গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: ১২ জন লোক একটি কাজের অর্ধেক অংশ ৭ দিনে করতে পারে। ঐ কাজটি ৪ জন লোক কতদিনে করতে পারবে?

সমাধান:
১২ জন লোক অর্ধেক কাজ করতে পারে = ৭ দিনে 
∴ ১২ জন লোক সম্পূর্ণ কাজ করতে পারে = ৭ × ২ = ১৪ দিনে 

এখন,
১২ জন লোক কাজটি করতে পারে = ১৪ দিনে 
∴ ১ জন লোক কাজটি করতে পারে = (১৪ × ১২) দিনে 
∴ ৪ জন লোক কাজটি করতে পারে = (১৪ × ১২)/৪ = ৪২ দিনে 

প্রশ্ন: 16 টি বিন্দু দিয়ে কতটি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি ত্রিভুজ গঠন করতে 3 টি বিন্দু প্রয়োজন হয়।
তাহলে,
16 টি বিন্দু দিয়ে গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা,
= ¹⁶C₃
= 16!/{3! × (16 - 3)!}
= 16!/(3! × 13!)
= (16 × 15 × 14 × 13!)/(3 × 2 × 1 × 13!)
= (16 × 15 × 14)/(3 × 2 × 1)
= 560

২০১২ সাল অধিবর্ষ, তাই ফেব্রুয়ারি মাস ২৯ দিনে।
প্রতিদিনের বেতন = ৩০,০০০/২৯ টাকা।
= ১০৩৪.৪৮ টাকা
তিনি ঐ মাসে বেতন পাবেন (২৯-৬)×১০৩৪.৪৮ টাকা
= ২৩৭৯৩.০৪ টাকা
≈ ২৩৭৯৩.১০ টাকা

৭, ৫, ৯, ৩ সংখ্যা গুলোর ল.সা.গু = ৩১৫
সুতরাং সংখ্যাগুলো = ৩/৭ × ৩১৫
= ৩ × ৪৫
= ১৩৫
আবার,
২/৫ × ৩১৫ = ২ × ৬৩
= ১২৬
আবার, ৪/৯ × ৩১৫ = ৪ × ৩৫
= ১৪০ এবং ২/৩ × ৩১৫
= ২ × ১০৫
= ২১০
সুতরাং সবচেয়ে বড় ভগ্নাংশটি হচ্ছে = ২/৩।

14(x+z)² - 29 (x+z) (x+1) - 15 (x+1)²

ধরি,
x+z = a
x+1 = b

প্রদত্ত রাশি,
14a² - 29ab - 15b²
= 14a² + 6ab - 35ab - 15b²
= 2a( 7a + 3b) - 5b(7a + 3b)
= (7a + 3b) (2a - 5b)
= (10x + 7z + 3) (2z - 3x - 5) [a ও b এর মান বসিয়ে]

প্রশ্ন: ΔABC সমবাহু ত্রিভুজের একটি মধ্যমা AD এবং G ভরকেন্দ্র। GD = ৫ সেমি হলে AD = ?

সমাধান:
​
আমরা জানি,
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র (G) মধ্যমাকে (AD) ২ : ১ অনুপাতে বিভক্ত করে।
অর্থাৎ, AG : GD = ২ : ১
দেওয়া আছে, GD = ৫ সেমি।

প্রশ্নমতে,
​ AG : GD = ২ : ১
​ ⇒ AG/৫ = ২/১
​ ⇒ AG = ৫ × ২ 
​∴ AG = ১০

এখন, মধ্যমা AD = AG + GD
= ১০ সেমি + ৫ সেমি
= ১৫ সেমি

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার ১৪০% হলে, সংখ্যা দুটির অনুপাত নির্ণয় করুন।

সমাধান:
মনে করি,
একটি সংখ্যা P
∴ অপর একটি সংখ্যা = P × ১৪০%
= P × ১৪০/১০০
= ৭P/৫

∴ সংখ্যা দুটির অনুপাত = P : ৭P/৫
= ৫P : ৭P
= ৫ : ৭

প্রশ্ন: সেন্টিমিটার এককে একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য ৭ ও ১৬ হলে নিচের কোনটি ত্রিভুজটির তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য হতে পারে না?

সমাধান:
আমরা জানি,
যে কোনো ত্রিভুজে, দুটি বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় হতে হবে এবং দুটি বাহুর ব্যবধান তৃতীয় বাহুর চেয়ে ছোট হতে হবে।
অর্থাৎ, তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য হতে পারে ৯ এর বেশি এবং ২৩ এর কম।

ক) ২২ (সম্ভব, কারণ ৯ < ২২ < ২৩)
খ) ১৭ (সম্ভব, কারণ ৯ < ১৭ < ২৩)
গ) ৯ (অসম্ভব, কারণ ৯ এর বেশি হতে হবে)
ঘ) ১২ (সম্ভব, কারণ ৯ < ১২ < ২৩)

প্রশ্ন: ৩৬০ সংখ্যাটির কতগুলো ভাজক আছে?

