গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: log₃(√27) + log₃√(1/3) = কত?

সমাধান:
আমরা জানি, log_a(m) + log_a(n) = log_a(mn) হয়।
সুতরাং, log₃(√27) + log₃(√(1/3)
= log₃√(27 × 1/3)
= log₃(√9)
= log₃(3)
= 1

মনেকরি, ২য় কোণটি = x°, ১ম কোণটি = 3x°
∴ ৩য় কোণটি = x + 20
∴ x° + 3x° + x° + 20° = 180°
বা, 5x° = 160°
∴ x = 160/5 = 32°
সুতরাং বৃহত্তম কোণ = 3 × 32° = 96°

সমাধান:

0 = 0 × 1
2 = 2 × 1
6 = 3 × 2 × 1
9 = 3 × 3 × 1
এখানে সাধারন উৎপাদক = 1
∴ গ.সা.গু. = 1

প্রশ্ন: k এর মান কত হলে x² + 5x + 3 + k = 0 সমীকরণের একটি উৎপাদক (x + 2) হবে?

সমাধান:
দেয়া আছে, f(x) = x² + 5x + 3 + k = 0।
যদি (x + 2) f(x) এর একটি উৎপাদক হয়, তবে f(- 2) = 0 হবে।

এখন, f(- 2) = 0 
⇒ (- 2)² + 5(- 2) + 3 + k = 0
⇒ 4 - 10 + 3 + k = 0
⇒ - 3 + k = 0
∴ k = 3

x² - x - 6 < 0
বা, x² - 3x + 2x - 6 < 0
বা, x(x-3) + 2(x-3) < 0
(x-3)(x+2) < 0
সংখ্যা রেখা অনুসারে, -2 < x < 3

প্রশ্ন: (√9 - i²) এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
এখানে, √9 = √(3)² 
= 3
এবং  i² = - 1       [এখানে, i হচ্ছে জটিল সংখ্যা]

∴ প্রদত্ত রাশি, (√9 - i²) = 3 - (- 1)
= 3 + 1
= 4

সাবানের আয়তন = ৫ x ৪ x ১.৫ = ৩০ ঘন সে.মি.
বাক্সের আয়তন = ৫৫ x ৪৮ x ৩০ = ৭৯২০০ ঘন সে.মি.
∴ সাবান রাখা যাবে = ৭৯২০০/৩০ = ২৬৪০ টি।

প্রশ্ন: ইউক্লিড প্রদত্ত স্বীকার্য নয় কোনটি?

সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত পাঁচটি স্বীকার্য হলো:
স্বীকার্য-১: দুইটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটি সরলরেখা আঁকা যায়।
স্বীকার্য-২: যেকোনো সরল রেখাংশের প্রান্তদ্বয়কে উভয়দিকে যতদূর ইচ্ছা বর্ধিত করা যায়।
স্বীকার্য-৩: যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে কেবলমাত্র একটি বৃত্ত আঁকা যায়।
স্বীকার্য-৪: সকল সমকোণ পরস্পর সমান।
স্বীকার্য-৫: একটি সরলরেখা দুইটি সরলরেখাকে ছেদ করলে এবং ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম হলে, রেখা দুইটিকে যথেচ্ছভাবে বর্ধিত করলে যেদিকে কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম, সেদিকে মিলিত হয়।

সুতরাং, ইউক্লিড প্রদত্ত স্বীকার্য নয় - গ)  দুইটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র দুইটি সরলরেখা আঁকা যায়।

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

অপর সংখ্যাটি × c = a × b
∴ অপর সংখ্যা = ab/c

ঘরটির চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) × উচ্চতা।
= 2(8 + 6) × 3
= 6 × 14
= 84 বর্গমিটার।

প্রশ্ন: log₇(7²/49) এর মান কত?

সমাধান:
log₇(49/49)
= log₇(1)
= 0

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর ৫ এবং ৪র্থ পদ ৪৫ হলে ১০ম পদটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সাধারণ অন্তর d = ৫
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১)d
৪র্থ পদ = a + (৪ - ১)d = a + ৩d 

শর্তমতে, 
a + ৩d = ৪৫
⇒ a + (৩ × ৫) = ৪৫
⇒ a + ১৫ = ৪৫
∴ a = ৩০

∴ ১০ম পদ = a + (১০ - ১)d 
= ৩০ + ৯ × ৫
= ৩০ + ৪৫
= ৭৫                                             

প্রশ্ন: পাঁচটি গরুর মূল্য কুড়িটি ছাগলের মূল্যের সমান। একটি গরুর মূল্য ৫০০০ টাকা হলে, দশটি ছাগলের মূল্য কত টাকা?

সমাধান:
১টি গরুর মূল্য ৫০০০ টাকা
৫টি গরুর মূল্য ৫০০০ × ৫ টাকা
= ২৫০০০ টাকা 

২০ টি ছাগলের মূল্য ২৫০০০ টাকা 
১ টি ছাগলের মূল্য ২৫০০০/২০ টাকা
১০ টি ছাগলের মূল্য (২৫০০০ × ১০)/২০ টাকা
= ১২,৫০০ টাকা

সরল করুন: ১ - [১ - {২ + (- ৫ + ৮ - ৪) × ২}]

সমাধান:
১ - [১ - {২ + (- ৫ + ৮ - ৪) × ২}]
= ১ - [১ - {২ + (- ১) × ২}]
= ১ - [১ - {২ - ২}]
= ১ - [১ - ০]
= ১ - ১
= ০

সমাধান:
নির্ণেয় সর্বোচ্চ মার্বেল সংখ্যা হবে ৭২ এবং ১০৮ এর গ. সা. গু
৭২ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
১০৮ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩

∴ গ. সা. গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৩৬ 

সুতরাং নির্ণেয় সর্বোচ্চ মার্বেল সংখ্যা ৩৬ টি।

প্রশ্ন: আজিজ, করিমের চেয়ে বয়সে বড় এবং আজিজ ও করিমের একত্রে বয়স ৫৩ বছর। কিন্তু তাদের বয়সের পার্থক্য যদি ১৭ বছর হয় তবে কার বয়স কত? 

