গাণিতিক যুক্তি

দেওয়া আছে, x^-3-0.001= 0
বা, 1/x³= 0.001
বা, 1/x³= 1/1000
বা, x³= 10³
বা, x= 10
∴ x²= 100

Let the required time = T years
Then, (500×4×6.25)/100 = (400×5×T)/100
⇒ T = (500×4×6.25)/(400×5) years = 6(1/4) years

বা,(cosA - sinA + cosA + sinA)/(cosA - sinA - cosA - sinA) = (1 - √3 + 1 + √3)/(1 - √3 - 1 - √3)[যোজন-বিয়োজন করে]
বা,2cosA/-2sinA = 2/-2√3 
বা,cosA/sinA = 1/√3
বা,cotA = cot60°
∴A = 60°

প্রশ্ন: একটি জারে দুধ ও পানির অনুপাত ৫ : ২। দুধের পরিমাণ যদি পানি অপেক্ষা ১৫ লিটার বেশি হয়, তবে পানির পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুধ : পানি = ৫ : ২

ধরি,
দুধের পরিমাণ = ৫ক লিটার
এবং পানির পরিমাণ = ২ক লিটার

শর্তমতে,
৫ক - ২ক = ১৫
বা, ৩ক = ১৫
বা, ক = ১৫/৩
∴ ক = ৫

∴ পানির পরিমাণ = ২ক = ২ × ৫ = ১০ লিটার।

প্রশ্ন: যদি a⁴+ a²b²+ b⁴= 15 এবং a²+ ab + b²= 3 হয় তবে a²+ b² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a⁴+ a²b²+ b⁴= 15
a²+ ab + b²= 3


এখন,
a⁴+ a²b²+ b⁴= 15
or,(a²)² +2 .a². b²+ (b²)² - a²b²= 15
or,(a²+ b²)² - (ab)²= 15
or,(a²+ ab + b²) (a²- ab + b²)= 15
or, 3(a²- ab + b²) = 15
or, a²- ab + b²= 15/3 = 5 .................. (1)

আবার,
a²+ ab + b²= 3 ......................... (2)

(1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
2(a²+ b²)= 8
∴ a²+ b²= 8/2 = 4

প্রশ্ন: a + b = 4, a - b = 2 হলে ab = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a + b = 4
a - b = 2

আমরা জানি
4ab = (a + b)² - (a - b)²
বা, 4ab = 4² - 2²
বা, 4ab = 16 - 4
বা, 4ab = 12
বা, ab = 12/4
∴ ab = 3

প্রশ্ন: এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: (১৮)^৭ কে সর্বনিম্ন কত দিয়ে গুণ করলে তা পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
(১৮)^৭ 
= (২ × ৯)^৭
= (২ × ৩^২)^৭
= ২^৭ × ৩^১৪
কোনো সংখ্যার ঘাত জোড় সংখ্যা হলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে। 
৩^১৪ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ।

কিন্তু ২^৭ এর ঘাত বিজোড় হওয়ায় সেটি পূর্ণবর্গ নয়।
তবে ২^৭ কে ২ দ্বারা গুণ করলে গুণফল হবে,
(২^{৭ × ২})
= ২^৮ যা পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

অর্থাৎ (১৮)^৭ এর সাথে সর্বনিম্ন ২ দ্বারা গুণ করলে তা পূর্ণবর্গ হবে। 

প্রশ্ন: রাহুল ও সুমিতের বয়সের অনুপাত বর্তমানে 4 : 3। যদি রাহুলের বয়স 24 বছর হয়, কত বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত 5 : 4 হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
রাহুল ও সুমিতের বয়সের অনুপাত 4 : 3
রাহুলের বয়স 24 বছর।

ধরি,
সুমিতের বয়স = x

শর্তানুসারে,
24 : x = 4 : 3
⇒ 24/x = 4/3
⇒ x = (24 × 3)/4 
∴ x = 18

আবার,
ধরি,
y বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত 5 : 4 হবে।
শর্তানুসারে,
⇒ (24 + y) : (18 + y) = 5 : 4
⇒ (24 + y)/(18 + y) = 5/4
⇒ 90 + 5y = 96 + 4y
∴ y = 6

∴ 6 বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত 5 : 4 হবে। 

প্রশ্ন: হাসান ২৫% কমিশনে ৪৫০ টাকা দিয়ে একটি কলম সেট ক্রয় করলো। কলম সেটটির লিখিত মূল্য কত?

