গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: |5x + 2| ≤ 8 এর সমাধান হবে নিচের কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
|5x + 2| ≤ 8
⇒ - 8 ≤ 5x + 2 ≤ 8
⇒ - 8 - 2 ≤ 5x ≤ 8 - 2
⇒ - 10 ≤ 5x ≤ 6
⇒ - 2 ≤ x ≤ (6/5)

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৫ : ৩। ২০ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ২ : ১। ১০ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
পিতার বয়স ৫ক বছর
পুত্রের বয়স ৩ক বছর

শর্তমতে,
(৫ক - ২০) : (৩ক - ২০) = ২ : ১
বা, (৫ক - ২০)/(৩ক - ২০) = ২/১ 
বা, ৫ক - ২০ = ৬ক - ৪০ 
বা, - ক = - ৪০ + ২০ 
বা, ক = ২০ 

∴ পিতার বয়স ৫ × ২০ বছর = ১০০ বছর
∴ পুত্রের বয়স ৩ × ২০ বছর = ৬০ বছর

১০ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত = ১০০ + ১০ : ৬০ + ১০ = ১১০ : ৭০
= ১১ : ৭

৫% হার সুদে ৯৫০ টাকার ৬ বছরের সুদ = ৯৫০ × ৬ × (৫/১০০)
= ২৮৫ টাকা
৬% হার সুদে,
৬ টাকা ১ বছরে সুদ হয় আসল = ১০০ টাকায়
১ টাকা ১ বছরে সুদ হয় আসল = ১০০/৬
২৮৫ টাকা ৫ বছরে সুদ হয় আসল = (২৮৫×১০০)/(৬×৫)
= ৯৫০ টাকা

সামন্তরিকের বৈশিষ্ট অনুসারে এর কর্ণদ্বয় পরস্পর অসমান।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের তিনগুণ। এর ক্ষেত্রফল ৪৩২ বর্গমিটার হলে, পরিসীমার তিনগুণ কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ঘরের বিস্তার = ক মিটার
আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার
আয়তাকার ঘরের ক্ষেত্রফল = (৩ক × ক) বর্গমিটার
= ৩ক^২বর্গমিটার

শর্তমতে,
৩ক^২ = ৪৩২
বা, ক^২= ৪৩২/৩
বা, ক^২= ১৪৪
বা, ক = √১৪৪
∴ ক = ১২

∴ আয়তাকার ঘরের বিস্তার = ১২ মিটার
আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = (১২ × ৩) = ৩৬ মিটার

তাহলে, আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = ২(৩৬ + ১২) মিটার
= ২ × ৪৮ = ৯৬ মিটার
∴ আয়তাকার ঘরের পরিসীমার তিনগুণ = ৯৬ × ৩ = ২৮৮ মিটার

প্রশ্ন: ৮ জন লোক একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। দু’জন লোক কমিয়ে দিলে কাজটি সমাধান করতে শতকরা কত দিন বেশী লাগবে?

সমাধান: 
২ জন লোক কমে যাওয়ায় মোট লোক হয় =(৮ - ২)= ৬জন।

৮ জন লোক একটি কাজ করে = ১২ দিনে
১ জন লোক একটি কাজ করে = ৮ × ১২ দিনে
৬ জন লোক একটি কাজ করে = (৮ × ১২)/৬ দিনে
= ১৬

পূর্বের চেয়ে সময় বেশি লাগে =(১৬ - ১২) = ৪দিন

শতকরা সময় বেশি লাগে = {(৪/১২) × ১০০}% = (১০০/৩)% 

ΔABC - এ,
AD = BD
∴ ∠ABD = ∠BAD
বহিঃস্থ ∠ADC = ∠ABD + ∠BAD = ∠ABD + ∠ABD = 2 ∠ABD
বা, 2 ∠ABD = ∠ADC = 76°
বা, ∠ABD = 38°
∴ ∠B = 38°

রেখা (Line): বিন্দুর চলার পথকে রেখা বলে। একটি রেখার নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য ও প্রান্তবিন্দু নেই।

রেখাংশ (Segment of line): রেখাংশের নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য আছে। রেখাংশের দুইটি প্রান্ত বিন্দু থাকে।

