০ টাকা 

∴ ৩৬% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১৫৩০ টাকা 

এখানে,
আসল p = ৩২০০ টাকা,
সময় n = ২ বছর,
সুদের হার r = ৮%
∴ চক্রবৃদ্ধি সুদাসল = p(১ + r/১০০)ⁿ
= ৩২০০ × (১ + ৮/১০০)^২
= ৩২০০ × (১০৮×১০৮)/(১০০×১০০)
= ৩৭৩২.৪৮ টাকা
∴ সুদ = ৩৭৩২.৪৮ - ৩২০০
= ৫৩২.৪৮ টাকা

সংখ্যার 1ম অংকটি 4 দিয়ে পূর্ন করতে হবে। অবশিষ্ট 3 টি অংক দিয়ে পূর্ন করা যায় = 3! = 6 উপায়ে
∴ গঠিত সংখ্যা = 1 × 6 = 6 উপায়ে

এখানে, (৩+৭+১০) = ২০
∴ ১ম টুকরোটির দৈর্ঘ্য = ৬০ × ৩/২০ = ৯ মিটার
   ২য় 〃 〃 = ৬০ × ৭/২০ = ২১ মিটার
   ৩য় 〃 〃 = ৬০ × ১০/২০ = ৩০ মিটার

প্রশ্ন: |x + 1| < 5 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 2x - 3 < n হবে?

সমাধান:
|x + 1| < 5
⇒ - 5 < x + 1 < 5
⇒ - 5 - 1 < x + 1 - 1 < 5 - 1
⇒ - 6 < x < 4
⇒ - 12 < 2x < 8
⇒ - 12 - 3 < 2x - 3 < 8 - 3
∴ - 15 < 2x - 3 < 5

∴ m = - 15 এবং n = 5

প্রশ্ন: P(P) = 1/3, P(Q) = 2/3; P ও Q স্বাধীন হলে P(Q/P) = কত?

সমাধান:
P(P) = 1/3, P(Q) = 2/3 

P(P ∩ Q) = P(P) × P(Q)
= (1/3) × (2/3)
= 2/9

∴ P(Q/P) = P(P ∩ Q)/P(P)
= (2/9)/(1/3)
= 2/3

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 +....... ধারাটির 12 তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে, এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2
আমরা জানি, n তম পদ = ar^{(n - 1)}
∴ 12 তম পদ = 3 × 2^{(12 - 1)}
= 3 × 2¹¹
= 3 × 2048
= 6144

দেওয়া আছে,
x = √3 + √2
∴ 1/x = 1/(√3 + √2)
= (√3 - √2)/(√3 + √2)(√3 - √2)
= (√3 - √2)/ (3-2)
= (√3 - √2)
এখন,
x²+1/x²
= (x + (1/x))² - 2.x.(1/x)
= (√3 + √2 + √3 - √2)² - 2
= (2√3)² - 2
= 12 - 2
= 10

প্রশ্ন: যদি log⁡_ab = 3 হয়, তবে b এর মান কত?  

সমাধান:
লগারিদমের সূত্র ব্যবহার:
log_⁡ab = 3  
⇒ a³ = b

∴ b = a³

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে। ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5 সে.মি. এবং কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব 9 সে.মি. হলে বড় বৃত্তটির পরিধি কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 5 সে.মি.
কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব = 9 সে.মি.

বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (9 + 5)সে.মি. = 14 সে.মি.

∴ বড় বৃত্তের পরিধি = 2πr
= 2 × (22/7) × 14
= 88 সে.মি.

প্রশ্ন: a² - b² + 6bc - 9c² এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
a² - b² + 6bc - 9c²
= a² - {b² - 2.b.3c + (3c)²}
= a² - (b - 3c)²
= (a + b - 3c) (a - b + 3c)

এখানে,
জ্যা AB = ২৪ সেঃমিঃ
∴ AC = ১/২ × AB
= ১/২ × ২৪
= ১২ সেঃমিঃ
কেন্দ্র O হতে অংকিত লম্ব OC = ৫
∴ ব্যাসার্ধ OA = √(AC)² + (OC)²
= √(১২² + ৫²)
= ১৩

.( x - a ), ƒ ( x ) এর উৎপাদক হবে যদি এবং কেবল যদি ƒ ( a ) = 0 হয়। গণিত বই ( ৯-১০ ) পৃষ্ঠা ৬০, অনুসিদ্ধান্ত ১১।

