গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: - 1 < x < 5 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে প্রকাশ করলে হবে-

সমাধান:
⇒ - 1 < x < 5
⇒ - 1 - 2 < x - 2 < 5 - 2
⇒ - 3 < x - 2 < 3
⇒ |x - 2| < 3

∴ সমাধান: |x - 2| < 3

প্রশ্ন: লিমা ২০% কমিশনে একটি বই ক্রয় করে দোকানদারকে ১৬০ টাকা দিলো। বইটির প্রকৃত মূল্য কত?

সমাধান:
২০% কমিশনে ক্রয়মূল্য দাড়ায় = (১০০ - ২০) টাকা
= ৮০ টাকা

বইয়ের ক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে প্রকৃত মূল্য = ১০০ টাকা 
বইয়ের ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে প্রকৃত মূল্য = ১০০/৮০ টাকা
বইয়ের ক্রয়মূল্য ১৬০ টাকা হলে প্রকৃত মূল্য = (১০০ × ১৬০)/৮০ টাকা 
= ২০০ টাকা

প্রশ্ন: ৩.৫ সে.মি ব্যাসার্ধ এবং ৮ সে.মি উচ্চতা বিশিষ্ট একটি সিলিন্ডারের আয়তন কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = ৩.৫ সে.মি
এবং
সিলিন্ডারের উচ্চতা, h = ৮ সে.মি 

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h ঘন একক 
= (২২/৭) × (৩.৫)^২ × ৮ ঘন সে.মি
= (২২/৭) × ৩.৫ × ৩.৫ × ৮ ঘন সে.মি
= ২২ × ০.৫ × ৩.৫ × ৮ ঘন সে.মি
= ৩০৮ ঘন সে.মি 

∴ সিলিন্ডারের আয়তন = ৩০৮ ঘন সে.মি।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৯৬ বর্গ সে.মি. এবং একটি কর্ণ ১৬ সে.মি. হলে, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = ৯৬ বর্গ সে.মি.
একটি কর্ণ, d₁ = ১৬ সে.মি. 
অপর কর্ণ, d₂ = ? সে.মি.

আমরা জানি, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × d1 × d₂
⇒ (১/২) × ১৬ × d₂ = ৯৬
⇒ ৮ × d₂ = ৯৬
⇒ d₂ = ৯৬/৮ 
∴ d₂ = ১২ সে.মি.

সুতরাং, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি.।

গোলকের ব্যাস = ১৮ সেঃমিঃ
∴ ব্যাসার্ধ = ৯ সেঃমিঃ
∴ আয়তন = ৪/৩π(৯)^৩
= (৪/৩) × π × ৯ × ৯ × ৯
= ৯৭২π ঘনসেঃমিঃ

প্রশ্ন: যদি a² + b² + c² + 3 = 2(a + b + c) হয়, তাহলে (a + b + c) = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a² + b² + c² + 3 = 2(a + b + c)
⇒ a² + b² + c² + 3 = 2a + 2b + 2c
⇒ (a² - 2a + 1) + (b² - 2b + 1) + (c² - 2c + 1) = 0
⇒ (a - 1)² + (b - 1)² + (c - 1)² = 0

আমরা জানি, 
কতগুলো রাশির বর্গের সমষ্টি যদি শূন্য হয়, তাহলে প্রত্যেক পদের বর্গও শূন্য হবে। অর্থাৎ, 
(a - 1)² = 0
⇒ a - 1 = 0
∴ a = 1 
একইভাবে, b = 1, c = 1

প্রদত্ত রাশি, 
a + b + c = 1 + 1 + 1 = 3
∴ a + b + c = 3

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ৯৫। বৃহত্তম সংখ্যার এক তৃতীয়াংশ ৩৫ অপেক্ষা যত কম ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটির চারগুণ ৭০ অপেক্ষা তত বেশি। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি, বৃহত্তম সংখ্যা = x
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৯৫ - x

