গাণিতিক যুক্তি

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = (লবগুলোর ল.সা.গু)/(হরগুলোর গ.সা.গু)
বা, ভগ্নাংশের ল.সা.গু = ১২/১ = ১২

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার এক-চতুর্থাংশের সঙ্গে ১২ যোগ করলে সংখ্যাটির তৃতীয়াংশের সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(ক/৪) + ১২ = ক/৩
⇒ (ক + ৪৮)/৪ =  ক/৩
⇒ ৩(ক + ৪৮) = ৪ক
⇒ ৩ক + ১৪৪ = ৪ক
⇒ ক = ১৪৪

সংখ্যাটি হলো ১৪৪

প্রশ্ন: যদি g(x) = 2x³ - 3x + 7 হলে, g(- 1) + g(1) = ?

 সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
g(x) = 2x³ - 3x + 7

এখন,
g(- 1) = 2(- 1)³ - 3(- 1) + 7
= 2(- 1) + 3 + 7
= - 2 + 3 + 7
= 8

এবং, 
g(1) = 2(1)³ - 3(1) + 7
= 2(1) - 3 + 7
= 2 - 3 + 7
= 6

∴ g(- 1) + g(1) = 8 + 6 = 14

প্রশ্ন: কয়টি বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি এবং কেবল একটি সরলরেখা আঁকা যাবে? 

সমাধান: 
- জ্যামিতির মৌলিক নীতি অনুসারে, দুইটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি এবং কেবল একটি সরলরেখা আঁকা যায়। 
- যেসব বিন্দু একই সরলরেখায় অবস্থান করে, তাদেরকে সমরেখ বিন্দু বলা হয়। 
- একটি রেখাংশের দৈর্ঘ্যই তার প্রান্ত বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব। 
- প্রান্তবিন্দুদ্বয় ছাড়া রেখাংশের যেকোনো বিন্দুকে ঐ রেখাংশের অন্তঃস্থ বিন্দু বলা হয়।

প্রশ্ন: 8 × 16 × 32 × 64 = 2^{(x + y)} হলে, x এবং y-এর গড় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
8 × 16 × 32 × 64 = 2^{(x + y)} 
⇒ 2³ × 2⁴ × 2⁵ × 2⁶ = 2^{(x + y)} 
⇒ 2¹⁸ = 2^{(x + y)} 
⇒ 18 = x + y

∴ x এবং y এর গড় = (x + y)/2 = 18/2 = 9

ΔABC এর AB = AC
∴ ∠C = ∠B
এখন, ∠C + ∠B + ∠A = 180°
বা, 2∠B = 180° - 70°
বা,∠B = 55°

প্রশ্ন: (1/2) {(p + q)² - (p - q)²} এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি,
(p + q)² - (p - q)² = 4pq
∴  (1/2) {(p + q)² - (p - q)²}
= (1/2) × 4pq
= 2pq

প্রশ্ন: একটি বিন্দুর চতুর্দিকের কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:

একটি বিন্দুর চতুর্দিকের মোট কোণের পরিমাণ চার সমকোণ।

অর্থাৎ কোণের পরিমাণ = ৪ × ৯০° = ৩৬০° 

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
বা, 5² = (a² + b² + c²) + 2.8
বা, 25 - 16 = a² + b² + c²
∴ a² + b² + c² = 9

2x/(x-4) + 3x/(x+2) = 5
বা, 2x/(x-4) - 2 = 3 - 3x/(x+2)
বা, (2x-2x+8) / (x-4) = (3x+6-3x) / (x+2)
বা, 8/(x-4) = 6/(x+2)
বা, 4/(x-4) = 3/(x+2)
বা, 4x + 8 = 3x - 12
∴ x = -20

নমুনাক্ষেত্র
মোট নমুনাবিন্দু = 36
দু'টি সংখ্যার গড় 3 এর অনুকূলে নমুনা বিন্দু = 5
∴ সম্ভাবনা = 5/36

প্রশ্ন: ৬ টাকার ৩/৪ অংশ এবং ৫ টাকার ২/৫ অংশের মধ্যে পার্থক্য কত?

