গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ৬০ সেকেন্ডে একটি ৪২০ মিটার লম্বা স্টেশন অতিক্রম করে এবং ৪৫ সেকেন্ডে ২৭০ মিটার লম্বা একটি ব্রিজ অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ট্রেনটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

প্রশ্নমতে,
(ক + ৪২০)/৬০ = (ক + ২৭০)/৪৫

⇒ ৪৫(ক + ৪২০) = ৬০(ক + ২৭০)
⇒ ৪৫ক + ১৮৯০০ = ৬০ক + ১৬২০০
⇒ ৬০ক - ৪৫ক = ১৮৯০০ - ১৬২০০
⇒ ১৫ক = ২৭০০
⇒ ক = ২৭০০/১৫

∴ ক = ১৮০ মিটার

∴ ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ১৮০ মিটার।

প্রশ্ন: ক : খ = ৭ : ৫ এবং খ : গ = ৮ : ৯ হলে, ক : খ : গ = কত?

সমাধান:
ক : খ = ৭ : ৫ = (৭ × ৮) : (৫ × ৮) = ৫৬ : ৪০
খ : গ = ৮ : ৯ = (৮ × ৫) : (৯ × ৫) = ৪০ : ৪৫
∴ ক : খ : গ  = ৫৬ : ৪০ : ৪৫

প্রশ্ন: x² - 3x + 1 = 0 হলে, x² + 1/x² এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² - 3x + 1 = 0
বা, x² + 1 = 3x
বা, x²/x + 1/x = 3x/x
∴ x + 1/x = 3

আমরা জানি, 
x² + 1/x² = (x + 1/x)² - 2.x.1/x
= (3)² - 2
= 9 - 2
= 7

পূর্বে ৫ কেজি চালের দাম ১০০ টাকা হলে, ১ কেজির দাম ছিলো ১০০/৫ = ২০ টাকা
বর্তমানে ৬ কেজি চালের দাম ১০০ টাকা হলে, ১ কেজির দাম = ১০০/৬ = ১৬.৬৭ টাকা
চালের দাম কমে = ২০ - ১৬.৬৭ = ৩.৩৩ টাকা
২০ টাকায় কমে ৩.৩৩ টাকা
∴ ১০০ টাকায় কমে (১০০×৩.৩৩) / ২০ = ১৬.৬৫%

প্রশ্ন: যদি log_1/2x = - 4 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান:
log_1/2x = - 4
⇒ x = (1/2)^{- 4}
⇒ x = 2⁴
⇒ x = 16

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৫ এবং ল.সা.গু ৯০। একটি সংখ্যা ৩০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, অপর সংখ্যাটি হলো x
আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩০x = ১৫ × ৯০
⇒ x = (১৫ × ৯০)/৩০
⇒ x = ৪৫
 
অতএব, অপর সংখ্যাটি হলো ৪৫

প্রশ্ন: রফিক ও তার বন্ধুর বয়সের অনুপাত ৯ : ৭। বর্তমানে রফিকের বয়স ১৮ বছর হয়, ৫ বছর আগে বন্ধুর বয়স কত ছিলো?

সমাধান:  
রফিক ও তার বন্ধুর বয়সের অনুপাত = ৯ : ৭
বর্তমানে রফিকের বয়স = ১৮ বছর
বর্তমানে রফিকের বয়স : তার বন্ধুর বয়স = ১৮ : x
তাহলে,
১৮/x = ৯/৭
⇒ x = (১৮ × ৭)/৯
∴ x = ১৪
তাহলে ৫ বছর আগে রফিকের বন্ধুর বয়স = ১৪ - ৫ = ৯

∴ ৫ বছর আগে বন্ধুর বয়স ছিলো ৯ বছর। 

প্রশ্ন: log_x(0.001) = - 3 হলে ভিত্তি x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(0.001) = - 3
⇒ x^{- 3} = 0.001  [log_ab = c হলে, a^c = b]
⇒ x^{- 3} = 1/1000
⇒ x^{- 3} = 1/10³
⇒ x^{- 3} = 10^{- 3} 
∴ x = 10

প্রশ্ন: f(x) = 3x² + kx - 14 এর একটি উৎপাদক যদি (x - 1) হয়, তবে k-এর মান কত?