প্রশ্নমতে,
৩৫ - (x/৩) = ৪(৯৫ - x) - ৭০
⇒ (১০৫ - x)/৩ = ৩৮০ - ৪x - ৭০
⇒ (১০৫ - x)/৩ = ৩১০ - ৪x
⇒ ১০৫ - x = ৩(৩১০ - ৪x)
⇒ ১০৫ - x = ৯৩০ - ১২x
⇒ ১২x - x = ৯৩০ - ১০৫
⇒ ১১x = ৮২৫
⇒ x = ৮২৫/১১
∴ x = ৭৫

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ৭৫
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৯৫ - ৭৫ = ২০

সুতরাং, সংখ্যা দুইটি হলো ৭৫ এবং ২০

১ম রাশি
x² + 13x + 36
= x² + 4x+ 9x + 36
= (x + 4)(x + 9) 
x² - 30x + 216
= x² - 18x - 12x + 216
= (x -18)(x - 12)
∴গ.সা.গু. = 1

ধরি, দূরত্ব = x মাইল 
x দূরত্ব অতিক্রম করতে সময় লাগে = x/4 ঘণ্টা 
x   ”       ফিরে আসতে    ”     ”    = x/5 ” 
∴ গড় বেড় = (x+x)/(x/4 + x/5) = 2x/(9x/20) = 40/9 = 4.44 মাইল/ঘণ্টা 
 

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধকে যদি r থেকে বৃদ্ধি করে r + n করা হয়, তবে তার ক্ষেত্রফল দ্বিগুণ হয়। r-এর মান কত?

সমাধান:
ব্যাসার্ধ r হলে ক্ষেত্রফল = πr²
এবং ব্যাসার্ধ (r + n) হলে ক্ষেত্রফল = π(r + n)²

প্রশ্নমতে,
2 × πr² = π (r + n)²
বা, 2r² = (r + n)²
বা, √2 r = r + n
বা, √2 r - r = n
বা, r (√2 - 1) = n
∴ r = n/(√2 - 1)

প্রশ্ন: যদি 4^x = 8^{x - 1}, তবে x এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
4^x = 8^{x - 1}
⇒ (2²)^x = (2³)^{x - 1} 
⇒ 2^2x = 2^{3(x - 1)}
⇒ 2x = 3x - 3
⇒ - x = - 3
∴ x = 3

প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r হলে n তম পদ = arⁿ⁻¹
∴ তৃতীয় পদ ar³⁻¹ = ar² = 20 ------- (i)
∴ ষষ্ঠ পদ ar⁶⁻¹ = ar⁵ = 160 ------- (ii)
এখন, (ii) ÷ (i)
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
∴ r = 2
r এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই প্রথম পদ-
a.2² = 20
∴ a = 5

a³ - 6a² + 12a - 9
= a³ - 6a² + 12a - 8 - 1
= (a - 2)³ - (1)³
= (a - 2 -1){(a - 2)² + (a - 2).1 + (1)²}
=(a - 3)(a² - 3a + 3)

প্রশ্ন: একটি ২৮০ মিটার দীর্ঘ ট্রেন তার নিজের দৈর্ঘ্যের তিন গুণ দীর্ঘ একটি প্ল্যাটফর্ম ৫০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। ট্রেনের গতি কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টায় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২৮০ মি.
প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ৩ × ২৮০ = ৮৪০ মি.

∴ অতিক্রম করতে হবে মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য
= (২৮০ + ৮৪০)  মি.
= ১১২০ মি.
এবং, সময় = ৫০ সেকেন্ড

আমরা জানি, 
গতি = দূরত্ব/সময়
= ১১২০/৫০
= ২২.৪ মি./সে.
= ২২.৪ × ৩.৬   ; [১ মি./সে. = ৩.৬ কিমি./ঘণ্টা] 
= ৮০.৬৪ কিমি./ঘণ্টা

∴ ট্রেনের গতি ৮০.৬৪ কিমি./ঘণ্টা।

দেয়া আছে, 2x + 3y = 5 ...(i)
(i)×2 ⇒
4x + 6y = 10

সম্পূরক কোণের দুইটি কোণের পরিমাণ ১৮০° হয়।
∴ ৬৫° এর সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৬৫)° = ১১৫°

প্রশ্ন: ১২ কেজি চাল ২৪০ টাকায় পাওয়া যায়। ৪৪০ টাকায় কত কেজি চাল পাওয়া যায়?

