গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 4র্থ (চতুর্থ) এবং 12 তম পদের যোগফল 20 । ঐ ধারার প্রথম 15 পদের যোগফল কত? 

সমাধান:
আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d ; যেখানে a = প্রথম পদ, d = সাধারণ অন্তর।

সুতরাং, 
সমান্তর ধারার 4র্থ পদ = a + (4 - 1)d = a + 3d
সমান্তর ধারার 12 পদ = a + (12 - 1)d = a + 11d

প্রশ্নমতে, 
a + 3d + a + 11d = 20
∴ 2a + 14d = 20 ........ (1)

আবার, 
সমান্তর ধারার প্রথম n পদের যোগফল = (n/2) × {2a + (n - 1)d}
∴ সমান্তর ধারার প্রথম 15 পদের যোগফল = (15/2) × {2a + (15 - 1)d}
= (15/2) × {2a + 14d}
= (15/2) × 20   ; [(1) নং হতে]
= 15 × 10
= 150

সুতরাং, ঐ ধারার প্রথম 15 পদের যোগফল 150

সুজেল, রুজেল ও রুবেলের আপেলের অনুপাত
= ১/৬ : ১/৩ : ১/৪
= (১×১২)/৬ : (১×১২)/৩ : (১×১২)/৪
= ২ : ৪ : ৩
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = (২+৪+৩) = ৯
∴ রুবেল আপেল পাবে ২১৬ এর ৩/৯ টি
= ৭২ টি

প্রশ্ন: a² - b² - c² - 2bc + a - b - c এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি? 

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি = a² - b² - c² - 2bc + a - b - c 
= a² - (b² + c² + 2bc) + a - b - c
= a² - (b + c)² + a - b - c
= {a + (b + c)}{a - (b + c)} + (a - b - c)
= (a + b + c)(a - b - c) + (a - b - c)
= (a - b - c)(a + b + c + 1)

প্রশ্ন: a³ − 21a − 20 রাশিটির একটি উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
a³ − 21a − 20
= a³ + a² − a² − a − 20a − 20
= a²(a + 1) − a (a + 1) − 20 (a + 1)
= (a + 1) (a² − a − 20)
= (a + 1) (a² − 5a + 4a − 20)
= (a + 1) {a (a − 5) + 4 (a − 5)}
= (a + 1) (a − 5) (a + 4)

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার ৮% নিলে ৯৬ পাওয়া যায়, সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
সংখ্যাটির ৮% = ৯৬
∴ সংখ্যাটির ১% = ৯৬/৮
∴ সংখ্যাটির ১০০% = (৯৬ × ১০০)/৮
= ১২০০ 

∴ সংখ্যাটি = ১২০০  ।

প্রশ্ন: sin θ = 4/5 হলে tan θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sin θ = 4/5
⇒ sin θ = লম্ব / অতিভুজ

আমরা জানি,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি² 
⇒ ভূমি² = অতিভুজ² - লম্ব²
⇒ ভূমি² = 5² - 4²
⇒ ভূমি² = 25 - 16
⇒ ভূমি² = 9
⇒ ভূমি = 3

তাহলে,
∴ tan θ = লম্ব/ভূমি = 4/3

ধরি, সংখ্যা দুইটি ৫ক ও ৭ক
∴ ৫ক ও ৭ক এর গ.সা.গু. = ক
প্রশ্নমতে,
ক = ৬
∴ সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ৫ × ৬ = ৩০ এবং ৭ × ৬ = ৪২
∴ ৩০ ও ৪২ এর ল.সা.গু. = ২১০

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৩ মিটার, প্রস্থ ২ মিটার এবং গভীরতা ৪০ সে.মি । চৌবাচ্চাটির ধারণক্ষমতা কত লিটার? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = ৩ মিটার = (৩ × ১০০) সে.মি = ৩০০ সে.মি 
চৌবাচ্চার প্রস্থ = ২ মিটার = (২ × ১০০) সে.মি = ২০০ সে.মি 
চৌবাচ্চার গভীরতা = ৪০ সে.মি 

∴ চৌবাচ্চার আয়তন = (৩০০ × ২০০ × ৪০) ঘন সে.মি 
= ২৪০০০০০ ঘন সে.মি 

১০০০ ঘন সে.মি = ১ লিটার 
∴ চৌবাচ্চাটির ধারণক্ষমতা = ২৪০০০০০/১০০০ লিটার 
= ২৪০০ লিটার ।

{( শেষ পদ + ১ম পদ)/২} x {(শেষ পদ-১ম পদ)/পদের অন্তর}+১
= (৭৭+১)/২ x ((৭৭-১)/২) +১
= ৩৯ x ৩৯
= ১৫২১

প্রশ্ন: 3^{x + 3} = 81 হলে, 3^{x - 1} = কত? 