সমাধান:
ধরি, আজিজের বয়স ক বছর ও করিমের বয়স খ বছর
এখানে, আজিজ করিমের চেয়ে বয়সে বড়
 ∴ ক + খ = ৫৩ ..............................(১)
এবং ক - খ = ১৭ ............................(২)
 
(১) + (২)
২ক = ৫৩ + ১৭
⇒ ক = ৭০/২
⇒ ক = ৩৫

(১) থেকে, ৩৫ + খ = ৫৩
⇒ খ = ৫৩ - ৩৫
⇒ খ = ১৮  

∴ আজিজের বয়স ৩৫ বছর ও করিমের বয়স ১৮ বছর।

x⁴ + 1/x⁴
= (x²)² + (1/x²)²
= (x² + 1/x²)² - 2.x².1/x²
= {(x - 1/x)² + 2.x.1/x}² - 2
= (2² + 2)² - 2
= 36 - 2 = 34

আমরা জানি, রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= ১/২ × ৫ × ৪.২
= ১০.৫ বর্গমিটার

১ টি লেবুর ক্রয় মূল্য = ১/৬ টাকা।
১ টি লেবুর বিক্রয় মূল্য = ১/৫ টাকা।
∴ লাভ হয় = ১/৫ - ১/৬ = ১/৩০
এখন,
১/৬ টাকায় লাভ হয় ১/৩০ টাকা।
১ টাকায় লাভ হয় ৬/৩০ টাকা।
১০০ টাকায় লাভ হয় (৬×১০০)/৩০ টাকা।
= ২০ টাকা।

বইটিতে কমিশন পায় = ১২০ - ৮৪ = ৩৬ টাকা
তাহলে ১২০ টাকায় কমিশন পায় = ৩৬ টাকা
∴ ১০০ টাকায় কমিশন পায় = ৩৬ × ১০০/১২০ = ৩০

ধরি, ২৫০ এর ক% =  ১০ টাকা
বা, ২৫০ × ক/১০০ = ১০
বা, ক = (১০×১০০) / ২৫০ = ৪% 

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৯টি কালো বল, ৭টি সাদা বল এবং ৪টি লাল বল আছে। একটি বল দৈবভাবে নেওয়া হলে বলটি কালো বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বলের সংখ্যা = ৯ + ৭ + ৪ = ২০টি
কালো বা লাল বলের সংখ্যা = ৯ + ৪ = ১৩টি
কালো বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল / মোট ফলাফল
= ১৩/২০

সুতরাং, কালো বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ১৩/২০

প্রশ্ন: a + b + c = 11 এবং ab + bc + ca = 42 হলে a² + b² + c² এর মান কত? 

সমাধান: 
a + b + c = 11 
ab + bc + ca = 42

আমরা জানি,
(a + b + c)² = a² + b² +c² + 2(ab + bc + ca)
11² = a² + b² +c² + 2 × 42
121 = a² + b² +c² + 84
121 - 84 = a² + b² + c² 
a² + b² + c² = 37 

মনে করি,
আগের বেতন x টাকা
তাহলে,
1.11x = 72150
=> x = 65000
তাহলে, বর্তমান বেতন = 65000 * 1.09 = 70850 টাকা।

প্রশ্ন:

সমাধান:

a =৫, d = ৪
শেষ পদ = ১০১
∴ পদ সংখ্যা (n) = {(১০১ - ৫)/৪} + ১
= (৯৬/৪) + ১
= ২৪ + ১
= ২৫
সুতরাং, সমষ্টি (s) = ১/২ × পদ সংখ্যা × (শেষ পদ + ১ম পদ)
= ১/২ × ২৫ × (১০১ + ৫)
= (২৫ × ১০৬)/২
= ২৫ × ৫৩
= ১৩২৫ 

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ. সা. গু এবং ল. সা. গু যথাক্রমে ১৫ ও ২২৫। একটি সংখ্যা ৪৫ হলে অপরটি কত?

সমাধান:
দুইটি সংখ্যার গ সা গু ১৫
ল সা গু ২২৫
এবং একটি সংখ্যা ৪৫ 

আমরা জানি,
গ. সা. গু × ল. সা. গু = ১ম সংখ্যা × ২য় সংখ্যা
১৫ × ২২৫ = ৪৫ × ২য় সংখ্যা
∴ ২য় সংখ্যা = (১৫ × ২২৫)/৪৫ 
= ৭৫ 

অতএব, অপর সংখ্যা = ৭৫

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণ যথাক্রমে ১৭ সেন্টিমিটার ও ১৪ সেন্টিমিটার হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রম্বসের একটি কর্ণ = ১৭ সেন্টিমিটার 
এবং অপর কর্ণটি = ১৪ সেন্টিমিটার 

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
= (১/২) × ১৭ × ১৪
= ১১৯ বর্গ সেন্টিমিটার।

∠PEB = 180° - 120° = 60°
∠EFD = অনুরূপ ∠PEB = 60°