প্রশ্ন: 49a² + 42a এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:

49a² + 42a

= 49a² + 42a + 9 - 9

= (7a)² + 2 ×(7a) × (3)+ (3)² - 9

= (7a + 3)² - 9

সুতরাং, 49a² + 42a এর সাথে 9 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: ১৭৬ কে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান: 
১৭৬ = ২ × ২ × ২ × ২ × ১১
= ( ২ × ২) × (২ × ২) × ১১

এখানে, ১১ জোড়া বিহীন
∴ ১১ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ৯৫। বৃহত্তম সংখ্যার এক তৃতীয়াংশ ৩৫ অপেক্ষা যত কম ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটির চারগুণ ৭০ অপেক্ষা তত বেশি। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি, বৃহত্তম সংখ্যা = ক 
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৯৫ - ক

প্রশ্নমতে,
৩৫ - (ক/৩) = ৪(৯৫ - ক) - ৭০
⇒ (১০৫ - ক)/৩ = ৩৮০ - ৪ক - ৭০
⇒ (১০৫ - ক)/৩ = ৩১০ - ৪ক
⇒ ১০৫ - ক = ৩(৩১০ - ৪ক)
⇒ ১০৫ - ক = ৯৩০ - ১২ক
⇒ ১২ক - ক = ৯৩০ - ১০৫
⇒ ১১ক = ৮২৫
⇒ ক = ৮২৫/১১
∴ ক = ৭৫

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ৭৫
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৯৫ - ৭৫ = ২০

সুতরাং, সংখ্যা দুইটি হলো ৭৫ এবং ২০

প্রশ্ন: যদি 3x + (3/x) = 6 হয়, তবে x² + (1/x²) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
3x + (3/x) = 6
⇒ 3(x + 1/x) = 6
⇒ x + (1/x) = 2

প্রদত্ত রাশি = x² + (1/x)²
= {x + (1/x)}² - 2 . x . (1/x)
= 2² - 2
= 4 - 2
= 2

প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 13 : 5 হলে কোণ দুটির পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, দুটি সম্পূরক কোণের সমষ্টি 180°।
ধরি, কোণ দুটি হলো 13x এবং 5x।
শর্তমতে,
13x + 5x = 180°
⇒ 18x = 180°
⇒ x = 180° / 18
⇒ x = 10°
∴ প্রথম কোণটি = 13x = 13 × 10° = 130°
এবং দ্বিতীয় কোণটি = 5x = 5 × 10° = 50°
সুতরাং, কোণ দুটির পরিমাণ হলো 130° এবং 50°।

• দুটি কোণের সমষ্টি 180° হলে তাদেরকে সম্পূরক কোণ (Supplementary Angles) বলা হয়।

প্রশ্ন: কোনো ভাগ অঙ্কের ভাজক হলো ভাগফলের দশগুণ এবং ভাগশেষের পাঁচগুণ। যদি ভাগশেষ ৪৬ হয়, তবে ভাজ্য কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ভাগশেষ = ৪৬
ভাজক = ভাগফলের ১০ গুণ
ভাজক = ভাগশেষের ৫ গুণ

∴ ভাজক = ভাগশেষের ৫ গুণ
= ৪৬ × ৫
= ২৩০

আবার, 
ভাজক = ভাগফলের ১০ গুণ
⇒ ২৩০ = ভাগফল × ১০
∴ ভাগফল = ২৩০/১০
= ২৩

আমরা জানি, 
ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
= (২৩০ × ২৩) + ৪৬
= ৫২৯০ + ৪৬
= ৫৩৩৬

∴ ভাজ্য = ৫৩৩৬

প্রশ্ন: (3, - 2) এবং (7, 6) বিন্দুগামী একটি সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি বিন্দু (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂) দিয়ে অতিক্রমকারী একটি সরলরেখার ঢাল (m) নির্ণয়ের সূত্র হলো:
m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

এখানে,
(x₁, y₁) = (3, - 2) এবং (x₂, y₂) = (7, 6)

∴ ঢাল, m = {6 - (- 2)}/(7 - 3)
= (6 + 2)/(7 - 3)
= 8/4
= 2

∴ সরলরেখার ঢাল = 2

5(1 − x) + 3(2 − x) = − 29
বা, 5 - 5x + 6 - 3x = -29
বা, - 8x = -29 - 11
বা, x = -40/-8 = 5

প্রশ্ন: ২৫ কেজি চাল যে দরে কেনা যায়, ২০ কেজি চাল সে দরে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হয়?