সমাধান: 
3^{x + 3} = 81
বা, 3^{x + 3} = 3⁴
বা, x + 3 = 4
বা, x = 4 - 3
∴ x = 1

এখন, 
3^{x - 1} = 3^{1 - 1}
= 3⁰
= 1  [∴ a⁰ = 1]

প্রশ্ন: লঞ্চের গতি ও স্রোতের গতি যথাক্রমে ২০ কিমি/ঘণ্টা এবং ৪ কিমি/ঘণ্টা। নদীপথে ৪৮ কিমি অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে আসতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে লঞ্চের বেগ ঘণ্টায় = লঞ্চের বেগ + স্রোতের বেগ
= (২০ + ৪) কিমি
= ২৪ কিমি

∴ স্রোতের অনুকূলে ৪৮ কিমি যেতে সময় লাগবে = ৪৮/২৪ ঘণ্টা
= ২ ঘণ্টা।

স্রোতের প্রতিকূলে লঞ্চের বেগ ঘণ্টায় = লঞ্চের বেগ - স্রোতের বেগ
= (২০ - ৪) কিমি
= ১৬ কিমি

∴ স্রোতের প্রতিকূলে ৪৮ কিমি যেতে সময় লাগবে = ৪৮/১৬ = ৩ ঘণ্টা।

∴ মোট সময় লাগবে = (২ + ৩) ঘণ্টা
= ৫ ঘণ্টা।

প্রশ্ন: নিচের কোন দুইটি সংখ্যা সহমৌলিক?

সমাধান:
যদি দুইটি সংখ্যার মধ্যে ১ ব্যতীত কোন সাধারণ গুণনীয়ক বা উৎপাদক না থাকে, তাহলে সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে,
১১ ও ১৩ সংখ্যা দুটির মধ্যে ১ ব্যতীত সাধারণ গুণনীয়ক নেই।
অতএব ১১ ও ১৩ সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।

প্রশ্ন: ১২০ মিটার দীর্ঘ একটি দড়িকে ৩ : ৪ : ৫ অনুপাতে ভাগ করলে মাঝের টুকরাটির দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
ধরি, টুকরাগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে = ৩ক, ৪ক, ৫ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ৪ক + ৫ক = ১২০
বা, ১২ক = ১২০
∴ ক = ১০

∴ মাঝের টুকরার দৈর্ঘ্য= ৪ক
= ৪ × ১০ = ৪০ মিটার

ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r একক,
ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক।
ব্যাসার্ধ 20% কমে = r - r এর  20% = 0.8r একক
তাহলে ক্ষেত্রফল = π (0.8r)² = 0.64πr² বর্গ একক
ক্ষেত্রফল কমবে = πr²–0.64πr² = 0.36πr² বর্গ একক
ক্ষেত্রফল কমার হার = 0.36 x 100 = 36%

শর্টকাট পদ্ধতি:
[- 20 - 20 + (20X20)/100]% = - 36%
সুতরাং বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৩৬% হ্রাস পাবে।

প্রশ্ন: ৭২ কোন সংখ্যার ৬০%?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ৬০% = ৭২
⇒ ক × (৬০/১০০) = ৭২
⇒ ক = (৭২ × ১০০)/৬০
⇒ ক = ১২০

সুতরাং, সংখ্যাটি = ১২০

প্রশ্ন: সমক্ষমতাসম্পন্ন ৬টি মেশিন প্রতি মিনিটে ২৭০টি বোতল উৎপন্ন করে। এরূপ ১০টি মেশিন ৪ মিনিটে কতটি বোতল উৎপন্ন করতে পারবে?

সমাধান:
৬টি মেশিন ১ মিনিটে উৎপন্ন করে ২৭০টি
১টি মেশিন ১ মিনিটে উৎপন্ন করে ২৭০/৬ = ৪৫টি
১০টি মেশিন ১ মিনিটে উৎপন্ন করে ৪৫ × ১০ = ৪৫০টি
১০টি মেশিন ৪ মিনিটে উৎপন্ন করে ৪৫০ × ৪ = ১৮০০টি

∴ ১৮০০টি বোতল উৎপন্ন করতে পারবে।

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৭০% থেকে ১৪০ বিয়োগ করলে ফলাফল হবে ৭০। তবে সংখ্যাটি কত? 

