গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: 7 টি ক্রমিক সংখ্যার গড় 33 হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
সবচেয়ে ছোট ক্রমিক সংখ্যা x হলে -
ক্রমিক সংখ্যাগুলো যথাক্রমে x, (x + 1), (x + 2), (x + 3), (x + 4), (x + 5), (x + 6)

∴ ক্রমিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) + (x + 5) + (x + 6)
= x + x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 + x + 5 + x + 6
= 7x + 21
= 7(x + 3)

শর্তমতে, 
7(x + 3) = 33 × 7
বা, x + 3 = (33 × 7)/7
বা, x + 3 = 33
বা, x = 33 - 3
∴ x = 30

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = x + 6
= 30 + 6
= 36

১৪% লাভে বিক্রয়মূল্য = ৩০০ + ৩০০ এর ১৪% = ৩৪২ টাকা।
ধরি, ৫% কমিশনে ধার্যমূল্য = x টাকা
প্রশ্নমতে,
x - x এর ৫% = ৩৪২
বা, x - ০.০৫x = ৩৪২
বা, ০.৯৫x = ৩৪২
বা, x = ৩৪২/০.৯৫ = ৩৬০ টাকা।

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে AB = 8 মিটার, BC = 10 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 20√3 বর্গমিটার হলে, ∠B = ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
AB = 8 মিটার
BC = 10 মিটার
এবং ABC ত্রিভুজে ক্ষেত্রফল = 20√3 বর্গমিটার

আমরা জানি, 
একটি ত্রিভুজের সন্নিহিত বাহুদ্বয় a, b হলে এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ হলে,
ক্ষেত্রফল = (1/2)ab sinθ
∴ ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × AB × BC × sinθ 
⇒ 20√3 = (1/2) × 8 × 10 × sin ∠B
⇒ 20√3 = 40 × sin ∠B  
⇒ sin ∠B = 20√3/40
⇒ sin ∠B = √3/2 
⇒ sin ∠B = sin 60°
⇒ ∠B = 60°

প্রশ্ন: ৬, ১০ ও ১২ এর চতুর্থ সমানুপাতিক কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমানুপাতিকের ক্ষেত্রে,
১ম সংখ্যা × ৪র্থ সংখ্যা = ২য় সংখ্যা × ৩য় সংখ্যা
৬ × ৪র্থ সংখ্যা = ১০ × ১২
৪র্থ সংখ্যা = (১০ × ১২)/৬
∴ ৪র্থ সংখ্যা = ২০

∴ ৬, ১০ ও ১২ এর চতুর্থ সমানুপাতিক সংখ্যা হবে ২০।

(5/38) / (25/19)
= (5/38) X (19/25)
= 1/10

ধরি, আবুলের সাপ্তাহিক মূল বেতন ১০০ টাকা।
১৬% বৃদ্ধিতে সাপ্তাহিক বেতন = ১০০+১৬ =১১৬ টাকা।
:.১০% বৃদ্ধিতে সাপ্তাহিক বেতন =১১০ টাকা।
এখন,
সাপ্তাহিক বেতন ১১৬ টাকা হলে মাসিক উপার্জন ৮১২ টাকা।
সাপ্তাহিক বেতন ১ টাকা হলে মাসিক উপার্জন ৮১২/১১৬ টাকা।
সাপ্তাহিক বেতন ১১০ টাকা হলে মাসিক উপার্জন (৮১২X১১০)/১১৬ টাকা।
= ৭৭০ টাকা।

মনে করি, একটি কোণ x
সুতরাং তার পূরক কোণ (90 - x)

প্রশ্নমতে, x = 2(90-x) / 3
বা, 3x= 180 - 2x
বা, 5x= 180
বা, x= 36

সুতরাং কোণটি 36°
কোণটির পূরক কোণ
= 90 - 36 
= 54°

মনে করি,
কোণটির পরিমান = x°;
তাহলে এর পূরক কোণ হবে = (90 - x)°
শর্তমতে,
x = 2(90 - x)° + 30°
বা, x = 180° - 2x + 30°
বা, x + 2x = 180° + 30°
বা, 3x = 210°
∴ x = 70°

