গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: কোন বেলনের উচ্চতা h এবং ব্যাসার্ধ r হলে, বেলনটির বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
বেলন বা সিলিন্ডার: 
- কোনো আয়তক্ষেত্রের যে কোনো বাহুকে অক্ষ ধরে আয়তক্ষেত্রটিকে ঐ বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তুর সৃষ্টি হয়, তাকে সমবৃত্তভূমিক বেলন বা সিলিন্ডার বলা হয়।


- সমবৃত্তভূমিক বেলনের দুই প্রান্তকে বৃত্তাকার তল, বক্রতলকে বক্রপৃষ্ঠ এবং সমগ্রতলকে পৃষ্ঠতল বলা হয়।
- বেলনের উচ্চতা h এবং ব্যাসার্ধ r হলে-
• ভূমির ক্ষেত্রফল = πr²
• আয়তন (Volume) = πr²h
• বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh
• সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)  । 

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে ৭ যোগ করলে যোগফল ১২, ১৮ ও ৩০ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হয়?

সমাধান:
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ১২, ১৮ ও ৩০ এর ল.সা.গু. থেকে ৭ কম।
সবগুলো সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই, 
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
৩০ = ২ × ৩ × ৫

∴ ১২, ১৮ ও ৩০ এর ল.সা.গু = ২^২ × ৩^২ × ৫ = ১৮০ 

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = (১৮০ - ৭) = ১৭৩

প্রশ্ন: ৪% হার সুদে কত টাকার ২ বছরের সরল সুদ এবং চক্রবৃদ্ধি সুদের পার্থক্য ১ টাকা হবে?

সমাধান: 
মনেকরি
মূলধন = P
সময় n = ২ বছর
এখন
সরল মুনাফা = Pnr
= P × ২ × (৪/১০০)
= ২P/২৫ 

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা I₂ = P[(1 + r)ⁿ - 1]
= P[(১ + ১/২৫)² - ১]
= P[(২৬/২৫)^২  - ১]
= P[(৬৭৬/৬২৫) - ১]
= P[(৬৭৬ - ৬২৫)/৬২৫]
= ৫১P/৬২৫

এখন
∴ (৫১P/৬২৫) - (২P/২৫) = ১ 
⇒ (৫১P - ৫০P)/৬২৫ = ১ 
⇒ P/৬২৫ = ১ 
∴ P = ৬২৫ 

ধরি, সুড়ঙ্গের দৈর্ঘ্য x মিটার
আমরা জানি,
বেগ ( v ) = সরণ(s) / সময়(t)
এখানে বেগ = ( ৭২ × ১০০০ ) / ৩৬০০ = ২০ মি./সে.
সরণ = ৭০০ + x
সময় = ৬০ সে
প্রশ্নমতে,
⇒ ( ৭০০ + x ) / ৬০ = ২০
⇒ x = ৫০০ মিটার

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ছয়টি পদের যোগফল তার প্রথম তিনটি পদের যোগফলের 9 গুন। সাধারণ অনুপাত হবে-

সমাধান: 
প্রথম 6 টি পদের সমষ্টি = a.(r⁶ - 1)/r - 1
প্রথম 3 টি পদের সমষ্টি = a. (r³ - 1)/r - 1

শর্তানুসারে, 
​a. (r⁶ - 1)/(r - 1)= 9 × a.(r³ - 1)/(r - 1)
⇒ r⁶ - 1 = 9 × (r³ - 1)
⇒ (r³)² - 1² = 9 × (r³ - 1)
⇒ (r³ - 1) (r³ + 1) = 9 × (r³ - 1)
⇒ r³ + 1 = 9
⇒ r³ = 8 
 ⇒ r³ ​= 2³
∴ r = 2
​
​∴ সাধারণ অনুপাত হবে = 2  । 

-3 ≤ x ≤ 3.......(1)
-4 ≤ y ≤ 4.......(2)
(1) নং + (2) নং দ্বারা পাই
-7 ≤ x + y ≤ 7

প্রশ্ন: (100x)⁰ + 100x⁰ + (100x)⁰ = ?