সমাধান:
ধরি, 
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে, 
(x এর ৭০%) - ১৪০ = ৭০ 
বা, x × (৭০/১০০) = ১৪০ + ৭০ 
বা, ৭০x/১০০ = ২১০
বা, ৭০x = ২১০ × ১০০ 
বা, x = (২১০ × ১০০)/৭০
∴ x = ৩০০

∴ সংখ্যাটি = ৩০০ 

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাথে 5 যোগ করলে যোগফল হবে সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্কের তিনগুণ। আর সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে, তা মূল সংখ্যাটি থেকে 9 কম হবে। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান:
মনে করি, 
দশক স্থানীয় অঙ্ক x 
একক স্থানীয় অঙ্ক y
সংখ্যাটি 10x + y 
 
১ম শর্তানুসারে,
x + y + 5 = 3x 
⇒ y + x - 3x = - 5
⇒ y - 2x = - 5 
y = - 5 + 2x ....................(1)
২য় শর্তানুসারে,
⇒ 10y + x = (10x + y) - 9
⇒ 10y + x = 10x + y - 9
⇒ 10y - y = 10x - x - 9
⇒ 9y = 9x - 9
∴ y =  x - 1

y এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই, 
⇒ - 5 + 2x = x - 1
⇒ 2x - x = - 1 + 5
∴ x = 4
x এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
⇒ y = - 5 + 2 × 4 
⇒ y = - 5 + 8
∴ y = 3

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে = 10x + y = (10 × 4) + 3 = 40 + 3 = 43

প্রশ্ন: যদি ⁿC₅ = ⁿC₃ হয়, তবে ¹¹C_n এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ⁿC₅ = ⁿC₃
⇒ ⁿC_{n - 5} = ⁿC₃  [যেহেতু, ⁿC_r = ⁿC_{n - r}]
⇒ n - 5 = 3
∴ n = 5 + 3 = 8

সুতরাং, প্রদত্ত রাশি,
= ¹¹C_n
= ¹¹C₈  [n = 8]
= 11!/(8! × 3!)
= (11 × 10 × 9 × 8!)/(8! × 3 × 2 × 1)
= (11 × 10 × 9)/(3 × 2 × 1)
= 990/6
= 165

প্রশ্ন: যদি 10, 4, 5, 3, 2, 6, 7, 3 এর গড় m হয় এবং 2, 5, 3, 11, m, 10 এর গড় p হয়, তাহলে (m + p) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
10, 4, 5, 3, 2, 6, 7, 3 এর গড় m
এবং 2, 5, 3, 11, m, 10 এর গড় p

আমরা জানি,
গড় = সকল উপাত্তের যোগফল / উপাত্তের সংখ্যা

এখন, 
⇒ m = (10 + 4 + 5 + 3 + 2 + 6 + 7 + 3)/8
⇒ 8m = 40
⇒ m = 40/8
∴ m = 5

এবং
⇒ 6p = 2 + 5 + 3 + 11+ m + 10
⇒ 6p = 2 + 5 + 3 + 11+ 5 + 10 ; [m = 5] 
⇒ p = 36/6
∴ p = 6

 প্রদত্ত রাশি,
m + p = 5 + 6 = 11

∴ সঠিক উত্তর হলো 11

প্রশ্ন: 24 মিটার লম্বা একটি মই ভূমির সাথে 30° কোণ করে দেয়ালের শীর্ষ স্পর্শ করে। দেয়ালের উচ্চতা কত?

সমাধান:

দেয়ালটির উচ্চতা AB = ?
মইয়ের দৈর্ঘ্য AC = 24 মিটার
Sin∠ACB = AB/AC
Sin 30° = AB/24
1/2 = AB/24
2AB = 24
AB = 24/2 = 12

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। প্রতি বর্গমিটার ১২.৫০ টাকা দরে ঘরটির মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে মোট ১,৬০০ টাকা ব্যয় হলে, ঘরটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
মোট ব্যয় = ১,৬০০ টাকা
প্রতি বর্গমিটার কার্পেটিং খরচ = ১২.৫০ টাকা
সুতরাং, ঘরটির ক্ষেত্রফল = মোট ব্যয় ÷ প্রতি বর্গমিটার খরচ
= ১,৬০০ ÷ ১২.৫০
= ১২৮ বর্গমিটার।

ধরি, ঘরটির প্রস্থ = ক মিটার
সুতরাং, ঘরটির দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার

আমরা জানি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
প্রশ্নমতে,
২ক × ক = ১২৮
বা, ২ক^২ = ১২৮
বা, ক^২ = ১২৮/২
বা, ক^২ = ৬৪
বা, ক = √৬৪
∴ ক = ৮

সুতরাং, প্রস্থ = ৮ মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = ২ × ৮ = ১৬ মিটার।