রশ্মি (Ray): একটি রশ্মির নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই। একটি রশ্মির মাত্র একটি প্রান্ত বিন্দু আছে।

ধরি,
a-b = x
b-c = y
c-a = z

তাহলে, x + y + z = a - b -b - c + c - a = 0

আমরা জানি যদি, x + y + z = 0 হয় তাহলে,
x³ + y³ + z³ = 3xyz

অর্থাৎ, প্রদত্ত রাশি = 3 (a-b) (b-c) (c-a)
= -3 (c-b) (b-a) (a-c)

থলেতে,
লাল বল আছে 6টি
সাদা বল আছে 8টি
মোট বল আছে 14টি
প্রতিবার 2টি ভিন্ন রংয়ের বল পাওয়ার সম্ভাবনা = (⁶c₁ × ⁸c₁)/¹⁴c₂
= (6 × 8)/91
= 48/91

প্রশ্ন: ৪৫ লিটার দুধ ও পানির মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৪: ৫। মিশ্রণটিতে কী পরিমাণ দুধ মেশালে দুধ ও পানির অনুপাত ৩: ২ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুধ ও পানির অনুপাত ৪: ৫

মোট অংশ = (৪ + ৫) = ৯

∴ মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = ৪৫ × (৪/৯) লিটার = ২০ লিটার
∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = ৪৫ × (৫/৯) লিটার = ২৫ লিটার

ধরি, দুধ মেশাতে হবে x লিটার

প্রশ্নমতে,
(২০ + x) : ২৫ = ৩ : ২
⇒ (২০ + x)/২৫ = ৩/২
⇒ ২(২০ + x) = ৩ × ২৫
⇒ ৪০ + ২x = ৭৫
⇒ ২x = ৭৫ - ৪০
⇒ ২x = ৩৫
⇒ x = ৩৫/২
⇒ x = ১৭.৫

∴ দুধ মেশাতে হবে ১৭.৫ লিটার।

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ১৬, ২৪, ৩৬ এবং ৫৪ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ১০ হবে?

সমাধান: প্রদত্ত সংখ্যাগুলো দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু.।
সুতরাং ১৬, ২৪, ৩৬ ও ৫৪ এর ল.সা.গু. এর সাথে ভাগশেষ ১০ (দশ) যোগ করলে নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।

সংখ্যাগুলোর মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ:
১৬ = ২^৪
২৪ = ২^৩ × ৩
৩৬ = ২^২ × ৩^২
৫৪ = ২ × ৩^৩

ল.সা.গু. = ২^৪ × ৩^৩
= ৪৩২

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ল.সা.গু. + ভাগশেষ
= ৪৩২ + ১০
= ৪৪২

প্রশ্ন: 27^q + 27^q + 27^q এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান: 
27^q + 27^q + 27^q
= 27^q(1 + 1 + 1)
= 27^q . 3
= (3³)^q . 3 
= 3^3q . 3
= 3^{3q + 1}

আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
AC ও BD দুটি কর্ণ পরস্পরকে O বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে
∠AOD = 90°
∠BOC = 90°
∴ ∠AOD + ∠BOC = 180°

৫০ পয়সার ৫০ দিনের সুদ ৫০ পয়সা
‌৫০ পয়সার ১ দিনের সুদ ৫০/৫০ পয়সা = ১ পয়সা = ১/১০০ = ০.০১ টাকা।

প্রশ্ন: যদি (a/b)^{2x - 5} = (b/a)^{x - 1} থাকে, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(a/b)^{2x - 5} = (b/a)^{x - 1}
⇒ (a/b)^{2x - 5} = (a/b)^{-(x - 1)}
⇒ 2x - 5 = -(x - 1)
⇒ 2x - 5 = - x + 1
⇒ 2x + x = 1 + 5
⇒ 3x = 6
∴ x = 2

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি ৩/৫ থেকে বড় এবং ৬/৭ থেকে ছোট?
 