সমাধান: 
(100x)⁰ + 100x⁰ + (100x)⁰
= 1 + (100 × 1) + 1
= 1 + 100 + 1
= 102

প্রশ্ন: ৫ : ৪ কে শতকরায় প্রকাশ করলে কত হয়?

সমাধান:
৫ : ৪ কে শতকরায় প্রকাশ করলে হয় = (৫/৪) × ১০০
= ১২৫%

প্রশ্ন: secA - tanA = 4/5 হলে, tanA + secA এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
sec²A - tan²A = 1 
বা, (secA + tanA)(secA - tanA) = 1 
বা, 4/5 (secA + tanA) = 1 
∴ secA + tanA = 5/4 

মনে করি,
ভগ্নাংশটি x/y
∴ x + y = 5 ............. (1)
∴ x - y = 1 ............. (2)
(1)নং + (2)নং থেকে পাই,
2x = 6
∴ x = 3
(1) নং থেকে পাই,
y = 2

∴ ভগ্নাংশটি = 3/2

a³ - 9 + (a + 1)³
= a³ - 9 + a³ + 3a² + 3a + 1
= 2a³ - 2a² + 5a² - 5a + 8a - 8
= 2a²(a - 1) + 5a(a - 1) + 8(a - 1)
= (a - 1)(2a² + 5a + 8)

প্রশ্ন: {(x + y)^{- 1} - (x - y)^{- 1}} ÷ 2y(x² - y²)^{- 1} রাশিটির মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
{(x + y)^{- 1} - (x - y)^{- 1}} ÷ 2y(x² - y²)^{- 1} 
= {1/(x + y) - 1/(x - y)} ÷ 2y × {1/(x² - y²)}
= {(x - y - x - y)/(x + y)(x - y)} ÷ 2y/(x² - y²)
= {- 2y/(x² - y²)} × (x² - y²)/2y
= - 1

প্রশ্ন: ৯০০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:

৯০০ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ × ৫
= ২^২ × ৩^২ × ৫^২

এখানে,
২ এর সূচক = ২
৩ এর সূচক = ২
৫ এর সূচক = ২

কোনো সংখ্যার মোট ভাজকের সংখ্যা বের করার সূত্র হলো, তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাতের সাথে ১ যোগ করে প্রাপ্ত সংখ্যাগুলো গুণ করা।

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (২ + ১) × (২ + ১)
= ৩ × ৩ × ৩
= ২৭

∴ ৯০০ সংখ্যাটির মোট ভাজক সংখ্যা হলো ২৭।

পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(150 - 10)/5} + 1
= (140/5) + 1
= 28 + 1
= 29

প্রশ্ন: a ≤ (a/2) + 3 এর সমাধান কত?

সমাধান:
a ≤ (a/2) + 3
⇒ 2a ≤ 2{(a/2) + 3}
⇒ 2a ≤ a + 6
⇒ 2a - a ≤ a + 6 - a
⇒ a ≤ 6

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ 2 গুণ বৃদ্বি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাসার্ধ =  (2r + r) = 3r 

∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে = π(3r)² =9πr²
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 9πr² - πr² = 8πr²

∴ 8 গুণ বৃদ্ধি পাবে। 

মনে করি, বড় সংখ্যাটি ক এবং ছোট সংখ্যাটি খ।
১ম শর্তমতে, ক - খ = 5
বা, ক = খ + 5 ---------(1)
এবং ২য় শর্তমতে,
ক^২ - খ^২ = 75
বা, (খ + 5)^২ - খ^২ = 75
বা, খ^২ + 10খ + 25 - খ^২ = 75
বা, 10খ = 75 - 25
বা, খ = 50/10
সুতরাং খ = 5
এখন ক = 5 + 5
সুতরাং ক = 10
সুতরাং সংখ্যা দুটির বিয়োগফল = 10 - 5 = 5

প্রশ্ন: যদি a⁴ - 6a² + 1 = 0 হয়, তবে a - (1/a) এর মান কত?