ধরি,
১ম, ২য়, ৩য় অংশ যথাক্রমে x, ৫x, ৪x
প্রশ্নমতে,
x + ৫x + ৪x = ৫০
বা, ১০x = ৫০
বা, x = ৫০/১০
= ৫
∴ প্রথম টুকরার দৈর্ঘ্য = ৫
২য় টুকরার দৈর্ঘ্য = ৫ × ৫ = ২৫
৩য় টুকরার দৈর্ঘ্য = ৪ × ৫ = ২০

প্রশ্ন: ৭ + ১০ + ১৩ + ১৬ + .............. ধারাটির কোন পদ ৪০৬?

সমাধান:
ধরি, n তম পদ = ৪০৬
এখানে, ১ম পদ, a = ৭
সাধারণ অন্তর, d = (১০ - ৭) = ৩

প্রশ্নমতে,
a + (n - 1)d = ৪০৬
⇒ ৭ + (n - ১) × ৩ = ৪০৬
⇒ ৭ + ৩n - ৩ = ৪০৬
⇒ ৩n + ৪ = ৪০৬
⇒ ৩n = ৪০৬ - ৪
⇒ ৩n = ৪০২
⇒ n = ৪০২/৩
∴ n = ১৩৪ 

∴ ধারাটির ১৩৪ তম পদ হলো ৪০৬।

প্রশ্ন: কোনো খুঁটির এক-চতুর্থাংশ ভূমির নিচে, এক-পঞ্চমাংশ পানির মধ্যে এবং ৫.৫ মিটার পানির উপরে দৃশ্যমান হলে খুঁটিটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য কত হবে? 

সমাধান:
ধরি, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

মাটির নিচে ও পানির মধ্যে আছে = (ক/৪) + (ক/৫) অংশ
= (৫ক + ৪ক)/২০ অংশ
= ৯ক/২০ অংশ

আবার, পানির উপরে আছে = ক - (৯ক/২০)
= ১১ক/২০ অংশ

শর্তমতে,
১১ক/২০ = ৫.৫ মিটার
⇒ ক = (৫.৫ × ২০)/১১
⇒ ক = ১১০/১১ 
∴ ক = ১০ মিটার

অতএব, খুঁটির মোট দৈর্ঘ্য ১০ মিটার।

প্রশ্ন: 81 + 27 + 9 + … ধারাটির সপ্তম পদ কত? 

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 81
সাধারণ অনুপাত, r = 27/81 = 1/3​ 

আমরা জানি, 
গুনোত্তর ধারার n তম পদ, a_n = a × r^{n - 1}
⇒ a₇ =  a × r^{7 - 1}
⇒ a₇ = 81 × (1/3)⁶
⇒ a₇ = 81 × (1/729)
⇒ a₇ = 81/729
∴ a₇ = 1/9

∴ সপ্তম পদ = 1/9

প্রশ্ন: 5, 6, 7, 8, 9 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে 4 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেহেতু, অঙ্কের সংখ্যা 5টি।

4 অঙ্কবিশিষ্ট  সংখ্যা গঠন করা যাবে,
= ⁵P₄
= (5!)/(5 - 4)!
= 5!/1!
= 5!
= 120

∴ মোট 4 -অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যাবে 120 টি।

সূত্রঃ
ax³ + bx² + cx + d = 0, সমীকরণের মূলত্রয় α, β, γ হলে,
α + β + γ = -b/a
αβ + βγ + γα = c/a
αβγ = -d/a

এখন বর্তমান প্রশ্নঃ
2x³ - 5x² + 4 = 0 সমীকরণের ক্ষেত্রে,
মূলগুলোর সমষ্টি = -(-5/2) = 5/2
∴ সঠিক উত্তর = 5/2

আবার, প্রশ্নটি 2x³ - 5x + 4 = 0 হলে,
সেক্ষেত্রে, 2x³ + 0.x² - 5x + 4 = 0
∴ সমষ্টি = - 0/2 = 0