সমাধান:
৬ টাকার ৩/৪ অংশ = (৬ × ৩/৪) টাকা = ৪.৫ টাকা
আবার,
৫ টাকার ২/৫ অংশ = (৫ × ২/৫) টাকা = ২ টাকা

∴ নির্ণেয় পার্থক্য = ৪.৫ - ২ = ২.৫ টাকা

∴ পার্থক্য = ২.৫ টাকা

• রেখার কোনো প্রান্তবিন্দু নাই।
• রশ্মির একটিমাত্র প্রান্তবিন্দু থাকে।
• রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।
• একটি বিন্দু থেকে একাধিক রশ্মি আঁকা যায়।

ধরি, সাজুর বর্তমান বেতন x টাকা
প্রশ্নমতে, x + ৬০ = ২০০০ × ৫০/১০০
বা x = ১০০০ - ৬০
বা x = ৯৪০

x = 0 হলে,
বামপক্ষ = ডানপক্ষ = √2
∴ x = 0

2x + 3y = 36.......(1)
2x + y = 16.........(2)
(1) নং - (2) নং ⇒
2y = 20
∴ y = 10
(2) নং ⇒
2x + 10 = 16
বা, 2x = 6
∴ x = 3

প্রশ্ন: 3p³ + 2p² - 21p - 20 রাশির একটি উৎপাদক হচ্ছে:

সমাধান: 
ধরি,
f(p) = 3p³ + 2p² - 21p - 20
∴ f(- 1) = 3(- 1)³ + 2(- 1)² - 21(- 1) - 20
= - 3 + 2 + 21 - 20
= 0

যেহেতু f(- 1) = 0 হয়,
সুতরাং,  p - (- 1) বা p + 1 হচ্ছে প্রদত্ত রাশির একটি উৎপাদক।

• পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা।
• যেহেতু √২২৫ = ১৫
• সুতরাং √২২৫ একটি মূলদ সংখ্যা।

বাড়ির দেয়াল মাটির সাথে সমকোণ তৈরী করেছে
সমকোণী ত্রিভূজের ক্ষেত্রে
অতিভূজ² = লম্ব² + ভূমি²
= ৪০²+৯²
= ১৬৮১
∴ অতিভূজ = √১৬৮১ = ৪১ ফুট
∴ মইয়ের উচ্চতা = ৪১ ফুট

Given, p - 6/p = 1
⇒ p² - 6 = p
⇒ p² - p = 6
So, 3/(p²-p+3)
∴ 3/(6+3) = 1/3

প্রশ্ন: 3/5 এর লব ও হরের সাথে কোন একই সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 4/5 হয়? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

শর্তমতে, 
(3 + x)/(5 + x) = 4/5 
বা, 15 + 5x = 20 + 4x 
বা, 5x − 4x = 20 − 15 
∴ x = 5 

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 5  ।

৯ টি সংখ্যার গড় ৪৩ হলে এদের সমষ্টি ৯×৪৩ = ৩৮৭ 
আবার ২ টি সংখ্যার সমষ্টি ২×১০ = ২০
সুতরাং ৯ + ২ = ১১ টি সংখ্যার সমষ্টি  ৩৮৭ + ২০ = ৪০৭ 
অর্থাৎ, এদের গড় = ৪০৭/১১ = ৩৭

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 64π বর্গমিটার, পরিধি 16π মিটার, বৃত্তটির ব্যাস কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তের পরিধি = 2πr 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক 

শর্তমতে, 
2πr = 16π মিটার 
এবং, πr² = 64π বর্গ মিটার‌ 

এখন, 
πr²/2πr = 64π/16π 
বা, r/2 = 4 
∴ r = 8 

∴ বৃত্তের ব্যাস = (2 × 8) মিটার 
= 16 মিটার।

f(x) = 3x² - 7x - 16 কে 3x + 2 দ্বারা ভাগ করলে
ভাগশেষ f{-(2/3)} = 3{-(2/3)}² - 7{-(2/3)} - 16
= 4/3 + 14/3 - 16
= (4 + 14 - 48)/3
= -30/3
= -10

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক কত মুনাফার 3000 টাকার 5 বছরের মুনাফা 1500 টাকা হবে?

