গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: b এর মান কত হলে 9x² + bx + 25 একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
কোনো রাশি পূর্ণবর্গ হবে যদি, b² - 4ac = 0 হয়।
∴ b² - 4ac = 0
⇒ (b)² - (4 × 9 × 25) = 0
⇒ b² - 900 = 0
⇒ b² = 900
⇒ b = √900 = 30
∴ b = 30

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: (3²)^{x - 1} = 81 হলে x = কত?

সমাধান:
(3²)^{x - 1} = 81
বা, 3^{2(x - 1)} = 3⁴
বা, 3^{(2x - 2)} = 3⁴
বা, 2x - 2 = 4
বা, 2x = 4 + 2
বা, 2x = 6
বা, x = 6/2
∴ x = 3

প্রশ্ন: ১ টি চৌবাচ্চার ৩/৫ অংশ পানি দ্বারা পূর্ণ হতে সময় লাগে ৬ ঘণ্টা। চৌবাচ্চাটির বাকি অংশ পূর্ণ হতে আর কত সময় লাগবে?

সমাধান:
চৌবাচ্চাটির বাকি অংশ = (১ - ৩/৫) অংশ
= ২/৫ অংশ

এখন,
চৌবাচ্চাটির ৩/৫ অংশ পূর্ণ হতে সময় লাগে ৬ ঘণ্টা
চৌবাচ্চাটির ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হতে সময় লাগে (৬ × ৫/৩) ঘণ্টা
চৌবাচ্চাটির ২/৫ অংশ পূর্ণ হতে সময় লাগে = (৬ × ৫/৩) × (২/৫) ঘণ্টা
= ৪ ঘণ্টা

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুটি কোণের সমষ্টি = 180°
∴ একটি কোণ A হলে, অপরটি = 180° - A

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা দুইটি নল দ্বারা যথাক্রমে ১০ মিনিট ও ১৫ মিনিটে পূর্ণ হতে পারে। নল দুইটি একসঙ্গে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটির  অর্ধেক পূর্ণ হতে কত সময় লাগে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা,
১০ মিনিটে পূর্ণ হয় ১ অংশ
১ মিনিটে পূর্ণ হয়  ১/১০ অংশ

২য় নল দ্বারা একইভাবে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় ১/১৫ অংশ

নল দুইটি একসঙ্গে খুলে দিলে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/১০) + ((১/১৫) অংশ
= (৩ + ২)/৩০ অংশ
= ৫/৩০ অংশ
= ১/৬ অংশ

এখন,
১/৬ অংশ পূর্ণ হয় ১ মিনিটে
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হয় = ৬ মিনিটে
∴ অর্ধেক বা ১/২ অংশ পূর্ণ হয় = (৬ × ১/২) মিনিটে
= ৩ মিনিটে

প্রশ্ন: 32√2 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
log₂(32√2)
= log₂(32 × 2^1/2)
= log₂(2⁵ × 2^1/2)
= log₂(2^{5 + 1/2})
= log₂(2^11/2)
= (11/2) × log₂(2) [যেহেতু, log_b(a^m) = m × log_b(a)]
= (11/2) × 1
= 11/2

যেহেতু, প্রস্থ 16cm ∴ দৈর্ঘ্য = 3 × 16 = 48cm
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(16+48) = 128cm = বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = 128/4 = 32
∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = 32² = 1024

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে n তম পদ = a + (n-1)d
এখানে, ৭তম পদ, ৬০ = a + (৭-১)৯
বা, ৬০ = a + ৫৪
বা, a = ৬
সুতরাং ১২তম পদ = ৬ + (১২-১) ৯
= ৬ + ১১ × ৯
= ৬ + ৯৯
= ১০৫

1 + 8 + 27 +.....
= 1 + 2³ + 3³ +.....+ 9³
= [9(9 + 1)/2]²
= {(9 × 10)/2}²
= (45)²
= 2025

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা? 

