গাণিতিক যুক্তি

ট্রেনের বেগ = ৭৮ কি.মি./ ঘন্টা
= (৭৮ × ১০০০)/৩৬০০ = ২১.৬৭ মি/সে.
এখন ১ সেকেন্ডে ট্রেনটি অতিক্রম করে = ২১.৬৭ মি
∴ ১ মিনিটে ট্রেনটি অতিক্রম করে = ২১.৬৭ × ৬০ = ১৩০০ মি.
প্রশ্নমতে, ট্রেনের দের্ঘ্য + প্লাটফরমের দৈর্ঘ্য = ১৩০০ মি.
বা, ট্রেনের দৈর্ঘ্য = (১৩০০ – ৯০০) মি. = ৪০০

প্রশ্ন:
উপর্যুক্ত চিত্রে ∠DOF এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
∠AOC = 30°
∠BOE = 60°

∠AOC = ∠BOD = 30° [বিপ্রতীপ কোণ]
∠BOE = ∠AOF = 60° [বিপ্রতীপ কোণ]

এখন,
∠AOF + ∠DOF + ∠BOD = 180°
⇒ 60° + ∠DOF + 30° = 180°
⇒ 90° + ∠DOF = 180°
⇒ ∠DOF = 180° - 90°
⇒ ∠DOF = 90°

৬ দ্বারা বিভাজ্য প্রথম তিন অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা ১০২ এবং শেষ তিন অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা ৯৯৬।
শেষ তিন অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা ৯৯৬ হবে এটা বোঝার উপায় হচ্ছে  শেষ তিন অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা ৯৯৯ কে ৬ দ্বারা ভাগ করলে ৩ অবশিষ্ট থাকে।
কাজেই ৯৯৯ থেকে ৩ বাদ দিলে ৯৯৬ পাওয়া যায়।

সুতরাং ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে মোট সংখ্যা
= {(৯৯৬ - ১০২)/৬ + ১} টি
= ১৫০ টি।
এই ১৫০ টির প্রতিটি জোড় সংখ্যা।
সুতরাং, জোড় সংখ্যাগুলো বাদ রেখে তিন অঙ্কের কতগুলো সংখ্যা ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে -
= (১৫০ - ১৫০) টি
= ০ টি

(৭৩৮ + ৮৩৪)/২
= ৭৮৬ যেখানে,
৭৮৬ - ৭৩৮ = ৮৩৪ - ৭৮৬
= ৪৮

মনে করি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার এবং দৈর্ঘ্য = 2x মিটার।
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 2x × x
= 2x²
শর্তমতে, 2x² = 1458
বা, x² = 729
বা, x = 27
সুতরাং আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ 27 মিটার এবং দৈর্ঘ্য 54 মিটার।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমার অনুপাত ১ : ৪ হলে, কর্ণের দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমার অনুপাত = ১ : ৪

ধরি বাহু = a মিটার
তাহলে, ক্ষেত্রফল = a^২ বর্গমিটার
পরিসীমা = ৪a মিটার

∴ অনুপাত, 
a^২/৪a = ১/৪
⇒ a/৪ = ১/৪
⇒ a = ৪ × (১/৪)
∴ a = ১ মিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = a√২ একক 
= (১ × √২) মিটার
= √২ মিটার

সুতরাং, বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য √২ মিটার।

প্রশ্ন:

সমাধান:

বর্ননা অনুসারে , BC = 8 মি.
∴ EF = 1/2 BC = 1/2 × 8 = 4 মি.

প্রশ্ন:

সমাধান:
 

ধরি, সংখ্যাটি x
শর্তমতে,
3x + 2x = 90
⇒ 5x = 90
∴ x = 18

প্রশ্ন: একটি বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য ১১ সে.মি. এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৭ সে.মি. হলে, চাপটি কেন্দ্রে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য ১১ সে.মি. এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৭ সে.মি.

আমরা জানি, 
বৃত্তের পরিধি = ২πr
= ২ × (২২/৭) × ৭
= ৪৪ সে.মি.

আবার, 
কেন্দ্রীয় কোণ, θ = (চাপের দৈর্ঘ্য/পরিধি) × ৩৬০°
= (১১/৪৪) × ৩৬০°
= (১/৪) × ৩৬০°
= ৯০°

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ সে.মি. ও ৯ সে.মি.। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ৯ বর্গ সে.মি.
= ৩৬ বর্গ সে.মি. 

ধরি, 
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি. 
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, ক^২ = ৩৬ বর্গ সে.মি.
∴ ক = ৬ সে.মি. 

