গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: যদি ২০ জন ছাত্র গণিতে গড়ে ৭৫ নম্বর পায় এবং ৩০ জন ছাত্র গড়ে ৮৫ নম্বর পায়, তাহলে মোট ৫০ জন ছাত্রের গড় নম্বর কত?

সমাধান:
২০ জন ছাত্রের মোট নম্বর = (৭৫ × ২০) = ১৫০০
৩০ জন ছাত্রের মোট নম্বর = (৮৫ × ৩০) = ২৫৫০
মোট ছাত্র সংখ্যা = ২০ + ৩০ = ৫০
মোট প্রাপ্ত নম্বর = ১৫০০ + ২৫৫০ = ৪০৫০

সুতরাং, ৫০ জন ছাত্রের গড় নম্বর = ৪০৫০/৫০
= ৮১

অতএব, মোট ৫০ জন ছাত্রের গড় নম্বর ৮১।

ধরি, x মি. গেলে সামনের চাকা পিছনের চাকা অপেক্ষা ১০০ বার বেশি ঘুরবে।
x মি. যেতে সামনের চাকা ঘোরে x/৩ বার এবং পিছনের চাকা ঘোরে x/৪ বার।
প্রশ্নমতে, x/৩ - x/৪ = ১০০
⇒ (৪x - ৩x)/১২ = ১০০
⇒ x = ১২০০
∴ নির্ণেয় দূরত্ব = ১২০০ মিটার।

ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে, (x এর ২৭%) - ২৭ = ২৭
বা, (x × ২৭/১০০ = ২৭ + ২৭
বা, x = (৫৪ × ১০০)/২৭
বা, x = ২০০
∴ x = ২০০

প্রশ্ন: যদি U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, P = {1, 2, 5} এবং Q = {6, 7} হয়, তবে  P ∩ Q’ = ? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
P = {1, 2, 5} এবং Q = {6, 7}

এখন, 
Q’ = U - Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} - {6, 7}
= {1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10}

P ∩ Q’ = {1, 2, 5} ∩ {1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10} = {1, 2, 5} = P

∴ P ∩ Q’ = P 

a² + b² = 89
বা, 2(a² + b²) = 178
বা, (a + b)² + (a - b)² = 178
বা, (a - b)² = 178 - (a + b)²
বা, (a - b)² = 178 - (13)²
বা, (a - b)² = 178 - 169 = 9
∴ a - b = 3

প্রশ্ন: x - y = 2, x² - y² = 16 হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x - y = 2 .......(1)
এবং x² - y² = 16
⇒ (x + y)(x - y ) = 16 ; [a² - b² = (a + b)(a - b)] 
⇒ (x + y) × 2 = 16
⇒ (x + y) = 16/2
∴ x + y = 8 .........(2)

এখন, (1) ও (2) নং যোগ করে পাই, 
⇒ x - y + x + y = 2 + 8
⇒ 2x = 10
⇒ x = 10/2
∴ x = 5

প্রশ্ন: - 8 < 3 - x < - 2 কে পরম মান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করুন:

সমাধান: 
দেওয়া অসমতা, 
- 8 < 3 - x < - 2
⇒ - 8 < 3 - x < - 2
⇒ - 8 - 3 < - x < - 2 - 3
⇒ - 11 < - x < - 5
⇒ 11 > x > 5  ; [সবদিকে - 1 দিয়ে গুণ করলে অসমতার চিহ্ন উল্টে যাবে] 
⇒ 5 < x < 11
⇒ 5 - 8 < x - 8 < 11 - 8 ; [এই ব্যবধানের মধ্যবিন্দু হলো = (5 + 11)/2 = 8] 
⇒ - 3 < x - 8 < 3
∴ |x - 8| < 3

a⁷ × a^-5 × a³ × a^-9 × a⁴
= a^(7-5+3-9+4)
= a^(14-14)
= a⁰
= 1

২৫০ × ১/২% + ১০০
= ২.৫ × ০.৫ + ১০০
= ১.২৫ + ১০০
= ১০১.২৫

প্রশ্ন: (3x + 2y) = 24 এবং (4x + 3y) = 33 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
3x + 2y = 24 ...... (1) 
4x + 3y = 33 ...... (2) 

{(1) × 3}  - {(2) × 2} নং সমীকরণ থেকে পাই, 
9x + 6y - 8x - 6y = 72 - 66 
⇒ x = 6 

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
3 × 6 + 2y = 24
⇒ 18 + 2y = 24
⇒ 2y = 24 - 18
⇒ 2y = 6
⇒ y = 3 