সমাধান: 
মূলদ সংখ্যা: যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়। 
যেমন, ৩/১ = ৩, ১১/২ = ৫.৫ ইত্যাদি। 

অপশন যাচাই করে পাই, 
ক) √৮ = √(২ × ৪) = ২√২ ; যা অমূলদ সংখ্যা 

খ) √(৮/৭) = √৮/√৭ ;  যা অমূলদ সংখ্যা

গ) √৭/৩ ;  যা অমূলদ সংখ্যা

ঘ) √২৭/√৪৮ = √(২৭/৪৮)
= √(৯/১৬) = ৩/৪ = ০.৭৫ ; যা মূলদ সংখ্যা

সুতরাং, সঠিক উত্তর ঘ) √২৭/√৪৮

প্রশ্ন: যদি log_x 32 = 5/2 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x 32 = 5/2
⇒ x^5/2 = 32   [log_xa = b হলে, x^b = a]
⇒ (x^1/2)⁵ = 32
⇒ (√x)⁵ = 2⁵
⇒ √x = 2
⇒ (√x)² = 2²
∴ x = 4

প্রশ্ন: ৩/৪, ৬/৮, ৯/১২ এর গ.সা.গু কত?

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু =  লবগুলোর গ.সা.গু/হরের ল.সা.গু

এখানে, 
ভগ্নাংশের লব = ৩, ৬, ৯
ভগ্নাংশের হর = ৪, ৮, ১২

লব ৩, ৬, ৯ এর গসাগু = ৩
হর ৪, ৮, ১২ এর লসাগু = ২৪

∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু = ৩/২৪
= ১/৮

4x⁴ + 3x² + 1
= (2x²)² + 2.2x².1 + 1² - x²
= (2x² + 1)² - x²
= (2x² + x + 1)(2x² - x + 1)

যেহেতু AB = AC সেহেতু △ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
সুতরাং, ∠ABC = ∠ACB = 45°
আবার, যেহেতু AB∥EC সেহেতু ∠ABC = ∠ECD = 45°
চিত্র হতে, ∠ACE = 180° - (∠ACB + ∠ECD)
= 180° - (45° + 45°)
= 180° - 90°
= 90°

ধরি,
ক্রয়মূল্য = a টাকা
১৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ৮৫a/১০০ টাকা
১৫% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১১৫a/১০০ টাকা
∴ ১১৫a/১০০ - ৮৫a/১০০ = ২৪০
বা, (১১৫a - ৮৫a)/১০০ = ২৪০
বা, ৩০a/১০০ = ২৪০
বা, ৩০a = ২৪০০০
∴ a = ২৪০০০/৩০
= ৮০০

প্রশ্ন: একটি স্কুলে ছাত্রদের ড্রিল করার সময় ৮, ১২ ও ১৬ সারিতে সাজানো যায়, আবার বর্গাকারেও সাজানো যায়। এ স্কুলের ছাত্রসংখ্যা কমপক্ষে কত হবে?

সমাধান:
৮ = ২ × ২ × ২
১২ = ২ × ২ × ৩
১৬ = ২ × ২ × ২ × ২

∴ ৮, ১২ ও ১৬ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩

৪৮ সংখ্যাটি বর্গ নয়। বর্গ আকারে সাজাতে হলে সংখ্যাটিকে ৩ দ্বারা গুণ করতে হবে।

∴ ৪৮ × ৩ = ১৪৪

∴ এ স্কুলের ছাত্রসংখ্যা কমপক্ষে কত হবে ১৪৪

O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল πr² = 9π বর্গমিটার
⇒r = 3
∴ ব্যাস = 6 মিটার
চিত্র অনুসারে, ব্যাস = বর্গের বাহু = 6 মিটার
ABCD বর্গের ক্ষেত্রফল = 6²বর্গমিটার = 36 বর্গমিটার

প্রশ্ন: 1, 3, 4, 6, 7, 8 অঙ্কগুলো প্রত্যেকটি ঠিক একবার ব্যবহার করে 4 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেহেতু, অঙ্কের সংখ্যা = 6টি
এদের থেকে 4 অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করতে হবে (প্রতিটি অঙ্ক একবারই ব্যবহার করা যাবে)
∴ মোট সংখ্যা = ⁶P₄
= 6!/(6 - 4)!
= 6!/2!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1)
= 6 × 5 × 4 × 3
= 360

