গাণিতিক যুক্তি

x+y = 8 এবং xy = 15 হলে,
(x-y)² = (x+y)² -4xy
x-y = 2
∴(x-y)⁴ =2⁴ = 16

প্রশ্ন: যদি x একটি জোড় সংখ্যা হয়, তাহলে নিচের কোনটি জোড় সংখ্যা হতে পারে না?

সমাধান:
ধরি,
x = 4 (জোড় সংখ্যা)
ক) x³ = 4³ = 64 ; যা জোড় সংখ্যা

খ) 5(x + 2) = 5 × (4 + 2) = 40 ; যা জোড় সংখ্যা

গ) (2x + 2) = 2 × 4 + 2 = 10 ; যা জোড় সংখ্যা

ঘ) (7x + 3) = 7 × 4 + 3 = 31  ইহা জোড় সংখ্যা নয়।

সঠিক উত্তর ঘ) (7x + 3)

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার এক-চতুর্থাংশের সাথে ৪ যোগ করলে সংখ্যাটির মান ঐ সংখ্যার এক-তৃতীয়াংশের চেয়ে ১ কমে যাবে?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি ক

শর্ত অনুযায়ী:
⇒ ক/৪ + ৪ = ক/৩ - ১
⇒ ক/৩ - ক/৪ = ৪ + ১
⇒ (৪ক - ৩ক)/১২ = ৫
ক = ৬০  

প্রশ্ন: ২৭০° কোণকে কী কোণ বলে?

সমাধান:
আমরা জানি,
- ৯০° অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ (Acute Angle) বলে।
- ৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ (Obtuse Angle) বলে।
- ৯০° কোণকে সমকোণ (Right Angle) বলে।
- ১৮০° কোণকে সরলকোণ/সমরেখ কোণ (Straight Angle) বলে।
- ১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex Angle) বলে।
- ৩৬০° কোণকে সম্পূর্ণ কোণ (Full Angle) বলে, যেটা এক পূর্ণবৃত্ত ঘূর্ণন বোঝায়।

যেহেতু ২৭০° কোণটি ১৮০° এর চেয়ে বড় এবং ৩৬০° এর চেয়ে ছোট, তাই এটি একটি প্রবৃদ্ধ কোণ।

সার্বিক সেট থেকে কোনো সদস্য বাদ দিলে যে সেট পাওয়া যায় তাকে পূরক সেট বলে
U - A = A′

প্রশ্ন: 7 + 13 + 19 + … ধারাটির প্রথম 20 টি পদের যোগফল কত? 

সমাধান:
প্রথম পদ: a = 7
সাধারণ অন্তর: d = 13 - 7 = 6
পদের সংখ্যা: n = 20

প্রথম n পদের যোগফল সূত্র:
S_n = n/2[2a + (n - 1)d]
S₂₀ = 20/2[2 × 7 + (20 - 1)6]
S₂₀ = 10[14 + 19 × 6]
S₂₀ = 10[14 + 114]
S₂₀ = 10[128]
S₂₀ = 1280

∴20 পদের যোগফল 1280

প্রশ্ন: ৫৬০৫ এর সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
প্রথমে ৫৬০৫-এর কাছাকাছি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নির্ণয় করি।
৭৪^২ = ৫৪৭৬
৭৫^২ = ৫৬২৫
∴ ৫৬২৫ - ৫৬০৫ = ২০ 
অর্থাৎ, যদি আমরা ২০ যোগ করি, তাহলে ৫৬০৫ + ২০ = ৫৬২৫ হবে।
এবং ৫৬২৫ = ৭৫^২, যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

প্রশ্নঃ দুটি পাইপ A এবং B যথাক্রমে ২৪ মিনিট এবং ৩২ মিনিটে একটি ট্যাঙ্ক পূর্ণ করতে পারে, যদি দুটি পাইপ একসাথে খুলে দেয়া হয়।কত সময় পর ব বন্ধ করলে সম্পূর্ণ ট্যাঙ্কটি মোট ১৮ মিনিটে পূর্ণ হবে?