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ক 
= (৪ × ৬) সে.মি
= ২৪ সে.মি। 

p = ১৮,০০০ টাকা,
r = ৫% = ৫/১০০ = ১/২০,
সুদ I = ৪,৫০০ টাকা
সময় n = ?
এখন,
I = pnr
বা, n = I/pr
= ৪৫০০/{১৮,০০০ × (১/২০)}
= (৪৫০০ × ২০)/১৮০০০
= ৫ বছর

প্রশ্ন: ৪৫° এর সম্পূরক কোণের মান কত?

সমাধান: 
সম্পূরক কোনের ক্ষেত্রে কোণদ্বয়ের সমষ্টি ১৮০°
৪৫° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৪৫° = ১৩৫°

সমষ্টি = গড় x পদ সংখ্যা
=(1+ 50)/2 x50
= 51/2 × 50
= 51 x 25
= 1275

প্রশ্ন: যদি x² + px + 6 = 0 এর মূল দুটি সমান হয় এবং p > 0. তবে p এর মান কত?

সমাধান:
x² + px + 6 = 0 প্রদত্ত সমীকরণটির নিশ্চায়ক, p² - 4 × 1 × 6 = p² - 24
যেহেতু সমীকরণের মূল দুটি সমান, তাই নিশ্চায়কের মান শূন্য
p² - 24 = 0
⇒ p² = 24
∴ p = √24

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 6√3 সেমি হলে তার পরিধি কত?

সমাধান:
a হলো সমবাহু ত্রিভুজের বাহু।
তাহলে উচ্চতা;
h = (√3/2) × a
প্রদত্ত: h = 6√3​

6√3 = (√3/2) × a
⇒ a = (6√3 × 2) / √3
⇒ a = (6 × 2)
⇒ a = 12

পরিধি (P) = 3 × বাহু
P = 3 × 12 = 36 সেমি

∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিধি = 36 সেমি

প্রশ্ন: ৫২ টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈব্যভাবে একটি তাস নির্বাচন করা হলো, তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এখানে,
মোট তাস সংখ্যা = ৫২ টি
এবং টেক্কা = ৪ টি

∴ তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = ৪/৫২ = ১/১৩

∴ তাসটি টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/১৩) = (১৩ - ১)/১৩= ১২/১৩

x³ + 1/x³
= (x + 1/x)³ - 3.x.1/x(x + 1/x)
= 4³ - 3.4
= 52

প্রশ্ন: (a/2) + 4 = (a/4) + 6 হলে a এর মান কত?

সমাধান:
(a/2) + 4 = (a/4) + 6
⇒ (a/2) - (a/4) = 6 - 4
⇒ (2a - a)/4 = 2
⇒ a/4 = 2
⇒ a = 2 × 4
∴ a = 8

প্রশ্ন: x - 1/x = 4 হলে x⁴ + 1/x⁴ = কত?

সমাধান:
x⁴ + 1/x⁴
= (x²)² + (1/x²)²
= (x² + 1/x²)2 - 2 . x². 1/x²
= {(x - 1/x)² + 2 . x . 1/x}² - 2
= (4² + 2)² - 2
= (16 + 2)² - 2
= (18)² - 2
= 324 - 2
= 322

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত নিচের কোনটি হলে ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোনো ত্রিভুজের এক বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি সমকোণী হবে।

প্রদত্ত অনুপাত গুলোর মধ্যে,
৯^২ + ১২^২ = ১৫^২

অন্যদিকে,
৫^২ + ৪^২ ≠  ৬^২
৮^২ + ৪^২ ≠  ১২^২
৪^২ + ৩^২ ≠  ৬^২

অর্থাৎ ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত ৯ : ১২ : ১৫ হলে ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে। 

মনে করি,
একটি কোণ ক তাহলে অপর কোণ 90-ক।
শর্তমতে,
ক - (90-ক) = 8
বা, ক - 90 + ক = 8
বা, 2ক = 98
বা, ক = 49
সুতরাং অপর কোণ = 90-ক = 90-49 = 41°

প্রশ্ন: 16x⁴ + 36x² + 81 কে 4x² - 6x + 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

সমাধান: 

If A is a finite set with n elements, then number of elements in the largest equivalence relation of A is 2ⁿ

সংখ্যাটির একক স্থানীয় মান a এবং দশম স্থানীয় মান b হলে, সংখ্যাটি -
a + 10 × b
= a + 10b

প্রদত্ত গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
এবং সাধারণ অনুপাত, r = ⅓   < 1
আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,
Sₙ = a.(1-rⁿ)/(1-r) ; যখন r < 1
∴ ধারাটির প্রথম 5 টি পদের সমষ্টি
S₅ = 1{1-(⅓)⁵} / (1-⅓)
= (1-1/243) / ⅔
= 242/243 × 3/2
= 121/81