∴ সরলরেখা দুটি (6, 3) বিন্দুতে ছেদ করে।

সংখ্যাটি, (৬৫০+৮২০)/২ = ৭৩৫

প্রশ্ন: 8টি বইয়ের মধ্যে 4টি বিশেষ বই একত্রে রেখে বইগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
4টি বিশেষ বই একত্রে একটি ধরে মোট বই = (8 - 4) + 1 = 5টি
5টি বই সাজানোর মোট উপায় = 5! = 120

এবং বিশেষ বই 4টি সাজানোর মোট উপায় = 4! = 24

∴ সবগুলো বই সাজানোর মোট উপায় = 120 × 24
= 2880

সুতরাং, 8টি বইয়ের মধ্যে 4টি বিশেষ বই একত্রে রেখে 2880 প্রকারে সাজানো যায়। 

প্রশ্ন: সুমন সাহেব প্রতি বছর তার আয়ের ২০% সঞ্চয় করেন। যদি পরের বছর তার আয় ১০% বৃদ্ধি পায়, তবে ঐ বছর তার সঞ্চয় শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান: 
মনে করি, 
সমুনের আয় = ১০০ টাকা
সঞ্চয় করেন = ১০০ এর ২০%
= ১০০ এর ২০/১০০
= ২০ টাকা

২য় বছর সুমনের আয় = ১০০ + ১০০ এর ১০%
= ১০০ + ১০০ এর ১০%
= ১০০ + ১০০ এর ১০/১০০
= ১০০ + ১০
= ১১০ টাকা

২য় বছর সুমনের সঞ্চয় = ১১০ এর ২০%
= ১১০ এর ২০/১০০
= ২২ টাকা

∴ সঞ্চয় বৃদ্ধি = ২২ - ২০ = ২ টাকা

∴ সঞ্চয় শতকরা বৃদ্ধি পাবে = {(২/২০) × ১০০%}
= ১০% 

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা ৪ টাকা সুদে ৩ বছরে ৬৫০০ টাকার সরল সুদের পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সুদের হার, r = ৪% = ৪/১০০
সময়, n = ৩ বছর
আসল, p = ৬৫০০ টাকা 
সুদ = I

 ∴ I = pnr
= (৬৫০০ × ৩ × ৪)/১০০
= (৬৫ × ১২)
= ৭৮০ টাকা  

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২০% কমালে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত কমবে?

সমাধান:
ধরি,
ব্যাসার্ধ = ১০
তাহলে, ক্ষেত্রফল = π(১০)^২ = ১০০π

ব্যাসার্ধ ২০% কমালে নতুন ব্যাসার্ধ = ১০ - ১০ এর ২০%
= ১০ - ২
= ৮

তাহলে, নতুন ক্ষেত্রফল = π(৮)^২ = ৬৪π

∴ ক্ষেত্রফল কমে= ১০০π - ৬৪π = ৩৬π

১০০π ক্ষেত্রফলে ক্ষেত্রফল কমে ৩৬π  
∴ ১ ক্ষেত্রফলে ক্ষেত্রফল কমে (৩৬π/১০০π)
∴ ১০০ ক্ষেত্রফলে ক্ষেত্রফল কমে = {(৩৬π/১০০)× ১০০}%
= ৩৬%

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা কমবে = ৩৬%

প্রশ্ন: ১ থেকে ৭০ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
১ থেকে ৭০ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো,
৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪, ২৭, ৩০, ৩৩, ৩৬, ৩৯, ৪২, ৪৫, ৪৮, ৫১, ৫৪, ৫৭, ৬০, ৬৩, ৬৬, ৬৯ = ২৩ টি সংখ্যা

এখানে যেহেতু মোট ২৩টি সংখ্যা রয়েছে, এটি একটি বিজোড় সংখ্যা। তাই,
মধ্যক = (n + ১)/২ তম পদ।
= (২৩ + ১)/২ = ২৪/২ = ১২তম পদ

সুতরাং, ১২তম পদ হলো ৩৬।

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১৫৯ হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বর্গের অন্তর কত?