সমাধানঃ

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ১/৩ অংশের সাথে 4 যোগ করলে সংখ্যাটির ১/২ অংশ হবে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(ক/৩) + ৪ = (ক/২)
⇒ (ক/২) - (ক/৩) = ৪
⇒ (৩ক - ২ক)/৬ = ৪
⇒ ক/৬ = ৪
⇒ ক = ২৪

অতএব, সংখ্যাটি = ২৪।

দেওয়া আছে, পরপর দশটি সংখ্যার প্রথম পাঁচটির যোগফল 560।
সুতরাং, সংখ্যা গুলোর গড় = 560 ÷ 5 = 112
সুতরাং, সংখ্যাগুলো হবে যথাক্রমে, 110, 111, 112, 113, 114 (যেহেতু বিজোড় সংখ্যক ক্রমিক সংখ্যার গড় সর্বদা মধ্যম সংখ্যা)।
সুতরাং, পরবর্তী পাঁচটি সংখ্যার যোগফল = 115 + 116 + 117 + 118 + 119 = 585

I = pnr
= (১৪০০ × ৪ × ৭.৫)/১০০
= ৪২০

(x-4)² = 0
বা, x² -8x+16 = 0
x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2 হওয়ায় সমীকরণের মূল দুইটি।

প্রশ্ন: 5^x + 5^x + 5^x + 5^x + 5^x এর মান কত?

সমাধান:
5^x + 5^x + 5^x + 5^x + 5^x
= 5^x(1 + 1 + 1 + 1 + 1)
= 5^x . 5
= 5^x . 5¹
= 5^{x + 1}

ধরি,
ত্রিভুজের কোণত্রয় x, 2x ও 3x
∴ x + 2x + 3x = 180°
বা, x = 30°
∴ কোণত্রয় 30°, 60° ও 90°এখন,
Sin30° = AB/6
বা, 1/2 = AB/6
∴ AB = 3

প্রশ্ন: sec(2π + x) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, sec(2π + x)

আমরা জানি, 2π = 360° একটি সম্পূর্ণ চক্র

এখানে,
sec(2π + x)
= sec(360° + x) [যার অবস্থান প্রথম চতুর্ভাগে]
= secx

প্রশ্ন: যদি x^2/3 - 1 = 15 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x^2/3 - 1 = 15
⇒ x^2/3 = 16
⇒ x = 16^3/2 [উভয় পাশে 3/2 ঘাত নিয়ে, কারণ (x^2/3)^3/2 = x ]
⇒ x = (√16​)³ 
⇒ x = (4)³
⇒ x = 64

প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় |2x - 5| < 3 অসমতাটির সমাধান বের করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
|2x - 5| < 3
⇒ - 3 < 2x - 5 < 3
⇒ - 3 + 5 < 2x - 5 + 5 < 3 + 5
⇒ 2 < 2x < 8
⇒ 1 < x < 4

প্রশ্ন: যদি x > 0, y > 0 এবং log(x²/y) + log(y²/x) = log(x + y) হয়, তবে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log(x²/y) + log(y²/x) = log(x + y)
⇒ log{(x²/y) × (y²/x)} = log(x + y)  [লগের যোগফলের সূত্র অনুযায়ী]
⇒ log(xy) = log(x + y) 
⇒ xy = x + y [উভয় পক্ষ থেকে log বর্জন করে]

প্রশ্ন: 36m² + 64n² রাশিটির সাথে কোনটি যোগ করলে এটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান:
36m² + 64n²
⇒ (6m)² + 2 . 6m . 8n + (8n)2 
⇒ 36m² + 96mn + 64n²

∴ 36m² + 64n² রাশিটি সাথে 96mn যোগ করলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।

প্রশ্ন: একটি কোণকের উচ্চতা 12 সে.মি. এবং আয়তন 100π ঘন সে.মি. হলে, হেলানো তলের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
ধরি,
ব্যাসার্ধ = r

দেওয়া আছে,
কোণকের উচ্চতা, h = 12  সে.মি.
কোণকের আয়তন, v = 100π ঘন সে.মি.

প্রশ্নমতে, 
কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h
বা, 100π = (1/3)πr² × 12
বা, 100π = (1/3)πr² × 12
বা, 100π = 4πr²
বা, 4πr² = 100π
বা, r² = 100π/4π
⇒ r² = 25
⇒ r² = 5²
∴ r = 5

আমরা জানি,
হেলানো তলের দৈর্ঘ্য = √{(12)² + (5)²}
= √(144 + 25)
= √169
= 13 সে.মি.। 

প্রশ্ন: যদি 2^{a - 1} + 2^{a + 1} = 320 হয়, তবে a এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2^{a - 1} + 2^{a + 1} = 320
⇒ 2^{a - 1} [1 + 2^{{a + 1 - (a - 1)}}] = 320
⇒ 2^{a - 1} (1 + 2²) = 320
⇒ 2^{a - 1} × 5 = 320
⇒ 2^{a - 1} = 320/5
⇒ 2^{a - 1} = 64
⇒ 2^{a - 1} = 2⁶
⇒ a - 1 = 6
⇒ a = 6 + 1
∴ a = 7