সমাধান:
৩৬০-কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
৩৬০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫
= ২^৩ × ৩^২ × ৫^১

কোনো সংখ্যার ভাজক সংখ্যা বের করার জন্য, তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাতের সাথে ১ যোগ করে গুণ করতে হয়।

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (৩ + ১)(২ + ১)(১ + ১)
= ৪ × ৩ × ২
= ২৪

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের ল.সা.গু. ৩০০ হলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৫ক এবং ৬ক।
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. = (৫ × ৬) × ক = ৩০ক

প্রশ্নমতে,
৩০ক = ৩০০
⇒ ক = ১০

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৬ক = ৬ × ১০ = ৬০

প্রশ্ন: যদি A = π/2 এবং B = π/6 হয়, তবে sin(A + B) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = π/2 এবং B = π/6
∴ sin(A + B)
= sin{(π/2) + (π/6)}
= sin{(3π + π)/6}
= sin(4π/6)
= sin(2π/3)
= sin120° [π = 180°]
= sin(90° + 30°)
= cos30°
= √3/2

মোট কার্ড সংখ্যা = ৫২ টি, রাজা = ৪টি, রানী = ৪টি, টেক্কা = ৪টি
∴ কার্ডটি রাজা বা রানী বা টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = (৪ + ৪ + ৪) / ৫২
= ১২/৫২
= ৩/১৩

প্রশ্ন: একটি সোনার গয়নার ওজন ১৪০ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ২। এতে কী পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৭ : ৪ হবে?

সমাধান:

দেওয়া আছে, 
গয়নার ওজন = ১৪০ গ্রাম

 সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ২
অনুপাতের যোগফল = ৩ + ২ = ৫
 
∴ সোনার পরিমাণ = (১৪০ × ৩)/৫ = ৮৪ গ্রাম 
∴ তামার পরিমাণ = (১৪০ × ২)/৫ = ৫৬ গ্রাম 

ধরি, 
সোনা মেশাতে হবে = ক গ্রাম 

প্রশ্নমতে, 
(৮৪ + ক) : ৫৬ = ৭ : ৪ 
বা, (৮৪ + ক)/৫৬ = ৭/৪
বা, ৩৩৬ + ৪ক = ৩৯২
বা, ৪ক = ৩৯২ - ৩৩৬
বা, ৪ক = ৫৬
বা, ক = ৫৬/৪
∴ ক = ১৪

∴ সোনা মেশাতে হবে = ১৪ গ্রাম।

প্রশ্ন: রহিম ৮০ টাকায় একটি বই বিক্রয় করায় কিছু টাকা ক্ষতি হয়। যদি সে বইটি ১৮৫ টাকায় বিক্রয় করতো তাহলে তাঁর পূর্বের ক্ষতির দ্বিগুণ লাভ হতো। বইটির ক্রয়মূল্য কত টাকা?

সমাধান:
ধরি, বইটির ক্রয়মূল্য = ক টাকা

৮০ টাকায় বিক্রয়ে ক্ষতি = ক - ৮০ টাকা
এবং ১৮৫ টাকায় বিক্রয়ে লাভ = ১৮৫ - ক টাকা

প্রশ্নমতে,
২(ক - ৮০) = ১৮৫ - ক
⇒ ২ক - ১৬০ = ১৮৫ - ক
⇒ ২ক + ক = ১৮৫ + ১৬০
⇒ ৩ক = ৩৪৫
∴ ক = ১১৫

অতএব, বইটির ক্রয়মূল্য ১১৫ টাকা।

এক প্যাকেট তাসে ৫২ টি তাস থাকে এবং এর মধ্যা রাজা থাকে ৪ টি।
সুতরাং ১ টি তাস নিলে সেটা রাজা হওয়ার সম্ভাব্যতা ৪/৫২ বা ১/১৩।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্বের অনুপাত 3 : 4 হলে, অতিভুজের সাথে ভূমির অনুপাত কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি (a), লম্ব (b) এবং অতিভুজ (c)
∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই,  a² + b² = c²
দেওয়া আছে,
ভূমি ও লম্বের অনুপাত 3 : 4।

ধরি,
ভূমি, a = 3x এবং লম্ব, b = 4x।
∴ c² = (3x)² + (4x)²
⇒ c² = 9x² + 16x²
⇒ c² = 25x²
⇒ c = √(25x²)
∴ c = 5x
সুতরাং, অতিভুজের দৈর্ঘ্য 5x।
∴ অতিভুজ ও ভূমির অনুপাত = অতিভুজ : ভূমি = 5x : 3x = 5 : 3