সমাধান:
ধরি,
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা:
ক,  ক + ১, ক + ২

তাদের যোগফল দেওয়া আছে:
ক,  ক + ১, ক + ২ = ১৫৯
⇒ ৩ক + ৩ = ১৫৯
⇒ ৩ক = ১৫৬
⇒ ক = ১৫৬/৩
⇒ ক = ৫২

সংখ্যাগুলো:
৫২, ৫৩, ৫৪

বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বর্গের পার্থক্য:
৫৪^২ - ৫২^২
= (৫৪ + ৫২)(৫৪ - ৫২) [a² - b² = (a + b)(a - b) সূত্র ব্যবহার করে]
= ১০৬ × ২
= ২১২

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 27 হ্রাস পায়। অংক দুইটির যোগফল 9 হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
একক স্থানীয় অংক = x
এবং দশক স্থানীয় অংক = (9 - x)
∴ সংখ্যাটি = {x + 10(9 - x)} = 90 - 9x

আবার,
অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের পর সংখ্যাটি = {10x + (9 - x)} = 9x + 9

প্রশ্নমতে,
(90 - 9x) - (9x + 9) = 27
⇒ 90 - 9x - 9x - 9 = 27
⇒ - 18x + 81 = 27
⇒ - 18x = 27 - 81
⇒ - 18x = - 54
⇒ x = 54/18
⇒ x = 3

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 90 - (9 × 3)
= 90 - 27 = 63

a = ৫, d = ৪,
∴ ৭৭ = a + (n - ১)d
বা, ৭৭ = ৫ + (n - ১)৪
বা, ৭২ = ৪n - ৪
বা, ৪n = ৭৬
∴ n = ১৯
∴ s = (১৯/২){২×৫ + (১৯ - ১)৪}
= (১৯/২)(১০ + ৭২)
= (১৯×৮২)/২
= ৭৭৯

প্রশ্ন: কতজন শিশুর মধ্যে কোনো ফল না ভেঙ্গে ১১৫টি কমলা এবং ১৩৫টি কলা ভাগ করে দেয়া যায়?

সমাধান: 
১১৫ এর গুণিতক ৫, ২৩
এবং ১৩৫ এর গুণিতক ৫, ২৭

∴ ১১৫ ও ১৩৫ এর গ.সা.গু = ৫

অতএব, ৫ জন শিশুর মধ্যে ভাগ করে দেয়া যাবে।

প্রশ্ন: বার্ষিক ৪.৫% লাভে কত টাকা বিনিয়োগ কররে ৪ বছরে তা ৮২৬ টাকা হবে?

সমাধান:
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৪.৫ টাকা
∴ ১০০ টাকার ৪ বছরের সুদ (৪.৫ × ৪) টাকা =১৮ টাকা

সুদাসল = (১০০ + ১৮ টাকা) = ১১৮ টাকা

সুদাসল ১১৮ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা
সুদাসল ১ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা
∴ সুদাসল ৮২৬ টাকা হলে আসল = (১০০ × ৮২৬)/১১৮ টাকা
= ৭০০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের ৪টি বাহু যথাক্রমে ৪, ৩, ২, ৫। এটি কোন ধরণের চতুর্ভুজ? 

সমাধান: 
• সমবাহু চতুর্ভুজ:
- সব বাহু সমান
- বিপরীত বাহু সমান্তর
- বিপরীত কোণ সমান

• সামান্তরিক:
- বিপরীত বাহু সমান্তর।
- বিপরীত কোণ সমান।
- বিপরীত বাহু সমান।

• বিষমবাহু চতুর্ভুজ:
- সব বাহু ভিন্ন।
- সাধারণত কোনো কোণ বা বাহু সমান্তর নেই।

• আয়তক্ষেত্র:
- বিপরীত বাহুগুলো সমান।
- প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ।

∴  চতুর্ভুজটি হবে বিষমবাহু চতুর্ভুজ।

প্রশ্ন: ৭ : ৪ কে শতকরায় প্রকাশ করলে কত হবে?

সমাধান: 
এখানে, 
৭ : ৪
= ৭/৪

∴ শতকরায় প্রকাশ করলে,
= (৭/৪) × ১০০%
= (৭ × ২৫)%
= ১৭৫% 

প্রশ্ন: যদি x : y = 4 : 3, y : z = 5 : 4 এবং x = 200 হয়, তবে z এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
x : y = 4 : 3,  y : z = 5 : 4 এবং x = 200

এখন,
x : y = 4 : 3 
⇒ x/y = 4/3
⇒ 200/y = 4/3 [x = 200]
⇒ y = 200 × (3/4)
∴ y = 150

আবার,
y : z = 5 : 4
⇒ y/z = 5/4
⇒ 150/z = 5/4
⇒ z = 150 × (4/5)
∴ z = 120

এখানে,
n + 90° + 3n + 2n = 180°
বা, 6n = 90°
∴ n = 15°