সমাধান:
২৫% কমিশনে,
কলম সেটটির ক্রয়মূল্য = (১০০ - ২৫) = ৭৫ টাকা

∴ ক্রয়মূল্য ৭৫ টাকা হলে লিখিত মূল্য = ১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে লিখিত মূল্য = (১০০/৭৫) টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৪৫০ টাকা হলে লিখিত মূল্য = (১০০ × ৪৫০)/৭৫ = ৬০০ টাকা

∴ কলম সেটটির লিখিত মূল্য = ৬০০ টাকা।

আমরা জানি, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/(১৮০° - অন্তঃস্থকোণ)
বা, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/(১৮০° - ১৫০°) = ১২ টি।

প্রশ্ন: ঢাকা থেকে খুলনার দূরত্ব প্রায় ২২০ কিলোমিটার। একটি বাস ৪ ঘণ্টায় ঢাকা থেকে খুলনা চলে আসলে বাসটির গড় গতিবেগ কত কিলোমিটার/ঘণ্টা।

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
দূরত্ব = ২২০ কিলোমিটার
সময় = ৪ ঘণ্টা

বাসটির গড় গতিবেগ = (মোট দূরত্ব)/(মোট সময়)
= ২২০/৪ 
= ৫৫ কিলোমিটার/ঘণ্টা 

প্রদত্ত রাশিমালা,
f(x) = x³ - 7x - 6
∴ f(3) = 3³ - 7.3 - 6
= 27 - 21 - 6
= 0
∴ x - 3, f এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: ১০০ জন সদস্যের একটি পর্যটক দলের ৫৫ জন ল্যাটিন এবং ৪০ জন জার্মান ভাষায় কথা বলে। তাঁদের মধ্যে ২০ জন ল্যাটিন বা জার্মান কোন ভাষাতেই কথা বলে না। তাহলে কতজন কেবলমাত্র একটি ভাষাতেই কথা বলে?

সমাধান:
মোট সদস্য সংখ্যা, n(U) = ১০০ জন
ল্যাটিন বা জার্মান কোনো ভাষাতেই কথা বলে না = ২০ জন
অন্তত একটি ভাষায় কথা বলে, n(L ∪ G) = ১০০ - ২০ = ৮০ জন

ল্যাটিন ভাষায় কথা বলে, n(L) = ৫৫ জন
জার্মান ভাষায় কথা বলে, n(G) = ৪০ জন

আমরা জানি,
n(L ∪ G) = n(L) + n(G) - n(L ∩ G)
⇒ ৮০ = ৫৫ + ৪০ - n(L ∩ G)
⇒ ৮০ = ৯৫ - n(L ∩ G)
⇒ n(L ∩ G) = ৯৫ - ৮০
∴ n(L ∩ G) অর্থাৎ, যারা উভয় ভাষায় কথা বলে = ১৫ জন 

কেবল ল্যাটিন ভাষায় কথা বলে = ৫৫ - ১৫ = ৪০ জন
কেবল জার্মান ভাষায় কথা বলে = ৪০ - ১৫ = ২৫ জন

∴ কেবলমাত্র একটি ভাষায় কথা বলে = ৪০ + ২৫ = ৬৫ জন

 p⁶ − q⁶
= (p³)² − (q³)²
= (p³ − q³) (p³ + q³)
= {(p − q) (p² + pq + q²)} (p³ + q³)
= (p − q)(p² + pq + q²) {(p + q) (p² − pq + q²)}
= (p − q) (p² + pq + q²) (p + q) (p² − pq + q²)

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রের আলোকে 'X' এর মান কত?


