গাণিতিক যুক্তি

শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে, 5 টি যাদের একটি স্বরবর্ণ এবং 4 টি ব্যাঞ্জনবর্ণ।
প্রতিবার 1টি স্বরবর্ণ এবং 2টি ব্যঞ্জনবর্ণ নিয়ে শব্দগঠনের উপায় = 1 × ⁴c₂ × 3! = 36

প্রশ্ন: 10 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 6 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

সমাধান: 

ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ OA = 10 সে.মি. 
কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব OC = 6 সে.মি.

এখন,
OAC সমকোণী ত্রিভুজে,
AC = √(OA² - OC²)
= √(10² - 6²)
= √(100 - 36)
= √64
= 8 সে.মি. 

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴ জ্যা AB = 2 × AC 
= 2 × 8 সে.মি.
= 16 সে.মি.

প্রশ্ন: P(A) = 0.5, P(B) = 0.8 এবং A ও B স্বাধীন হলে, P(B/A) = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
P(A) = 0.5 = 1/2
এবং P(B) = 0.8 = 8/10 = 4/5

আমরা জানি,
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= (1/2) × (4/5)
= 2/5

∴ P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A)
= (2/5)/(1/2)
= (2/5) × (2/1)
= 4/5

a > 0, a ≠ 1 শর্তে,
a^x = a^y হলে x = y হবে।

প্রশ্ন: 2x + 3y = 13 এবং 5x - 2y = 4 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় হলো,
2x + 3y = 13........... (1)
5x - 2y = 4 ............ (2)

(1) নং × 2 + (2) নং × 3 ⇒
2(2x + 3y) + 3(5x - 2y) = 2 x 13 + 3 x 4
⇒ 4x + 6y + 15x - 6y = 26 + 12
⇒ (4x + 15x) + (6y - 6y) = 38
⇒ 19x = 38
⇒ x = 38/19
∴ x = 2

প্রশ্ন: 100 টাকা 10% হারে 5 বছরের জন্য বিনিয়োগ করা হলে, সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
মূলধন, P = 100 টাকা
সুদের হার, r = 10% = 10/100 = 1/10
সময়, n = 5 বছর

আমরা জানি,
সরল মুনাফার ক্ষেত্রে,
SI = P × r × n
= 100 × (1/10) × 5
= 50 টাকা

আবার,
চক্রবৃদ্ধি মুনাফায়,
C = P(1 + r)ⁿ
= 100 × (1 + 1/10)⁵
= 100 × (11/10)⁵
= 100 × (11/10) × (11/10) × (11/10) × (11/10) × (11/10)
= 100 × (161051/100000)
= 161051/1000
= 161.051 টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = C - P
= (161.051 - 100) টাকা
= 61.051 টাকা

∴ সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য = 61.051 - 50 = 11.051 টাকা

প্রশ্ন: ০.০২৮৯ এর বর্গমূল কত?

সমাধান:
√(০.০২৮৯)
= √{(০.০২৮৯ × ১০০০০)/১০০০০}
= √(২৮৯/১০০০০)
= ১৭/১০০
= ০.১৭ 

প্রশ্ন: ১২% হারে ২৫,০০০ টাকার ২ বছরে চক্রবৃদ্ধি মুনাফা কত টাকা হবে?

সমাধান:
দেয়া আছে,
আসল (P) = ২৫,০০০ টাকা
মুনাফার হার (r) = ১২%
সময় (n) = ২ বছর

আমরা জানি,
চক্রবৃদ্ধি বা যৌগিক মূলধন (A) = P{১ + (r/১০০)}ⁿ
= ২৫,০০০ × {১ + (১২/১০০)}^২
= ২৫,০০০ × (১১২/১০০)^২
= ২৫,০০০ × (১১২/১০০) × (১১২/১০০) 
= ৩১,৩৬০ টাকা

∴ মুনাফা = চক্রবৃদ্ধি বা যৌগিক মূলধন - আসল
= ৩১,৩৬০ - ২৫,০০০
= ৬৩৬০ টাকা

প্রশ্ন: একটি প্যাকেট থেকে দৈবভাবে একটি তাস নির্বাচন করা হলে কার্ডটি রাজা বা রাণী হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
প্যাকেটে মোট তাস থাকে = ৫২ টি 

৫২ টি তাসে রাজা বা রাণীর সংখ্যা = (৪ + ৪) টি = ৮ টি 

∴ তাসটি রাজা বা রাণী হওয়ার সম্ভাবনা = ৮/৫২ = ২/১৩ 

প্রশ্ন: একটি বাক্সে প্রতিটি ১০০ গ্রাম ওজনের ১৯০টি চকলেট এবং ১৫০ গ্রাম ওজনের ১০০টি কুকিজের প্যাকেট আছে। পুরো বাক্সের ওজন ৩৯.৫০ কিলোগ্রাম হলে খালি বাক্সের ওজন কত?