সমাধান:
যেহেতু (x - 1) একটি উৎপাদক,
তাই x = 1 হলে f(1) = 0 হবে।

এখন,
f(x) = 3x² + kx - 14
∴ f(1) = 3 × (1)² + (k × 1) - 14 = 0
⇒ 3 + k - 14 = 0
⇒ k - 11 = 0
⇒ k = 11

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান: 
মনে করি, 
সুষম ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 4 সে.মি.
এবং
বাহুর সংখ্যা, n = 6 

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল = (na²/4)cot(180°/n) 
= {(6 × 4²)/4}Cot(180°/6) বর্গ সে.মি. 
= {(6 × 16)/4}Cot30° বর্গ সে.মি.
= (6 × 4)Cot30° বর্গ সে.মি.
= 24Cot30° বর্গ সে.মি.
= 24√3 বর্গ সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফল = 24√3 বর্গ সে.মি.। 

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের নিচের প্রান্তের ক্ষেত্রফল 100π বর্গমিটার এবং আয়তন 900π ঘনমিটার হলে সিলিন্ডারের উচ্চতা কত? 

সমাধান:
​ধরি,
​সিলিন্ডারের উচ্চতা = h মিটার 
​
দেওয়া আছে,
​সিলিন্ডারের নিচের প্রান্তের ক্ষেত্রফল = 100π বর্গমিটার
⇒  πr² = 100π
⇒ ​r² = 100
​
​আবার,
​​আয়তন = 900π ঘনমিটার
⇒ ​πr²h = 900π
⇒ ​​r²h = 900
⇒ ​​h = 900/r² 
⇒ ​​h = 900/100
⇒ ​​h = 9 

প্রশ্ন: সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টির দ্বিগুণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে, 
অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180° 
∴ সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (6 - 2) × 180°
= 4 × 180°

∴ অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টির দ্বিগুণ = 2 (4 × 180)°
= 8 × 180° 
= 8 × 2 সমকোণ 
= 16 সমকোণ ।

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যা-কে কী বলা হয়? 

সমাধান: 
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে বৃত্তের কোনো বিন্দুর দূরত্বকে ঐ বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে। 
- বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে। 
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে। 
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। 
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে। 
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি। 

আমরা জানি, রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= 1/2 × 8 × 9
= 36 বর্গ সে.মি.
শর্তমতে, a² = 36 (যেহেতু রম্বসের ক্ষেত্রফল = বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল)
বা, a = 6 সে.মি.
সুতরাং বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a
= 4 × 6
= 24 সে.মি.

x² = (√5)x
⇒ x² - (√5)x = 0
⇒ x(x - √5) = 0
∴ x = 0অথবা x = √5
∴ নির্ণেয় সমাধান সেট S = {0, √5}

প্রশ্ন: যদি

সমাধান:

প্রশ্ন: x + (1/x) = √7 হলে, x³ + (1/x³) এর মান কত?

সমাধান:
এখানে, x + (1/x) = √7

আমরা জানি,
x³ + (1/x³) = (x + 1/x)³ - 3 . x . (1/x)(x + 1/x)
= (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x)
= (√7)³ - 3 × √7
= 7√7 - 3√7
= 4√7

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল তাদের যোগফলের ১৬ গুণ। সংখ্যা তিনটির গড় কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্রমিক সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ক, ক + ১, ক + ২

প্রশ্নমতে,
ক(ক + ১)(ক + ২) = ১৬(ক + ক + ১ + ক + ২)
⇒ ক(ক + ১)(ক + ২) = ১৬(৩ক + ৩)
⇒ ক(ক + ১)(ক + ২) = ১৬ × ৩(ক + ১)
⇒ ক(ক + ২) = ৪৮ 
⇒ ক^২ + ২ক - ৪৮ = ০ 
⇒ ক^২ + ৮ক - ৬ক - ৪৮ = ০
⇒ (ক + ৮)(ক - ৬) = ০ 
হয়, ক = ৬ অথবা, ক = - ৮    ; [ক = - ৮ গ্রহণযোগ্য নয়]