∴ ঘরটির দৈর্ঘ্য ১৬ মিটার।

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 4 এবং সাধারণ অনুপাত 1/2 হলে ধারাটির প্রথম পদ কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r

দেওয়া আছে,
ধারার সাধারণ অনুপাত, r = 1/2
এবং তৃতীয় পদ = 4

প্রশ্নমতে,
a(1/2)^{3 -1} = 4
⇒ a × (1/2)² = 4 
⇒ a × (1/4) = 4 
⇒ a = 4 × 4
⇒ a = 16

পাঁচ অংকের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯
এক অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা =        ১
----------------------------------------
(+)                            = ১০০০০০ ছয় অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা 

প্রশ্ন: যদি তেলের মূল্য ১৫% বৃদ্ধি পায় তবে তেলের ব্যবহার শতকরা কত কমালে তেল বাবদ ব্যয় বৃদ্ধি পাবে না?

সমাধান:
১৫% বৃদ্ধিতে তেলের বর্তমান মূল্য = (১০০ + ১৫) = ১১৫ টাকা

১১৫ টাকায় ব্যবহার কমাতে হবে = ১৫ টাকা
১    টাকায় ব্যবহার কমাতে হবে = ১৫/১১৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ব্যবহার কমাতে হবে = (১৫ × ১০০)/১১৫ টাকা
= ১৩.০৪ টাকা
∴ তেলের ব্যবহার ১৩.০৪% কমালে তেল বাবদ ব্যয় বৃদ্ধি পাবে না।

ধরি,
a বিয়োগ হবে।
∴ (5 - a)/(7 - a) = 5/3
বা, 15 - 3a = 35 - 5a
বা, -3a + 5a = 35 - 15
বা, 2a = 20
∴ a = 10

২০ কেজি চিনির জন্য আখ প্রয়োজন ১০০ কেজি
৫০ কেজি চিনির জন্য আখ প্রয়োজন (১০০ × ৫০)/২০ = ২৫০ কেজি

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে 10 জন ছাত্রের প্রত্যেকে তার সহপাঠির সংখ্যার সমান চাঁদা দিলে মোট কত টাকা চাঁদা উঠবে?

সমাধান:

ছাত্রদের চাঁদা সম্পর্কিত সমস্যা:
- একটি শ্রেণিতে ১০ জন ছাত্র আছে।  
- প্রত্যেক ছাত্র তার সহপাঠির সংখ্যার সমান টাকা চাঁদা দেয়।  
- অর্থাৎ, প্রত্যেক ছাত্র তার নিজের বাদে বাকি ছাত্রদের সংখ্যা অনুযায়ী টাকা দেয়।  
তাই, প্রত্যেক ছাত্রের সহপাঠির সংখ্যা = (মোট ছাত্র - ১) = (১০ - ১) = ৯।  

সুতরাং, প্রত্যেক ছাত্র ৯ টাকা করে চাঁদা দেবে।  
মোট চাঁদা = ১০ × ৯ = ৯০ টাকা।  

এখানে, মূলত প্রতিটি ছাত্র নিজের বাদে বাকি ছাত্রদের সংখ্যা অনুযায়ী টাকা দেয়।  
ফলে প্রতিটি ছাত্র ৯ টাকা দেয়, কারণ তার ৯ জন সহপাঠি আছে।  
১০ জন ছাত্রই যদি ৯ টাকা করে দেয়, তাহলে মোট হবে ৯০ টাকা।  

∴ সঠিক উত্তর: ৯০ টাকা​

ধরি,
পুত্রের বর্তমান বয়স x বছর
∴ পিতার বর্তমান বয়স (৬০ - x) বছর
প্রশ্নমতে,
(৬০ - x + ৫) : (x + ৫) = ৫ : ২
⇒ (৬৫ - x) / (x + ৫) = ৫ / ২
⇒ ৫(x+৫) = ২(৬৫ - x)
⇒ ৫x + ২৫ = ১৩০ - ২x
⇒ ৭x = ১০৫
∴ x = ১৫

এখানে, বাড়ির উচ্চতা (লম্ব) = 40 ফুট ও দেওয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব (ভূমি) = 9 ফুট।
মইয়ের দৈর্ঘ্য (অতিভুজ) = ?
পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
অতিভুজ² = 402 + 92
অতিভুজ² = 1681
অতিভুজ = 41
অর্থ্যাৎ, মইয়ের দৈর্ঘ্য = 41 ফুট।
এছাড়াও, পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বাহুগুলোর অনুপাত = 3:4:5, 6:8:10, 5:12:13, 7:24:25, 9:40:41 এরকম হয়। অনুপাত ব্যবহারের মাধ্যমে শর্ট টেকনিকেও সহজে উত্তর করা যায়।