সমাধান:
২৪০ টাকায় পাওয়া যায় ১২ কেজি চাল
∴ ১ টাকায় পাওয়া যায় (১২/২৪০) কেজি চাল
∴ ৪৪০ টাকায় পাওয়া যায় {(১২ × ৪৪০)/২৪০} কেজি চাল
= ২২ কেজি

প্রশ্ন: PQR ত্রিভুজের PN একটি মধ্যমা এবং M ভরকেন্দ্র। যদি মধ্যমা PN-এর দৈর্ঘ্য ২১ সেমি হয়, তাহলে PM-এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোনো ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র তার মধ্যমাকে ২ : ১ অনুপাতে বিভক্ত করে।

এখানে,
PN মধ্যমা এবং M ভরকেন্দ্র।
∴ PM : MN = ২ : ১

মোট অনুপাত = ২ + ১ = ৩
মধ্যমা PN-এর দৈর্ঘ্য = ২১ সেমি
ভরকেন্দ্র M, মধ্যমা PN-কে দুটি অংশে বিভক্ত করেছে: PM এবং MN।

∴ PM-এর দৈর্ঘ্য = ২১ এর (২/৩) অংশ
= ২১ × (২/৩) সেমি
= ১৪ সেমি

সুতরাং, PM-এর দৈর্ঘ্য ১৪ সেমি।

প্রশ্ন: একটি কোম্পানির পুরুষ কর্মকর্তাদের ২০% এবং মহিলা কর্মকর্তাদের ৪০% বিবাহিত। যদি ঐ কোম্পানির মোট কর্মকর্তাদের ৬০% মহিলা হয়, তবে ঐ কোম্পানির শতকরা কতজন কর্মকর্তা অবিবাহিত?

সমাধান:
ধরি,
কোম্পানির মোট কর্মকর্তা = ১০০ জন
∴ মহিলা কর্মকর্তা = ৬০ জন
এবং পুরুষ কর্মকর্তা = ৪০ জন

এখন,
বিবাহিত মহিলা কর্মকর্তা = ৬০ এর ৪০%
= ৬০ × (৪০/১০০)
= ২৪ জন

বিবাহিত পুরুষ কর্মকর্তা = ৪০ এর ২০%
= ৪০ × (২০/১০০) 
= ৮ জন

∴ শতকরা মোট বিবাহিত কর্মকর্তা = ২৪ + ৮ = ৩২ জন

∴ শতকরা মোট অবিবাহিত কর্মকর্তা = ১০০ - ৩২ = ৬৮ জন 

প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d হলে,
n তম পদ = a + (n-1)d
∴ 6 তম পদ = a + (n-1)d
⇒ 52 = a + (6-1)10
⇒ a = 52 - 50
∴ a = 2
∴ 15 তম পদ = 2 + (15-1)10
                 = 2+140
                 =142

Let original CP = Rs. 100
Then, the Marked Price = 40% of 100 + 100 = 140
SP = 140 - 25% of 140 = 105
%Profit = (5×100)/100 = 5%

Net Graphic Change Method:
100 == 40% UP ⇒ 140 == 25% discount ⇒ 105 So, % Profit = 5%

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চায় ক ও খ দুইটি নল আছে। ক নল দ্বারা ৬ মিনিটে পূর্ণ হয় ও খ নল দ্বারা ১২ মিনিটে খালি হয়। নল দুইটি একত্রে খুলে দিলে খালি চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পূর্ণ হবে?