সমাধান:
এখানে,
৩/৫ = ০.৬
এবং ৬/৭ = ০.৮৫৭

​৭/৮ = ০.৮৭৫
২/৩ = ০.৬৬৭
১/৩ = ০.৩৩৩
১/২ = ০.৫

উপরের মান গুলো হতে দেখা যায় যে, ৩/৫ থেকে বড় এবং ৬/৭ থেকে ছোট ভগ্নাংশটি ২/৩।

ধরি,
গ.সা.গু. a
∴ ল.সা.গু. = ৩ × ৫ × a
= ১৮১৫
∴ a = ১২১

প্রশ্ন: |x + 1| ≤ 4 হলে, a এবং b এর কোন মানের জন্য a ≤ 3x - 2 ≤ b হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
|x + 1| ≤ 4
⇒ - 4 ≤ x + 1 ≤ 4
⇒ - 4 - 1 ≤ x + 1 - 1 ≤ 4 - 1
⇒ - 5 ≤ x ≤ 3
⇒ - 15 ≤ 3x ≤ 9
⇒ - 15 - 2 ≤ 3x - 2 ≤ 9 - 2
⇒ - 17 ≤ 3x - 2 ≤ 7
যেখানে, a ≤ 3x - 2 ≤ b
∴ a = - 17 এবং b = 7

৩০ জন শ্রমিকের প্রয়োজন = ২০ দিন
১ জন শ্রমিকের প্রয়োজন = ২০×৩০ দিন
∴ ২০ জন শ্রমিকের প্রয়োজন = (২০×৩০)/২০
= ৩০ দিন

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় ৮৫% পরীক্ষার্থী বাংলায় এবং ৬০% পরীক্ষার্থী বিজ্ঞানে পাশ করল। যদি ৫৫% পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করে থাকে, তাহলে শতকরা কতজন পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
বাংলায় পাশ = ৮৫%
বিজ্ঞানে পাশ = ৬০%
উভয় বিষয়ে পাশ = ৫৫%

∴ কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ = (৮৫ + ৬০ - ৫৫)% = ৯০%

∴ উভয় বিষয়ে ফেল = ১০০ - ৯০ = ১০%

অতএব, ১০% পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়েই ফেল করেছে।

প্রশ্ন: x⁴ + 8x² - 9 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
x⁴ + 8x² - 9
= (x²)² + 2.x².4 + 4² - 16 - 9
= (x² + 4)² - 25
= (x² + 4)² - 5²
= (x² + 4 + 5)(x² + 4 - 5)
= (x² + 9)(x² - 1)
= (x² + 9)(x² - 1²)
= (x² + 9)(x + 1)(x - 1)

প্রশ্ন: চার বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিলো পিতার বয়সের এক-সপ্তমাংশ। চার বছর পর পিতার বয়স পুত্রের বয়সের তিনগুণ হলে পিতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
পিতার বর্তমান বয়স = ক বছর 
পুত্রের বর্তমান বয়স = খ বছর

প্রশ্নমতে,
(খ - ৪) = (ক - ৪)/৭
⇒ ৭(খ - ৪) = ক - ৪
⇒ ৭খ - ২৮ = ক - ৪
⇒ ক - ৭খ = - ২৮ + ৪
⇒ ক - ৭খ =  - ২৪ ....................... (১)

আবার,
৪ বছর পরে,
(ক + ৪) = ৩(খ + ৪)
⇒ ক + ৪ = ৩খ + ১২
⇒ ক - ৩খ =  ১২ - ৪
⇒ ক - ৩খ = ৮ ............ (২)

(১) নং সমীকরণ থেকে (২) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
(ক - ৭খ) - (ক - ৩খ) = - ২৪ - ৮
⇒ ক - ৭খ - ক + ৩খ = - ৩২
⇒ - ৪খ = - ৩২
⇒ খ = (- ৩২)/(- ৪)
⇒ খ = ৮

খ এর মান (২) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
ক - (৩ × ৮) = ৮
⇒ ক - ২৪ = ৮ 
⇒ ক = ৮ + ২৪
⇒ ক = ৩২

∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৩২ বছর 

প্রশ্ন: একটি লোহার ফাপা গোলকের বাইরের ব্যাস ১০ সে.মি. ও বেধ ২ সে.মি.হলে, গোলকের ফাঁপা অংশের আয়তন কত ঘন সে.মি.?