প্রশ্ন: যদি x = 5a + 7b + 9c,  y = b - 3a - 4c,  z = c - 2b + a হয়, তবে  (x + y + z) এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 5a + 7b + 9c
y = b - 3a - 4c
z = c - 2b + a

∴  x + y + z = 5a + 7b + 9c + b - 3a - 4c + c - 2b + a
= 3a + 6b + 6c
= 3(a + 2b + 2c)

প্রশ্ন: (x² + 1)² = 3x² হলে, x³ + (1/x³) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
(x² + 1)² = 3x² 
বা, x² + 1 = √3.x 
বা, (x² + 1)/x = √3 
∴ x + (1/x) = √3 

∴ প্রদত্ত রাশি = x³ + (1/x³) 
= {x + (1/x)}³ - 3 . x. 1/x {x + (1/x)} 
= (√3)³ - 3. √3 
= 3√3 - 3√3 
= 0

১২ এর ২৪%
= (১২ × ২৪)/১০০
= ২.৮৮

প্রশ্ন: ২৫ এর কত শতাংশ ৬৫ হবে?

সমাধান:
মনে করি, 
২৫ এর ক% = ৬৫ 
⇒ ২৫ × (ক/১০০) = ৬৫ 
⇒ ২৫ক = ৬৫ × ১০০ 
⇒ ক = (৬৫ × ১০০)/২৫ 
⇒ ক = ৬৫ × ৪
∴ ক = ২৬০%

২৫ এর ৬৫ হলো ২৬০%

প্রশ্ন:

সমাধান:

আমরা জানি,
ঘনকের ধার a একক হলে তাহলে তার সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গএকক

তাহলে,
ঘনকের ধার ৫ সে.মি হলে এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = ৬ × ৫²  বর্গসে.মি.
= ৬ × ২৫  বর্গসে.মি.
= ১৫০  বর্গসে.মি.

সমগ্র তলের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক = ১৫০/২
= ৭৫  বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: দুই অংকবিশিষ্ট কোনো সংখ্যা তার অংকদ্বয়ের যোগফলের ছয়গুণ। সংখ্যাটির থেকে 9 বিয়োগ করলে অংকদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটির দ্বিগুণ কত?

সমাধান:
ধরি, দশকের অঙ্ক = x এবং এককের অঙ্ক = y
∴ সংখ্যাটি = 10x + y
এবং স্থান বিনিময় করলে নতুন সংখ্যাটি = 10y + x

1ম শর্তমতে,
⇒ 10x + y = 6(x + y)
⇒ 10x + y = 6x + 6y
⇒ 10x - 6x = 6y - y
⇒ 4x = 5y
⇒ x = 5y/4 ......(1)

2য় শর্তমতে, 9 বিয়োগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে,
10x + y - 9 = 10y + x
⇒ 10x - x + y - 10y = 9
⇒ 9x - 9y = 9
⇒ x - y = 1 ......(2)

(2) নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
(5y / 4) - y = 1
⇒ (5y - 4y)/4 = 1
⇒ y/4 = 1
⇒ y = 4

y = 4 নং মান (2) নং সমীকরণে বসালে,
x - 4 = 1
⇒ x = 5

∴ সংখ্যাটি = 10x + y = 10×5 + 4 = 54
∴ সংখ্যাটির দ্বিগুণ = 54 × 2 = 108

প্রশ্ন: ২০ জনে একটি কাজের এক-তৃতীয়াংশ করতে পারে ৮ দিনে। ঐ কাজটি করতে ৬ জনের কতদিন লাগবে?