সমাধান:
a⁴ - 6a² + 1 = 0
⇒ a⁴ + 1 = 6a²
⇒ (a⁴ + 1)/a² = 6
⇒ a² + (1/a²) = 6
⇒ {a - (1/a)}² + 2 . a . (1/a) = 6 
⇒ (a - 1/a)² = 6 - 2
⇒ a - (1/a) = √4
∴ a - (1/a) = ± 2

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল দুটি বাহু ৬ সে.মি ও ১৪ সে.মি এবং উচ্চতা ৫ সে.মি হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল দুটি বাহু = ৬ সে.মি ও ১৪ সে.মি
এবং 
উচ্চতা = ৫ সে.মি

আমরা জানি, 
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = {(১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা} বর্গ একক 
= {(১/২) × (৬ + ১৪) × ৫} বর্গ সে.মি 
= {(১/২) × ২০ × ৫} বর্গ সে.মি 
= ৫০ বর্গ সে.মি।

প্রশ্ন: 'CAUTIONS' শব্দটি থেকে প্রতিবারে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কতভাবে বিন্যাস করা যাবে, যেখানে A, N থাকবেনা?

সমাধান: 
Cautions শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8 টি। যথা,  C, A, U, T, I, O, N, S
যেহেতু A ও N বাদ, তাই বাকি বর্ণ 6 টি। C, U, T, I, O, S 

এখন,
6 টি বর্ণ প্রতিবারে 3টি করে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ⁶p₃ = 6!/(6 - 3)! = 120

কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তৃতীয় বাহুর অর্ধেক।
EF = 1/2 (BC)

প্রশ্ন: ৫ জন মহিলা ও ৪ জন পুরুষের মধ্যে থেকে ২ জন পুরুষ এবং ১ জন মহিলা নিয়ে একটি দল কতভাবে বাছাই করা যাবে?

সমাধান:
৫ জন মহিলা থেকে ১ জন মহিলা বাছাই করার উপায় = ^৫C_১ = ৫
৪ জন পুরুষ থেকে ২ জন পুরুষ বাছাই করার উপায় = ^৪C_২ = ৬

∴ নির্ণেয় দল গঠনের উপায় = ৫ × ৬ = ৩০

প্রশ্ন: log_x(8) = 3/2 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(8) = 3/2
⇒ x^3/2 = 8  [log_ab = c ⇒ a^c = b]
⇒ (x^1/2)³ = 8
⇒ √x³ = 2³
⇒ √x = 2
⇒ (√x)² = 2²
∴ x = 4

প্রশ্ন: 1/।1 - 2a। ≥ 5 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
1/।1 - 2a। ≥ 5
⇒ 1 - 2a ≤ 1/5
ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই,
1 - 2a ≤ 1/5
⇒ 1 - 2a - 1 ≤ - 1 + (1/5)
⇒ - 2x ≤ (- 5 + 1)/5
⇒ - 2a ≤ - 4/5
⇒ 2a ≥ 4/5
⇒ a ≥ 2/5
⇒ 2/5 ≤ a

 ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই,
- (1 - 2a) ≤ 1/5
⇒ - 1 + 2a ≤ 1/5
⇒ - 1 + 2a + 1 ≤ 1 + (1/5)
⇒ 2a ≤ (5 + 1)/5
⇒ 2a ≤ 6/5
⇒ a ≤ 3/5

নির্ণেয় সমাধান = (2/5) ≤ a ≤ (3/5)

(- 5 + 7)/2 = 1
∴ - 5 - 1<x - 1<7 - 1
⇒ -6 <x -1<6
∴ |x -1|<6

প্রশ্ন: আকাশ 500 টাকায় কিছু খাতা ক্রয় করে। যদি সে 5 টি খাতা বেশি ক্রয় করতো তাহলে প্রতি খাতার দাম 5 টাকা কম হতো। আকাশ কতগুলো খাতা ক্রয় করেছিলো?