তাহলে,
ক = ৬ হলে সংখ্যা তিনটির গড় = (ক + ক + ১ + ক + ২) ÷ ৩
= (৩ক + ৩)/৩
= ২১/ ৩ 
= ৭ 

বৃত্তদ্বয় বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে আছে
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দুরত্ব = ব্যাসার্ধদ্বয়ের সমষ্টি
∴ ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 13 - ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ
                              = 13 - 8
                              = 5 cm

মনে করি,
সংখ্যা দু'টি যথাক্রমে x, 2.5x
∴ x + 2.5x = 105
বা, 3.5x = 105
বা, x = 105/3.5 = 30
∴ বড় সংখ্যাটি = 2.5 × 30
= 75

Let the five numbers be x, (x + 2), (x + 4), (x + 6) and (x + 8)

Then, x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) + (x + 8) = 575
⇔ 5x + 20 = 575 ⇔ 5x = 555 ⇔ x = 111

∴ Required sum = (x + 10) + (x + 12) + (x + 14) + (x + 16) + (x + 18)
= 5x + 70
= 5 × 111 + 70
= 555 + 70
= 625

প্রশ্ন: ৫২টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে নিরপেক্ষভাবে একটি তাস নির্বাচন করা হলো, তাসটি টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট তাস সংখ্যা = ৫২ টি
এর মধ্যে, টেক্কা = ৪ টি

∴ তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = ৪/৫২
= ১/১৩

∴ তাসটি টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/১৩)
= (১৩ - ১)/১৩
= ১২/১৩

প্রশ্ন: (2x + 3y) = 12 এবং (5x + 2y) = 19 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x + 3y = 12 ......(1)
5x + 2y = 19 ......(2)

{(2) নং × 3} - {(1) নং × 2} ⇒
(15x + 6y) - (4x + 6y) = 57 - 24
বা, 11x = 33
বা, x = 33/11
∴ x = 3

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2(3) + 3y = 12
বা, 6 + 3y = 12
বা, 3y = 12 - 6
বা, 3y = 6
বা, y = 6/3
∴ y = 2

সুতরাং, সরলরেখা দুটি (3, 2) বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধকে যদি r থেকে বৃদ্ধি করে (r + n) করা হয়, তবে তার ক্ষেত্রফল দ্বিগুণ হয়। r-এর মান কত? 

সমাধান: 
ব্যাসার্ধ r হলে ক্ষেত্রফল = πr²
এবং ব্যাসার্ধ (r + n) হলে ক্ষেত্রফল = π(r + n)²

প্রশ্নমতে, 
2 × πr² = π (r + n)²
বা, 2r² = (r + n)²
বা, √2 r = r + n 
বা, √2 r - r = n 
বা, r (√2 - 1) = n 
∴ r = n/(√2 - 1)

দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১০% কম হলে ক্রয়মূল্য হবে = ৯০০ টাকা
১৫% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১৫ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৯০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১১৫×৯০০)/১০০ = ১০৩৫
তাহলে লাভ হবে = ১০৩৫ - ৯০০ = ১৩৫ টাকা

প্রশ্ন: 3, 8 এবং 9 এর গুণোত্তর গড় কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
তিনটি সংখ্যা X₁, X₂ এবং X₃ এর গুণোত্তর গড় (GM) হলো:
GM = (X₁ × X₂ × X₃)^1/3

সুতরাং, 3, 8 এবং 9 এর গুণোত্তর গড় = (3 × 8 × 9)^1/3
= (24 × 9)^1/3
= (216)^1/3
=
= 6

∴ গুণোত্তর গড় = 6

প্রশ্ন: পাঁচ অংকের কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা 12, 15 এবং 18 দ্বারা বিভাজ্য হবে? 

সমাধান:
12, 15, 18 এর ল.সা.গু = 180
পাঁচ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 10000

10000 কে 180 দিয়ে ভাগ করলে অবশিষ্ট থাকে 100 

নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 10000 + (180 - 100)
= 10000 + 80
= 10080