সমাধান: 
ক নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/৬ অংশ 
খ নল দ্বারা ১ মিনিটে খালি হয় চৌবাচ্চার ১/১২ অংশ 

∴ ক ও খ নল দুইটি দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/৬) - (১/১২) অংশ
= (২ - ১)/১২ অংশ
= ১/১২ অংশ 

∴ ১/১২ অংশ পূর্ণ হয় ১ মিনিটে
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হয় ১২ মিনিটে

সুতরাং, খালি চৌবাচ্চাটি ১২ মিনিটে পূর্ণ হবে।

২৫% বৃদ্ধিতে চিনির মূল্য = ১২৫ টাকা
বর্তমান মূল্য ১২৫ টাকা হলে পূর্বমূল্য ১০০ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১০০ টাকা হলে পূর্বমূল্য = (১০০×১০০)/১২৫ = ৮০ টাকা
∴ খরচ কমেছিলো = ১০০ - ৮০ = ২০%

প্রশ্ন: যদি A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 3, 4, 6} এবং C = {1, 5, 6} হয়, তবে (A - B) ∪ C = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 
B = {2, 3, 4, 6} এবং 
C = {1, 5, 6} 

এখন, 
A - B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {2, 3, 4, 6} 
= {1, 5} 

∴ (A - B) ∪ C 
= {1, 5} ∪ {1, 5, 6} 
= {1, 5, 6} 

প্রশ্ন: কোন সংখ্যাটি ৩ এবং ৭ উভয়ই দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে? 

সমাধান: 
৩ ও ৭ এর ল.সা.গু = ২১ 
২১ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাটিই ৩ ও ৭ উভয়ের দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে। 

অপশন টেস্ট অনুযায়ী, 
৩৯৯/২১= ১৯
∴ ৩৯৯ সংখ্যাটি ৩ ও ৭ উভয়ের দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

অন্যদিকে,
৩০৩,৩৪১ ও ৪০৬ সংখ্যাগুলো ২১ দ্বারা বিভাজ্য বিভাজ্য নয়।

প্রশ্ন: ব্যাংকে ৮৫০০ টাকা রেখে ৪ বছর পরে সুদাসলে ১১২২০ টাকা পেলে বার্ষিক সরল সুদের হার কত ছিল? 

সমাধান:
এখানে, 
আসল, P = ৮৫০০ টাকা 
সময়, n = ৪ বছর 
সুদ, I = সুদ-আসল - আসল 
= (১১২২০ - ৮৫০০) টাকা 
= ২৭২০ টাকা 
সুদের হার, r = ? 

আমরা জানি, 
I = Pnr 
বা, r = (I/Pn) × ১০০% 
= ২৭২০/(৮৫০০ × ৪) × ১০০% 
= ৮% 

∴ সুদের হার, r = ৮%।

প্রশ্ন: একটি পার্টিতে ১০০ জন অতিথির মধ্যে ৫৫ জন কোল্ডড্রিঙ্ক, ৪০ জন কফি নিয়েছে এবং ২০ জন কোনটিই নেয় নি। কতজন অতিথি শুধুমাত্র একটি পানীয় নিয়েছে? 

সমাধান:
ধরি,
উভয় পানীয় নিয়েছে = ক জন
∴ শুধু কোল্ডড্রিঙ্ক নিয়েছে = (৫৫ - ক) জন
∴ শুধু কফি নিয়েছে = (৪০ - ক) জন

দেওয়া আছে,
কোনো পানীয় নেয় নি = ২০ জন

প্রশ্নমতে,
(৫৫ - ক) + ক + (৪০ - ক) + ২০ = ১০০
⇒ ৯৫ - ক = ১০০ - ২০
⇒ ৯৫ - ক = ৮০
⇒ ক = ৯৫ - ৮০
⇒ ক = ১৫

শুধু কোল্ডড্রিঙ্ক নিয়েছে নিয়েছে = (৫৫ - ১৫) জন = ৪০ জন 
শুধু কফি নিয়েছে = (৪০ - ১৫) জন = ২৫ জন