সমাধান:
১টি চকলেটের ওজন = ১০০ গ্রাম
১৯০টি চকলেটের ওজন = (১০০ × ১৯০) গ্রাম
= ১৯০০০ গ্রাম
= ১৯০০০/১০০০ কিলোগ্রাম
= ১৯ কিলোগ্রাম

১টি কুকিজের প্যাকেটের ওজন = ১৫০ গ্রাম
১০০টি কুকিজের প্যাকেটের ওজন = (১৫০ × ১০০) গ্রাম
= ১৫০০০ গ্রাম
= ১৫০০০/১০০০ কিলোগ্রাম
= ১৫ কিলোগ্রাম

চকলেট ও কুকিজের মোট ওজন = (১৯ + ১৫) কিলোগ্রাম
= ৩৪ কিলোগ্রাম

খালি বাক্সের ওজন = ৩৯.৫০ - ৩৪ = ৫.৫০ কিলোগ্রাম

প্রশ্ন: (8x)⁰ + 8x⁰ -এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
(8x)⁰ + 8x⁰
= 1 + (8 × 1) [a⁰ = 1]
= 1 + 8
= 9

প্রশ্ন: a + 3 + (1/a) = 0 হলে a³ + (1/a)³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + 3 + (1/a) = 0
⇒ a + (1/a) = - 3

এখন,
a³ + (1/a)³ 
= {a + (1/a)}³ - 3.a.(1/a){a + (1/a)}
= (- 3)³ - 3(- 3)
= - 27 + 9
= - 18

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের থেকে ১৫ মিটার বেশি। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৫০ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ক + ১৫ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (ক + ক + ১৫)
= ৪ক + ৩০ মিটার

প্রশ্নমতে,
৪ক + ৩০ = ১৫০
⇒ ৪ক = ১২০
⇒ ক = ১২০/৪
∴ ক = ৩০

∴ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ৩০ মিটার
এবং আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৩০ + ১৫ = ৪৫

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৪৫ × ৩০ বর্গমিটার
= ১৩৫০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: ৮% সরল মুনাফায় ৬ মাসে ১৫,০০০ টাকার মুনাফা কত?

সমাধান:
এখানে,
আসল, P = ১৫,০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৮% = ৮/১০০
সময়, n = ৬ মাস = ৬/১২ = ১/২ বছর

সুদ, I = Pnr
= ১৫০০০ × (১/২) × (৮/১০০)
= ৬০০০০/১০০
= ৬০০ টাকা

ধরি,
ঘনকের একটি ধার = a
∴ সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 6a² = 24
বা, a² = 4
∴ a = 2
∴ ঘনকের আয়তন = a³
= 2³
= 8 ঘনসেঃমিঃ

প্রশ্ন: একজন কর্মকর্তা তার মূল বেতনের ১৫% মহার্ঘ ভাতা পান। যদি তার মূল বেতন ৭৫০০ টাকা হয় তবে তার মোট বেতন কত হবে?

সমাধান:
১০০ টাকায় মহার্ঘ ভাতা পান ১৫ টাকা
১ টাকায় মহার্ঘ ভাতা পান ১৫/১০০ টাকা
৭৫০০ টাকায় মহার্ঘ ভাতা পান = (১৫ × ৭৫০০)/১০০ টাকা
= ১১২৫ টাকা

∴ তার মোট বেতন = (৭৫০০ + ১১২৫) = ৮৬২৫ টাকা

প্রশ্ন: sin(- 360°) এর মান কত?

সমাধান:
sin(- 360°)
= - sin360° [sin(- θ) = - sinθ]
= - sin(4 × 90° + 0°)
= - (sin0°)
= - sin0°
= 0

প্রশ্ন: সরল করুন:  {(৯/১৮) ÷ (৪/৮)} × {(১৫/৫) ÷ (৯/৩)}

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
 {(৯/১৮) ÷ (৪/৮)} × {(১৫/৫) ÷ (৯/৩)}
= {(১/২) ÷ (১/২)} × {৩ ÷ ৩}
= {(১/২) × (২/১)} × ১
= ১ × ১ 
= ১

প্রশ্ন: k এর 200% - 50 এর (k + 2)% = k হলে, k এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
k এর 200% - 50 এর (k + 2)% = k
⇒ (200/100) × k - {(k + 2)/100} × 50 = k
⇒ 2k - (k + 2)/2 = k
⇒ 4k - k - 2 = 2k
⇒ 4k - 2k - k = 2
⇒ 4k - 3k = 2
⇒ k = 2

∴ k এর মান 2

x/4 - x/5 = (x - 1)/10
বা, (5x - 4x)/20 = (x - 1)/10
বা, x/20 = (x - 1)/10
বা, x/2 = x - 1
বা, x = 2x - 2
বা, x = 2

প্রশ্ন: নিচের কোনটি পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সমর্থন করে? 