সমাধান:
দেয়া আছে,
বাইরের ব্যাস = ১০ সে.মি.
বেধ = ২ সে.মি.

বাইরের ব্যাসার্ধ (R) = ১০/২ = ৫ সে.মি.
ভিতরের ব্যাসার্ধ (r) = বাইরের ব্যাসার্ধ - বেধ
= ৫ - ২ = ৩ সে.মি.

ফাঁপা অংশ = ভিতরের গোলকের আয়তন

আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = (৪/৩)πr^৩
∴ ফাঁপা অংশের আয়তন = (৪/৩)π(৩)^৩
= (৪/৩)π × ২৭
= (৪ × ২৭π)/৩
= ৩৬π ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: যদি log_x 32 = 5/2 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x 32 = 5/2
⇒ x^5/2 = 32 [ log_xa = b হলে x^b = a ]
⇒ (x^1/2)⁵ = 32 
⇒ (√x)⁵ = 2⁵
⇒ √x = 2 
⇒ (√x)² = 2² [ বর্গ করে ]
⇒ x = 4 

চিত্রে AB||CD এবং EF ছেদক ফলে ∠BAC = ∠DCF = x
আবার,
∠BAE + ∠BAC = এক সরলকোণ = 180°
∴ y + x = 180° 
⇒ ∠x + ∠y = 180°

প্রশ্ন: যদি P একটি জোড় সংখ্যা হয়, তাহলে (5P + 6) থেকে বড় ক্ষুদ্রতম জোড় সংখ্যা এবং (3P + 13) থেকে ছোট বৃহত্তম জোড় সংখ্যার পার্থক্য কত?
সমাধান:
5P + 6 এর চেয়ে বড় ক্ষুদ্রতম জোড় সংখ্যা = 5P + 6 + 2 = 5P + 8
 3P + 13 এর চেয়ে ছোট বৃহত্তম জোড় সংখ্যা = 3P + 13 -1 = 3P + 12

∴ পার্থক্য = 5P + 8 - (3P + 12)
= 5P + 8 - 3P - 12
= 2P - 4

প্রশ্ন: দুই অংকবিশিষ্ট কোন সংখ্যার অংকদ্বয়ের সমষ্টি ১৫ এবং তাদের গুণফল ৫৬। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
অংকদ্বয়ের সমষ্টি = ১৫
অংকদ্বয়ের গুণফল = ৫৬

এখন অপশনগুলো একে একে যাচাই করি—

ক) ৭৮
অংকদ্বয় = ৭ এবং ৮
সমষ্টি = ৭ + ৮ = ১৫
গুণফল = ৭ × ৮ = ৫৬
⇒ শর্ত পূরণ করে

খ) ৯৬
অংকদ্বয় = ৯ এবং ৬
সমষ্টি = ৯ + ৬ = ১৫
গুণফল = ৯ × ৬ = ৫৪
⇒ শর্ত পূরণ করে না

গ) ৯৪
অংকদ্বয় = ৯ এবং ৪
সমষ্টি = ৯ + ৪ = ১৩
⇒ শর্ত পূরণ করে না

ঘ) ৬৯
অংকদ্বয় = ৬ এবং ৯
সমষ্টি = ৬ + ৯ = ১৫
গুণফল = ৬ × ৯ = ৫৪
⇒ শর্ত পূরণ করে না

অতএব,
শর্ত পূরণকারী একমাত্র সংখ্যা হলো ৭৮

সঠিক উত্তর:
ক) ৭৮

এখানে, (3.2ⁿ - 4.2^n-2) / (2ⁿ - 2^n-1)
= (3.2ⁿ - 2².2^n-2) / (2ⁿ - 2ⁿ.2^-1)
= (3.2ⁿ - 2^2+n-2) / (2ⁿ - 2ⁿ.1/2)
= (3.2ⁿ - 2ⁿ)) / (2ⁿ - 2ⁿ.1/2)
= 2^n.(3 - 1) / 2ⁿ.(1 - 1/2) 
= 2 / (1/2)
= 2 × (2/1)
= 4