অতএব, মোট 4 অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যাবে 360টি।

জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার ৫%,
বর্তমান জনসংখ্যা ১০৫ জন হলে পূর্বের জনসংখ্যা = ১০০ জন
বর্তমান জনসংখ্যা ১ জন হলে পূর্বের জনসংখ্যা = ১০০/১০৫ জন
বর্তমান জনসংখ্যা ৩২৫৫ জন হলে পূর্বের জনসংখ্যা = (১০০ × ৩২৫৫)/১০৫ জন
= ৩১০০ জন।

এখানে এসিডঃপানির অনুপাত = ৩ঃ১
তাহলে এসিডের পরিমাণ = ৩/৪ × ৪০ লিটার
= ৩০ লিটার।
এবং পানির পরিমাণ = ১/৪ × ৪০ লিটার
= ১০ লিটার।
সুতরাং শর্তমতে, দ্বিতীয় অনুপাতে এসিডের পরিমাণ একই থাকবে এবং শুধু পানির পরিমাণ পরিবর্তন হবে।
৩০/(১০+ক) = ৩/২
বা, ৩০ + ৩ক = ৬০
বা, ৩ক = ৩০
বা, ক = ১০ লিটার।

সংখ্যাগুলোকে মানের ক্রমানুসারে উর্ধ্বক্রমে সাজানো হলো ৮, ৯, ১১, ১২, ১৩, ১৫, ১৮, ২০, ২১, ২২, ২৩, ২৫, ২৭, ২৯, ৩১, ৩৪
মধ্যক = {১৬/২ তম ও (১৬/২ + ১) তম পদের মানের যোগফল} / ২
= {৮ ও ৯ তম পদের মানের যোগফল}/২
= (২০ + ২১)/২ = ২০.৫

প্রশ্ন:  ৫৬ জন শ্রমিক একটি কাজ ২১ দিনে শেষ করতে পারে। ১৪ দিনে কাজটি শেষ করতে হলে নতুন কত জন শ্রমিক লাগবে?

সমাধান:
২১ দিনে একটি কাজ শেষ করতে পারে ৫৬ জন শ্রমিকে 
১ দিনে একটি কাজ শেষ করতে পারে ৫৬ × ২১ জন শ্রমিকে 
১৪ দিনে একটি কাজ শেষ করতে পারে (৫৬ × ২১)/১৪ জন শ্রমিকে 
= ৮৪ জন শ্রমিকে 

নতুন শ্রমিক লাগবে = (৮৪ - ৫৬)জন = ২৮ জন 

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 8 মিটার এবং উহার দুটি বাহুর প্রতিটি 5 মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = b/4 {√4(a)² - (b)²} 

দেওয়া আছে, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 8 মিটার 
এবং দুটি বাহুর প্রতিটি, a = 5 মিটার 

∴ ক্ষেত্রফল = b/4 {√4(a)² - (b)²}
= 8/4 {√4(5)² - (8)²}
= 2 {√(100 - 64)}
= 2 √36
= 2 × 6
= 12

∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 12 বর্গমিটার।

লম্ব = a হলে,
ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ৪ × a 
বা, ৬ = ২a
∴ a = ৩ মিঃ 
∴ অতিভূজ = √(ভূমি² + লম্ব²)
= √(৪² + ৩²)
= ৫ মিটার
∴ পরিসীমা = ভূমি + লম্ব + অতিঃ
= ৪ + ৩ + ৫
= ১২ মিঃ

বহুভূজের মোট শীর্ষবিন্দু = n
প্রতিবার দু'টি শীর্ষবিন্দু নিয়ে ⁿc₂ সংখ্যক রেখা তৈরি হয় যাদের মধ্যে n সংখ্যক বহুভূজের বাহু।
∴ কর্ণ সংখ্যা = ⁿc₂ - n

প্রশ্ন: x⁴ + x² + 1 এর একটি উৎপাদক (x² + x + 1) হলে অপর উৎপাদকটি কত হবে?