সমাধান:
২০ জনে ১/৩ অংশ কাজ করে ৮ দিনে
∴ ২০ জনে ১ অংশ (সম্পূর্ণ) কাজ করে = ৮ × ৩ দিনে
∴ ১ জনে ১ অংশ (সম্পূর্ণ) কাজ করে = ৮ × ৩ × ২০ দিনে
∴ ৬ জনে ১ অংশ (সম্পূর্ণ) কাজ করে = (৮ × ৩ × ২০)/৬ দিনে
= ৮০ দিনে

সমাধান:
ধরি,
বেঞ্চ সংখ্যা = কটি

প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৩ জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
∴ ছাত্রসংখ্যা = ৪ক + ৩ জন

অতএব, বেঞ্চ আছে ১৩টি।

∴ ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা হলো ৫৫ জন।

সমাধান:
এখানে, সংখ্যা দুটি ৫x এবং ৬x এর গ. সা. গু = x ∴ গ. সা. গু. x = ৪

এখন,
সাধারণ নিয়মে প্রথম সংখ্যটি ৫ × ৪ = ২০ এবং ২য় সংখ্যাটি ৬ × ৪ = ২৪

∴ ২০ ও ২৪ এর ল. সা. গু = ১২০

প্রশ্ন: 16 সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল হতে 1 জন অধিনায়ক ও 1 জন সহঅধিনায়ক কতভাবে বাছাই করা যাবে?

সমাধান:
অধিনায়ক বাছাই,
16 জন সদস্যের মধ্যে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করার উপায় = ¹⁶C₁ = 16

আবার, 
সহঅধিনায়ক বাছাই,
অধিনায়ক বাছাই হয়ে গেলে বাকি সদস্য = 16 - 1 = 15  জন
সহঅধিনায়ক বাছাই করার উপায় = ¹⁵C₁ = 15

∴ মোট উপায় = 16 × 15 = 240

সুতরাং, 240 ভাবে অধিনায়ক ও সহঅধিনায়ক বাছাই করা যাবে। 

ধরি, সংখ্যাটি = x
প্রশ্নমতে, ১০ এর ৩০% = x এর ১০%
বা ১০ এর ৩০/১০০ = x এর ১০/১০০
বা ৩ = x/১০
বা x = ৩০

x⁴ + x² + 1
= (x²)² + 2x² + 1 - x²
= (x² + 1)² - x²
= (x² + x + 1)(x² - x + 1)

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 8 সেন্টিমিটার এবং 40 মিলিমিটার। সামান্তরিকটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের এক বাহু = 8 সেন্টিমিটার 
অপর বাহু = 40 মিলিমিটার
= (40/10) সেন্টিমিটার
= 4 সেন্টিমিটার

∴ সামান্তরিকের পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক 
= 2(8 + 4) সে.মি.
= (2 × 12) সে.মি.
= 24 সে.মি.

x/y > 0 হলে,
x > 0, y > 0 অথবা, x < 0, y < 0
∴ xy > 0

প্রশ্ন: যদি √(5a²) = 20 হয়, তবে a এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
√(5a²) = 20
⇒ 5a² = 20² ; [দুই পক্ষের বর্গ করে]
⇒ 5a² = 400
⇒ a² = 400/5
⇒ a² = 80
⇒ a = ± √80
⇒ a = ± √(16 × 5)
∴ a = ± 4√5

৭, ১২, ১৭, ৩, ১১, ৬, ১৩, ৩
= ৩, ৩, ৬, ৭, ১১, ১২, ১৩, ১৭ এখনে মোট ৮টি উপাত্ত রয়েছে
∴ মধ্যক = (৪র্থ পদ + ৫ম পদ)/২
= (৭ + ১১)/২
= ১৮/২
= ৯

মনে করি, বাংলায় পাসের ঘটনা = A এবং
ইংরেজিতে পাসের ঘটনা = B তাহলে,
P(A) = 1-(1/5) = 4/5[পূরক সূত্রানুযায়ী]
P(বাংলা বা ইংরেজি) = P(A∪B) = 7/8
P(বাংলা বা ইংরেজি) = P(A∩B) = 3/4
এখন সম্ভাবতার সংযোগ সূত্র P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
বা, 7/8 = (4/5)+P(B)-(3/4)
বা, P(B) = 7/8 + 3/4 - 4/5
= (35+30-32)/40
∴ P(B) = 33/40
অর্থাৎ ইংরেজিতে পাসের সম্ভব্যতা = 33/40.