সমাধান:
মনে করি,
খাতার সংখ্যা = X
প্রতি খাতার দাম = 500/X টাকা

যদি সে 5 টি খাতা বেশি ক্রয় করতো তাহলে প্রতি খাতার দাম = 500/(X + 5) টাকা

প্রশ্নমতে,
(500/X) - {500/(X + 5)} = 5
বা, [{500(X + 5)} - 500X]/{X(X + 5)} = 5
বা, 2500 = 5X(X + 5)
বা, 500 = X(X + 5)
বা, X² + 5X - 500 = 0
বা, X² + 25X - 20X - 500 = 0
বা, X(X + 25) - 20(X + 25) = 0
বা, (X + 25) (X - 20) = 0
X = - 25 (গ্রহণযোগ্য নয়), X = 20

∴ আকাশ 20 টি খাতা ক্রয় করেছিলো।

প্রশ্ন: A একটি কাজ ২৪ দিনে করতে পারে এবং B একই কাজ ১৬ দিনে করতে পারে। B কাজটি ১২ দিন করার পর চলে যায়। তাহলে বাকি কাজটি A একা কত দিনে শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
B একা,
১৬ দিনে কাজ করে = ১ বা সম্পূর্ণ অংশ
∴ ১ দিনে কাজ করে = ১/১৬ অংশ
∴ ১২ দিনে কাজ করে = ১২/১৬ = ৩/৪ অংশ

এখন,
কাজটি ১২ দিন করার পর B চলে যাওয়ায় বাকি কাজ = ১ - (৩/৪) অংশ
= (৪ - ৩)/৪
= ১/৪ অংশ

আবার,
A একা, কাজটির ১ বা সম্পূর্ণ অংশ শেষ করতে পারে = ২৪ দিনে
∴ ১/৪ অংশ শেষ করতে পারে = ২৪ × (১/৪) = ৬ দিনে

কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{৩² + ২² + (৩/২)²}
= √(৯ + ৪ + ৯/৪)
= √৬১/৪
= √১৫.২৫
= ৩.৯১ মিঃ

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ-

সমাধান: 
- কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ।
- কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ স্থূলকোণ।
- বৃত্তের দুইটি ভিন্ন বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ বৃত্তটির একটি জ্যা। 
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে জ্যাটিকে বৃত্তের ব্যাস বলা হয়। 
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে।
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।

সমকোণী ত্রিভুজের সুক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি = ৯০
ক্ষুদ্রতম কোণটি x হলে অপর কোণটি (x + ১০)
তাহলে, x + x + ১০ = ৯০
বা, ২x = ৮০
বা, x = ৪০
ক্ষুদ্রতম কোণটি ৪০ এবং অপর কোণটি (৪০ + ১০) বা, ৫০

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার মোবাইল ফোন ১৪৪ টাকায় বিক্রয় করায় ১০% ক্ষতি হয়, যদি তিনি ১০% লাভ করতে চায় তাহলে কত টাকা বিক্রয় করতে হবে?

সমাধান: 
ধরি, 
ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ১০ = ৯০ 
∴ বিক্রয়মূল্য ৯০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৯০ = ১০/৯ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১৪৪ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০ × ১৪৪)/৯ = ১৬০ টাকা

আবার, 
১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১০ = ১১০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১০ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১০/১০০ = ১১/১০ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ১৬০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১১ × ১৬০)/১০ = ১১ × ১৬ = ১৭৬ টাকা 

সুতরাং, ১০% লাভ করতে চাইলে মোবাইল ফোনটি ১৭৬ টাকায় বিক্রি করতে হবে।