সমাধান:
২৫ কেজি চালের ক্রয়মূল্য ক টাকা 
১ কেজি চালের ক্রয়মূল্য ক/২৫ টাকা 

২০ কেজি চালের বিক্রয়মূল্য ক টাকা 
১ কেজি চালের বিক্রয়মূল্য ক/২০ টাকা 

লাভ = (ক/২০) - (ক/২৫)
= (৫ক - ৪ক)/১০০
= ক/১০০

ক/২৫ টাকায় লাভ হয় = ক /১০০ টাকা 
১ টাকায় লাভ হয় = (ক /১০০) × (২৫/ক) টাকা 
১০০ টাকায় লাভ হয় = {(ক /১০০) × (২৫/ক) × ১০০} টাকা =২৫%

প্রশ্ন: 3 মি. বাহু বিশিষ্ট একটি ঘনক আকৃতির বক্সে 10 সেমি বাহু বিশিষ্ট কতটি ঘনক রাখা যাবে?

সমাধানঃ
ঘনক সংখ্যা = বড় ঘনকের আয়তন / ছোট ঘনকের আয়তন
= (300 × 300 × 300)  / (10 × 10 × 10)
= 27000

x - 8, f(x) এর একটি উৎপাদক
∴ f(8) = 0
বা, 8² - k.8 - 48 = 0
বা, 64 - 8k - 48 = 0
16 - 8k = 0
8k = 16
∴ k = 2

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 265 হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
ছোট সংখ্যা = x
তাহলে বড় সংখ্যা = x + 1

প্রশ্ন অনুযায়ী,
x² + (x + 1)² = 265
⇒ x² + x² + 2x + 1 = 265
⇒ 2x² + 2x + 1 = 265
⇒ 2x² + 2x - 264 = 0
⇒ x² + x - 132 = 0
⇒ x² + 12x - 11x - 132 = 0
⇒ x(x + 12) - 11(x + 12) = 0
⇒ (x - 11)(x + 12) = 0
হয়, 
x - 11 = 0
∴ x = 11
অথবা, 
x + 12 = 0
∴ x = - 12 ; যা গ্রহণযোগ্য নয় 

সুতরাং, ছোট সংখ্যা = 11
এবং বড় সংখ্যা = 11 + 1 = 12

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার জমির চতুর্দিকে প্রাচীর নির্মাণ করতে প্রতি মিটার ২৭০ টাকা হিসেবে মোট ৩০২৪০ টাকা খরচ হয়। জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৮ : ৬ হলে জমির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
আয়তাকার জমির পরিসীমা = ৩০২৪০/২৭০ = ১১২ মিটার

মনে করি,
প্রস্থ ও দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ক এবং ৬ক

শর্তমতে,
২(৮ক + ৬ক) = ১১২
⇒ ২৮ক = ১১২
⇒ ক = ১১২/২৮
∴ ক = ৪

অতএব,
দৈর্ঘ্য = ৮ × ৪ = ৩২ মিটার 
প্রস্থ = ৬ × ৪ = ২৪ মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = ৩২ × ২৪ = ৭৬৮ বর্গ মিটার

সুতরাং, জমিটির ক্ষেত্রফল ৭৬৮ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: পিতা ও ৩ পুত্রের বয়স অপেক্ষা মাতা ও উক্ত ৩ পুত্রের বয়সের গড় ৩/২ বছর কম। মাতার বয়স ৩০ বছর হলে পিতার বয়স কত?

সমাধান: 
ধরি, 
পিতা ও ৩ পুত্রের বয়সের গড় = ক  বছর 
∴ পিতা ও ৩ পুত্রের মোট বয়স  = ৪ক বছর 

মাতা ও উক্ত ৩ পুত্রের বয়সের গড় = (ক  - ৩/২) বছর
মাতা ও উক্ত ৩ পুত্রের  মোট বয়স = ৪ক  - ৬ বছর 

এখন, ৩ পুত্রের মোট বয়স = ৪ক  - ৬ - ৩০
= ৪ক  - ৩৬ বছর 

∴ পিতার বয়স =  ৪ক - (৪ক  - ৩৬ )
= ৪ক  - ৪ক + ৩৬
= ৩৬ বছর