সমাধান: 
এখানে,
P = আসল = 3000 টাকা
I = মুনাফা = 1500 টাকা
r = মুনাফার হার = ? 
n = সময় = 5 বছর 

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, r/100 = I/Pn
বা, r/100 = 1500/(3000 × 5)
বা, r = (1500 × 100)/(3000 × 5)
∴ r = 10% 

∴ মুনাফার হার = 10%  

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি একটি দ্রব্য ১২০০ টাকায় কিনে ১৫% লাভে বিক্রয় করল। ক্রেতা ঐ দ্রব্য তৃতীয় এক ব্যক্তির কাছে ৫% ক্ষতিতে বিক্রয় করল। শেষ বিক্রয়মূল্য কত ছিল? 

সমাধান: 
১৫% লাভে, 
১০০ টাকার দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য = ১১৫ টাকা 
∴ ১ টাকার দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য = ১১৫/১০০ টাকা 
∴ ১২০০ টাকার দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য = (১১৫ × ১২০০)/১০০ টাকা 
= ১৩৮০ টাকা 

৫% ক্ষতিতে, 
১০০ টাকার দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য = ৯৫ টাকা 
∴ ১ টাকার দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য = ৯৫/১০০ টাকা 
∴ ১৩৮০ টাকার দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য = (৯৫ × ১৩৮০)/১০০ টাকা 
= ১৩১১ টাকা 

∴ শেষ বিক্রয়মূল্য = ১৩১১ টাকা।

৪ অংকের বৃহত্তম সংখ্যা ৯৯৯৯
১৫, ২৫, ৪০ এবং ৭৫ এর ল.সা.গু. = ৬০০
৯৯৯৯ কে ৬০০ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ ৩৯৯ থাকে।
তাহলে, নির্ণেয় সংখ্যা = (৯৯৯৯ - ৩৯৯) = ৯৬০০

ব্যাসার্ধ r হলে,
পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr²,
আয়তন = 4πr³/3
∴ (4πr³/3)/4πr² = 288/144
বা, 4πr³/(3 × 4πr²) = 2
বা, r/3 = 2
∴ r = 6

প্রশ্ন: ৬টি ভিন্ন বর্ণের পুঁতি দিয়ে কত উপায়ে একটি তসবী তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
তসবী, মালা ইত্যাদি গঠন করলে বিন্যাস সংখ্যা হয় = (n - 1)!/2

এখানে, n = 6

∴ তসবী গঠনের উপায় = (6 - 1)!/2
= 5!/2
= (5 × 4 × 3 × 2 × 1)/2
= 120/2
= 60

এখানে,
x/2 + 3x/2 + 5x/2 = 180°
বা, x + 3x + 5x = 180° × 2
বা, 9x = 180° × 2
বা, x = 20° × 2 = 40°
∴ বৃহত্তম কোণ = (5 × 40°)/2
= 100°
∴ বৃহত্তম কোণের সম্পূরক কোণ = 180° - 100°
= 80°

এখানে, বৃত্তের ব্যাস = ২r একক
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r একক
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr^২ বর্গ একক
৪ গুণ বৃদ্ধি করলে, নতুন ব্যাস = ৪.২r একক
= ৮r একক
নতুন ব্যাসার্ধ = ৮r/২ একক
= ৪r একক
সুতরাং নতুন ক্ষেত্রফল = π(৪r)^২ বর্গ একক
= π × ১৬ × r² বর্গ একক
= ১৬ × বৃত্তের ক্ষেত্রফল

প্রশ্ন: নিচের কোনটি দ্বারা একটি সরল রেখা বোঝায় না?

সমাধান: 
সরল রেখার সমীকরণ হওয়ার শর্ত হলো y = mx + c
যেখানে, m = ঢাল এবং c = ধ্রুবক সংখ্যা।
প্রশ্নের অপশনগুলোর ক), খ) এবং ঘ) এই শর্তটি পূরণ করে বলে সমীকরণ তিনটি সরলরেখার সমীকরণ নির্দেশ করবে।

কিন্তু শুধু অপশন গ) এর 
y(2 + x) = 3
⇒ 2y + xy = 3
⇒ xy + 2y = 3
যা সরল রেখা হওয়ার শর্তটি পূরণ করে না। তাই এটি উত্তর।