সমাধান: 
x⁴ + x² + 1 
= x⁴ + 2x² - x² + 1
= (x⁴ + 2x² + 1) - x²
= {(x²)² + 2.x².1 + (1)²} - x²
= (x² + 1)² - x²
= (x² + 1 + x)(x² + 1 - x)
= (x² + x + 1)(x² - x + 1)

থলেতে,
নীল বল আছে = 6টি
সাদা বল আছে = 8টি
কালো বল আছে = 10টি
∴ মোট বল আছে = 24টি
দু'টি বল ভিন্ন রংয়ের হওয়ার সম্ভাবনা
= (⁶c₁ × ⁸c₁ + ⁶c₁ × ¹⁰c₁ + ⁸c₁ × ¹⁰c₁)/²⁴c₂
= (48 + 60 + 80)/276
= 188/276
= 47/69

৪০ পয়সার ৪০ দিনের সুদ ৪০ পয়সা
∴ ৪০ পয়সার ১ দিনের সুদ ৪০/৪০ = ১ পয়সা।
১ পয়সা = ১/১০০ = ০.০১ টাকা

প্রশ্ন:  দুটি ট্রেন, প্রতিটি ২০০ মিটার লম্বা, সমান গতিতে বিপরীত দিকে গতিশীল অবস্থায় ১০ সেকেন্ড সময়ে পরস্পরকে অতিক্রম করে। ট্রেন দুটির গতিবেগ কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২০০ মিটার + ২০০ মিটার = ৪০০ মিটার
এবং একে অপরকে সম্পূর্ণ অতিক্রম করতে সময় = ১০ সেকেন্ড

এখন, 
যেহেতু দুটি ট্রেনের গতি সমান, তাই প্রতিটির গতি = v মিটার/সেকেন্ড

∴ আপেক্ষিক গতি = v + v = ২v মিটার/সেকেন্ড ; [বিপরীত দিকে হওয়ায়] 

আমরা জানি, 
সময় = দূরত্ব/আপেক্ষিকগতি
​⇒ ১০ = ৪০০/২v
⇒ ২০v = ৪০০
⇒ v = ৪০০/২০ 
⇒ v = ২০ মিটার/সেকেন্ড
⇒ v = ২০ × (১৮/৫) কিমি/ঘণ্টা
∴ v = ৭২ কিমি/ঘণ্টা

সুতরাং, প্রতিটি ট্রেনের গতিবেগ ৭২ কিমি/ঘণ্টা। 

প্রশ্ন: জাবের একা ১২ দিনে একটি কাজ করতে পারে। সে কাজটির ২/৩ অংশ শেষ করার পর অবশিষ্ট কাজটি হামিদ ৫ দিনে শেষ করে। কাজটির ৩/৫ অংশ শেষ করতে হামিদের একার কতদিন লাগবে?

সমাধান: 
ধরি, সম্পূর্ণ কাজ ১ অংশ
অবশিষ্ট কাজ = {১ - (২/৩)} = ১/৩ অংশ

হামিদ (১/৩) অংশ কাজ করে ৫ দিনে
হামিদ ১ অংশ কাজ করে (৫ × ৩) দিনে
হামিদ (৩/৫) অংশ কাজ করে {(৫ × ৩ × ৩)/৫} দিনে
= ৯ দিনে

3x² + 3 = 6x
বা, x² + 1 = 2x
বা, x² - 2x + 1 = 0
বা, (x - 1)² = 0
বা, x - 1 = 0
বা, x = 1

x⁵ - 1/x⁴
= 1⁵ - 1/1⁴
= 1 - 1
= 0

EC² = OC² - OE²
⇒ EC = √(6² - 3²)
⇒ EC = √27
∴ BC = 2√27 মিটার

প্রশ্ন: B = {2, 3, 4, 5} হলে, B এর প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
B = {2, 3, 4, 5}

আমরা জানি,
কোন সেটের প্রকৃত উপসেট = 2ⁿ-1
এখানে,
n = সেটের উপাদান সংখ্যা = 4

∴ প্রকৃত উপসেট =  2ⁿ-1 = 2⁴-1=16 - 1 = 15

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. ১০৫ এবং সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত ৫ : ৭ হলে সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার অনুপাত = ৫ : ৭
তাদের ল.সা.গু = ১০৫

মনে করি,
একটি সংখ্যা = ৫ক
অপর সংখ্যা = ৭ক

∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ৩৫ক

প্রশ্নমতে,
৩৫ক = ১০৫
⇒ ক = ১০৫/৩৫
∴ ক = ৩

∴ সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি = ৫ক + ৭ক
= ১২ক
= ১২ × ৩
= ৩৬