সমাধান:
পিথাগোরাসের উপপাদ্য,
সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো satisfy করে।
(অতিভুজ)^২ = (এক বাহু)^২ + (অপর বাহু)^২

অপশন যাচাই করে পাই:
ক) ৩^২ + ৪^২ = ৯ + ১৬ = ২৫ = ৫^২
খ) ৪^৫ + ৫^২ = ১৬ + ২৫ = ৪১ ≠ ৬^২
গ) ৪^২ + ৫^২ = ১৬ + ২৫ = ৪১ ≠ ৯^২ 
ঘ) ১১^২ + ১২^২ = ১২১ + ১৪৪ = ২৫৬ ≠  ১৫^২ 

∴ ৩, ৪ ও ৫ পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সমর্থন করে।

প্রশ্ন: (3, 10) এবং (7, 26) বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বিন্দু দুইটি হলো (x₁, y₁) = (3, 10)
এবং (x₂, y₂) = (7, 26)।

আমরা জানি, সরলরেখার ঢাল, m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (26 - 10)/(7 - 3)
= 16/4
= 4

সুতরাং, সরলরেখার ঢাল হলো 4।

প্রশ্ন: যদি x + y = 5 এবং x² + y² = 13 হয়, তবে x³ + y³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 5
⇒ (x + y)² = 5²
⇒ x² + 2xy + y² = 25 [যেহেতু x² + y² = 13]
⇒ 13 + 2xy = 25
⇒ 2xy = 12
∴ xy = 6

এখন,
x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y)
= (5)³ - 3 × 6 × 5
= 125 - 90
= 35

ধরি,
ভূমি BC = a,
লম্ব AB = a + 1 এবং
AC = a + 1 + 1 = a + 2
পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, AC² = AB² + BC²
বা, (a + 2)² = (a + 1)² + a²
বা, a² + 4a + 4 = a² + 2a + 1 + a²
বা, a² - 2a - 3 = 0
বা, a² - 3a + a - 3 = 0
বা, a(a - 3) + 1(a - 3) = 0
বা, (a - 3)(a + 1) = 0
∴ a = 3
অতিভূজ = a + 2
= 5 একক 

প্রশ্ন: নৌকাটি স্রোতের প্রতিকূলে যেতে যা সময় লাগে, স্রোতের অনুকূলে যেতে তার অর্ধেক সময় লাগে। যদি পুরো যাত্রায় ৯ ঘণ্টা সময় লাগে, তাহলে স্রোতের অনুকূলে যেতে কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
মনে করি, 
স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগে = x ঘণ্টা 
∴ স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগে = ২x ঘণ্টা  

প্রশ্নমতে,
x + ২x = ৯ 
বা, ৩x = ৯ 
বা, x = ৯/৩ 
∴ x = ৩

∴ স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগবে = ৩ ঘণ্টা।

প্রশ্ন: 5, 7, 9 এবং 15 সংখ্যাগুলোর গড় বিচ্যুতি কত?

সমাধান:
গড়, x̄ = (5 + 7 + 9 + 15)/4
= 36 / 4
= 9

গড় বিচ্যুতি, MD = Σ|x_i - x̄|/n
= (|5 - 9| + |7 - 9| + |9 - 9| + |15 - 9|)/4
= (4 + 2 + 0 + 6)/4
= 12/4
= 3

∴ নির্ণেয় গড় বিচ্যুতি = 3

প্রশ্ন: ১০ টি চেয়ার এবং ৫ টি টেবিলের দাম সমান। যদি ৪ টি চেয়ার এবং ৩ টি টেবিলের দাম ২২০০ টাকা হয়, তবে ৬ টি চেয়ার এবং ৪ টি টেবিলের মোট দাম কত হবে?