∴ শুধুমাত্র একটি পানীয় নিয়েছে = (৪০ + ২৫) জন = ৬৫ জন 

মনে করি, রাকিব ও মাহির এর আয় ৩ক ও ২ক টাকা
রাকিব ও মাহির এর ব্যয় ৫খ ও ৩খ টাকা
∴ রাকিবের সঞ্চয় = ৩ক - ৫খ = ১০০০ ............(১)
মাহির সঞ্চয় = ২ক - ৩খ = ১০০০ ...............(২)
(১) ও (২) নং সমাধান করে পাই,
ক = ২০০০ এবং খ = ১০০০
∴ রাকিবের আয় = (৩ × ২০০০) =৬০০০ টাকা

দেওয়া আছে,
A = {4, 5, 6, 7}
এবং B = {3, 6, 8, 9}
এখন, A∪B = {4, 5, 6, 7} ∪ {3, 6, 8, 9}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

প্রশ্ন: log_x(1/512) = - 3 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(1/512) = - 3
বা, x^{- 3} = 1/512 [log_ba = c হলে, b^c = a হয়]
বা, 1/(x³) = 1/512
বা, x³ = 512
বা, x³ = 8³
∴ x = 8

২০% লাভে, ১২০ টাকায় বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
২৪০০ টাকা বিক্রয়মূল্য হলে ক্রয়মূল্য (২৪০০х১০০)/১২০ = ২০০০টাকা
২০%ক্ষতিতে ৮০ টাকায় বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
২৪০০ টাকায় বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য (২৪০০х১০০)/৮০ = ৩০০০ টাকা
মোট ক্রয়মূল্য ২০০০+৩০০০ = ৫০০০টাকা
বিক্রয়মূল্য ২৪০০+২৪০০ = ৪৮০০টাকা
∴ লোকসান = ২০০ টাকা

প্রশ্ন: 6 মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করে, বৃত্তকলাটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 6 মিটার 
বৃত্তকলা দ্বারা বৃত্তের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60° 

আমরা জানি, 
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল =  (θ/360) × πr² 
∴ প্রদত্ত বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (θ/360) × πr² 
= (60/360) × π × (6)² 
= (1/6) × π × 36 
= 6π 

প্রশ্ন: 'AMERICA' শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা 'CANADA' শব্দটির বর্ণ গুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যস্ত সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান: 
AMERICA শব্দে মোট বর্ণ = 7 টি
এর মধ্যে A = 2 বার, বাকি সব বর্ণ 1 বার করে আছে।

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2! = (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/2
= 7 × 6 × 5 × 4 × 3
= 2520

আবার,
CANADA শব্দে মোট বর্ণ = 6 টি
এর মধ্যে A = 3 বার, বাকি সব বর্ণ 1 বার করে আছে।

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 6!/3!
= (6 × 5 × 4 × 3!)/3!
= 6 × 5 × 4
= 120

সুতরাং AMERICA শব্দের বিন্যাস সংখ্যা CANADA শব্দের বিন্যাস সংখ্যার 2520/120 = 21 গুণ।

প্রশ্ন: x + (1/9x) = 1 হয় তবে 27x³ + (1/27x³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + (1/9x) = 1
বা, 3x + 3/9x = 3  [উভয় পক্ষকে 3 দ্বারা গুণ করে]
বা, 3x + 1/3x = 3
বা, (3x + 1/3x)³ = 3³
বা, (3x)³ + (1/3x)³ + 3 . 3x . 1/3x (3x + 1/3x) = 27
বা, 27x³ + 1/27x³ + 3 . 3 = 27
বা, 27x³ + 1/27x³ + 9 = 27
বা, 27x³ + 1/27x³ = 27 - 9
∴ 27x³ + 1/27x³ = 18

প্রশ্ন: করিম ও রহিমের মাসিক আয়ের অনুপাত 3 : 5। তাদের দুইজনের মাসিক আয় একত্রে 9600 টাকা। এক বছর পর রহিমের আয় 100 টাকা বেড়ে গেলে এবং করিমের আয় 250 টাকা কমে গেল। এক বছর পর করিম ও রহিমের মাসিক আয়ের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
করিম ও রহিমের আয় যথাক্রমে 3x ও 5x