সমাধান:
এখানে,
∠AOC + ∠AOD = 180°
⇒ 110° + ∠AOD = 180°
⇒ ∠AOD = 180° - 110°
∴ X = 70°

দেওয়া আছে,
B = 6x,
C = 5x
A:B = 7:6
বা, A/B = 7/6
বা, A = 7/6 B
= 7/6 × 6x
= 7x
ΔABC-এ,
A + B + C = 180°
বা, 6x + 5x + 7x = 180°
বা, 18x = 180°
∴ x = 10°

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য √৩২ একক হলে, পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কর্ণের দৈর্ঘ্য = √৩২ একক

যদি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক হয়
তাহলে কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√২ একক
সুতরাং,
a√২ = √৩২ = √(১৬ × ২) = ৪ × √২
∴ a = ৪ একক

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য
= ৪ × ৪ = ১৬ একক

প্রশ্ন: 25 + 50 + 100 + ...... + 3200 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 25
সাধারণ অনুপাত, r = 50/25 = 2

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 3200
⇒ 25 × 2^{n - 1} = 3200
⇒ 2^{n - 1} = 3200/25
⇒ 2^{n - 1} = 128
⇒ 2^{n - 1} = 2⁷
⇒ n - 1 = 7
∴ n = 8

∴ ধারাটির সমষ্টি Sn = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
= {25 × (2⁸ - 1)}/(2 - 1)
= 25 × (256 - 1)
= 25 × 255
= 6375

প্রশ্ন: যদি A অর্থ ÷, B অর্থ +, C অর্থ - এবং D অর্থ × হয়, তাহলে-
24 A 8 D 24 B 8 C 9 = ?

সমাধান:
24 A 8 D 24 B 8 C 9
= 24 ÷ 8 × 24 + 8 - 9
= 3 × 24 + 8 - 9
= 72 + 8 - 9
= 80 -  9
= 71

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল ১২৮ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি, আয়তাকার ঘরটির প্রস্থ = ক মিটার।
অতএব, দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার।

আয়তাকার ঘরের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ।
প্রশ্নমতে,
২ক × ক = ১২৮
⇒ ২ক² = ১২৮
⇒ ক² = ১২৮/২
⇒ ক² = ৬৪
⇒ ক = √৬৪
⇒ ক = ৮ মিটার

∴ প্রস্থ = ৮ মিটার
দৈর্ঘ্য = ২ × ৮ = ১৬ মিটার

∴ আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(১৬ + ৮) মিটার
= ২ × ২৪ মিটার
= ৪৮ মিটার

মোট পরীক্ষার্থী, n(S) = ১০০%
গণিতে পাশ, n(M) = ৭০%
বাংলায় পাশ, n(B) = ৮০%
গণিত এবং বাংলায় পাশ, n(M∩B) = ৭০%
গণিত অথবা বাংলায় পাশ, n(M∪B) = ?
আমরা জানি,
n(M∪B) = n(M) + n(B) - n(M∩B)
= ৭০% + ৮০% - ৭০%
= ৮০%
সুতরাং গণিত অথবা বাংলা দুটি বিষয়েই ফেল = ১০০% - ৮০%
= ২০%

সংখ্যাটি = (৩১ + ৫৫) / ২ = ৪৩

(x - 2) (x - 3) < 0 হবে যদি,
(x - 2) > 0 এবং (x - 3) < 0 হয়।
x - 2 > 0
x >2
আবার, x - 3 < 0
x < 3
∴ 2 < x < 3

ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য = 2a cm
বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য = 3a cm
∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × 2a × 3a = 48
বা, 3a² = 48
বা, a² = 16
∴ a = 4
∴ বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য = 3.4
= 12 সে. মি.