সুতরাং, অতিভুজের সাথে ভূমির অনুপাত 5 : 3

প্রশ্ন: 0.5 + 0.05 + 0.005 +.......... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.5 = 5/10 = 1/2
সাধারণ অনুপাত, r = 0.05/0.5 = 1/10 
যেহেতু, r = 1/10 < 1, সুতরাং ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান।

∴ অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= (1/2)/{1 - (1/10)}
 = (1/2)/(9/10)
= (1/2) × (10/9)
= 5/9

প্রশ্ন: ৮/১৫, ১২/২৫ ও ১৬/৩৫ এর গ.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি, ভগ্নাংশের গ.সা.গু = (লব গুলোর গ.সা.গু)/(হর গুলোর ল.সা.গু)

লব ৮, ১২ ও ১৬ এর গ.সা.গু নির্ণয়:
৮ = ২^৩
১২ = ২^২ × ৩
১৬ = ২^৪
∴ গ.সা.গু = ২^২ = ৪

হর ১৫, ২৫ ও ৩৫ এর ল.সা.গু নির্ণয়:
১৫ = ৩ × ৫
২৫ = ৫^২
৩৫ = ৫ × ৭
∴ ল.সা.গু = ৩ × ৫^২ × ৭ = ৫২৫

∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু = ৪/৫২৫

প্রশ্ন: ৭৫ থকে ১২০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কতটি?

সমাধান:
৭৫ থকে ১২০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭, ১০১, ১০৩, ১০৭, ১০৯, ১১৩ ।

অর্থাৎ,  ৭৫ থেকে ১২০ এর মধ্যে মোট ৯টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে।

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (½)×a×b×sinθ
= (½)×20×20×sin45°
= 10x20x(1/√2)
= 200/√2
= (2x100)/√2
= 100√2

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৫ এবং তাদের ল.সা.গু. ১৬০ হলে ক্ষুদ্রতর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৫

মনেকরি
একটি সংখ্যা = ৪ক
অপর সংখ্যা = ৫ক
৪ক ও ৫ক এর ল.সা.গু. = ২০ক

প্রশ্নমতে
২০ক = ১৬০
বা, ক = ১৬০/২০
ক = ৮

ক্ষুদ্রতর সংখ্যাটি = ৪ × ৮ = ৩২ 

x - {x - (x + 1)}
= x - {x - x - 1}
= x + 1

প্রশ্ন: x - 1/x = √2 হলে x³ - 1/x³ এর মান কত?

সমাধান:
x³ - 1/x³
= (x - 1/x)³ + 3. x. 1/x (x - 1/x)
= (√2)³ + 3. √2
= 2√2 + 3√2
= 5√2

সংখ্যাটি = (৫৭০+৭৫০)/২ = ৬৬০

সংখ্যা ২টি ৩x, ৮x
∴ (৩x + ২)/(৮x + ২) = ২/৫
বা, ১৬x + ৪ = ১৫x + ১০
বা, ১৬x - ১৫x = ১০ - ৪
∴ x = ৬
∴ বড় সংখ্যাটি = ৮x
= ৮ × ৬
= ৪৮

২০ এর ২০%
= ২০ × ২০/১০০
= ৪

প্রশ্ন: ৬০° এর সম্পূরক কোণের ১/৪ অংশ এবং এর পূরক কোণের পার্থক্য কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
কোণ = ৬০° 
∴ পূরক কোণ = ৯০° - ৬০° = ৩০° 

আবার, 
সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৬০° = ১২০°
∴ সম্পূরক কোণের ১/৪ = ৩০°

∴ পার্থক্য = ৩০° - ৩০°
= ০° ।

প্রশ্ন: যদি x = 997, y = 998 এবং z = 999 হয়, তাহলে x² + y² + z² - xy - yz - zx = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x = 997, y = 998 এবং z = 999

প্রদত্ত রাশি, 
x² + y² + z² - xy - yz - zx
= (1/2)[2x² + 2y² + 2z² - 2xy - 2yz - 2zx]
= (1/2)[(x - y)² + (y - z)² + (z - x)²]
= (1/2)[(997 - 998)² + (998 - 999)² + (999 - 997)²]
= (1/2)[(- 1)² + (- 1)² + (2)²]
= (1/2)[1 + 1 + 4]
= (1/2) × 6
= 3

প্রশ্ন: যদি a = x² + z² , b = y² + z² , c = x² + y² হয়, তবে  a + b - c এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = x² + z²
b = y² + z²
c = x² + y²

∴ a + b - c = x² + z² + y² + z² - (x² + y²)
= x² + z² + y² + z² - x² - y²
= 2z²

ABCDEF এর মোট কোণ = 180°(N - 2) = 180°(6 - 2) = 720°
∴ প্রতিটি কোণ =  720°/6 = 120°। AD দ্বরা ∠D দ্বিখন্ডিত হয়েছে।
∴ ∠ADC = 120°/2 = 60°