প্রশ্নমতে,
3x + 5x = 9600
বা, 8x = 9600
বা, x = 9600/8
∴ x = 1200

∴ এক বছর পরে করিম ও রহিমের মাসিক আয়ের অনুপাত হবে = 
(3x - 250) : (5x + 100)
= (3 ⋅ 1200 - 250) : (5 ⋅ 1200 + 100)
= (3600 - 250) : (6000 + 100)
= 3350 : 6100
= 67 : 122

প্রশ্ন: রুবেল 300 টাকায় কিছু খাতা ক্রয় করে। যদি সে 2টি খাতা বেশি ক্রয় করতো তাহলে প্রতি খাতার দাম 5 টাকা কম হতো। রুবেল কতগুলো খাতা ক্রয় করেছিলো? 

সমাধান: 
ধরি, খাতার সংখ্যা = x
⇒ প্রতি খাতার দাম = 300/x
যদি 2টি বেশি খাতা কিনত, তবে প্রতি খাতার দাম = 300/(x + 2)
প্রশ্ন অনুসারে,
300/x – 300/(x + 2) = 5
⇒ 300(2)/(x(x + 2)) = 5
⇒ 600 = 5x(x + 2)
⇒ 5x² + 10x – 600 = 0
⇒ x² + 2x – 120 = 0
⇒ (x + 12)(x – 10) = 0
⇒ x = - 12 (গ্রহণযোগ্য নয়), x = 10 (ধনাত্মক সংখ্যা)

∴ রুবেল 10টি খাতা কিনেছিল।

প্রশ্ন: ঘণ্টায় ৭২ কিমি গতিতে চলমান ৯০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ২১০ মিটার লম্বা একটি ব্রিজ অতিক্রম করতে কত সেকেন্ড সময় লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৯০ মিটার
ব্রিজের দৈর্ঘ্য = ২১০ মিটার

ট্রেনের গতি = ৭২ কিমি/ঘণ্টা
= ৭২ × (১০০০/৩৬০০)
= ২০ মিটার/সেকেন্ড

∴  ট্রেনটি ব্রিজ অতিক্রম করতে মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য+ ব্রিজের দৈর্ঘ্য
= ৯০+ ২১০
 = ৩০০ মিটার।

সময় = দূরত্ব/ গতিবেগ
= ৩০০/২০
= ১৫ সেকেন্ড

সুতরাং, ট্রেনটি ব্রিজ অতিক্রম করতে ১৫ সেকেন্ড সময় লাগবে।

ছাত্র সংখ্যা ক হলে,
প্রশ্নমতে, ক/৪ + ৩ = ক/৩ - ৬/৩
⇒ ক/৪ + ৩ = ক/৩ - ২
⇒ ক/৩ - ক/৪ = ৩+২
⇒ (৪ক - ৩ক)/১২ = ৫
∴ ক = ৬০

প্রশ্ন: f(x) = a³ + 4a² + a - 6 হলে, নিচের কোনটি f(a) এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ?

সমাধান:
ধরি,
a = 1

∴ f(1) = 1³ + 4 .1² + 1 - 6 
= 1 + 4 + 1 - 6
= 6 - 6 
= 0
∴ (a - 1) হলে f(a) এর একটি উৎপাদক 

f(a) = a³ + 4a² + a - 6
= a³ - a² + 5a² - 5a + 6a - 6
= a²(a - 1) + 5a(a - 1) + 6(a - 1)
= (a - 1)(a² + 5a + 6)
= (a - 1)(a² + 2a + 3a + 6)
= (a - 1){a(a + 2) + 3(a + 2)}
= (a - 1)(a + 2)(a + 3)

প্রশ্ন: (২/৩), (৪/৫), (৫/৬) ভগ্নাংশগুলোর গ.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান:
(২/৩), (৪/৫), (৫/৬) ভগ্নাংশগুলোর গ.সা.গু = লব গুলোর গ.সা.গু/হর গুলোর ল.সা.গু

এখন,
২, ৪ ও ৫ এর গ.সা.গু = ১
৩, ৫ ও ৬ এর ল.সা.গু = ৩০

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ১/৩০।