সমাধান:

ধরি,
১ টি চেয়ারের দাম = X টাকা
১ টি টেবিলের দাম = Y টাকা

১০ চেয়ারের দাম = ১০X

৫ টেবিলের দাম = ৫Y

প্রশ্নমতে:
১০X = ৫Y
∴ Y = ২X

দেওয়া আছে:
৪X + ৩Y = ২২০০
বা, ৪X + ৩(২X) = ২২০০
বা, ৪X + ৬X = ২২০০
বা, ১০X = ২২০০
∴ X = ২২০

তাহলে, Y = ২ × ২২০ = ৪৪০

৬ চেয়ারের দাম = ৬ × ২২০ = ১৩২০
৪ টেবিলের দাম = ৪ × ৪৪০ = ১৭৬০

মোট দাম = ১৩২০ + ১৭৬০ = ৩০৮০ টাকা

ক, খ এবং গ রাশি তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী হলে মধ্যসমানুপাতী হবে,
খ^২ = ক × গ
বা, খ = √(ক × গ)
সুতরাং ৪ এবং ১৬ সংখ্যা দুটির মধ্যসমানুপাতী = √(৪ × ১৬)
= ২ × ৪
= ৮

প্রশ্ন: x² - 1 - y (y - 2) এর উৎপাদক কত?

সমাধান: 
x² - 1 - y (y - 2)
= x² - 1 - y² + 2y
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y - 1)²
= (x + y - 1) (x - y + 1)

প্রশ্ন: একটি ক্যাম্পে ৮ জন লোকের ৬ দিনে ৪৮ লিটার পানি লাগে। যদি ক্যাম্পে ৪ জন নতুন লোক আসে, তবে সব লোকের জন্য ৯ দিনে কত লিটার পানি লাগবে?

সমাধান:
৪ জন লোক নতুন আসায় মোট লোকসংখ্যা হয় = ৮ + ৪ = ১২ জন

৮ জন লোকের ৬ দিনে পানি লাগে = ৪৮ লিটার
∴ ১ জন লোকের ১ দিনে পানি লাগে = ৪৮/(৮ × ৬) লিটার
∴ ১২ জন লোকের ৯ দিনে পানি লাগবে = (৪৮ × ১২ × ৯)/(৮ × ৬) লিটার
                                         = ৫১৮৪/৪৮ = ১০৮ লিটার

প্রশ্ন: যদি 3ln(1/x) = ln8 হয়, তাহলে x = ?

সমাধান:
3ln (1/x) = ln8
⇒ ln(1/x)³ = ln8
⇒ ln(1/x)³ = ln8
⇒ (1/x)³ = 8
⇒ x^-3 = 8
⇒ (x^-3)^-1/3 = 8^-1/3
⇒ x = 1/2

প্রশ্ন: সুষম অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত সমকোণ?

সমাধান:
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের কোনগুলোর সমষ্টি = (2n - 4) সমকোণ; এখানে n = বাহুর সংখ্যা।

∴ সুষম অষ্টভুজের কোনগুলোর সমষ্টি = [(2 × 8) - 4] সমকোণ 
= (16 - 4) সমকোণ 
= 12 সমকোণ

প্রশ্ন: log₁₀ (x + 6) - log₁₀ (x + 2) = log₁₀ x হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₁₀ (x + 6) - log₁₀ (x + 2) = log₁₀ x 
⇒ log₁₀ {(x + 6)/(x + 2)} = log₁₀ x 
⇒ (x + 6)/(x + 2) = x
⇒ x² + 2x = x + 6
⇒ x² + 2x - x - 6 = 0
⇒ x² + x - 6 = 0
⇒ x² + 3x - 2x - 6 = 0
⇒ x(x + 3) - 2(x + 3) = 0
⇒ (x + 3)(x - 2) = 0
⇒ x = 2, - 3
∴ x = - 3; log₁₀(- 3) যা অসম্ভব ⇒ গ্রহণযোগ্য নয়

∴ x = 2

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিক ক্ষেত্রের ভূমি ৩৪ মিটার ও উচ্চতা ৪৬ মিটার। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিক ক্ষেত্রের ভূমি ৩৪ মিটার
এবং উচ্চতা ৪৬ মিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক
= (৩৪ × ৪৬) বর্গমিটার
= ১৫৬৪ বর্গমিটার

প্রশ্ন: নিচের কোন সেটটি একটি পিথাগোরিয়ান ট্রিপলেট?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, 
 (ভূমি)² + (লম্ব)² = (অতিভুজ)²
 
ক) 2² + 3² = 4 + 9 = 13 ≠ 5² = 25
খ) 5² + 7² = 25 + 49 = 74 ≠ 9² = 81
গ) 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17² = 289  
ঘ) 6² + 9² = 36 + 81 = 117 ≠ 11² = 121 

শুধুমাত্র, গ) অপশনে সেটের উপাদানগুলো পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সিদ্ধ করে।
∴ (8, 15, 17) হচ্ছে একটি পিথাগোরিয়ান ট্রিপলেট।