গাণিতিক যুক্তি

xy(x² + y²) = 1/8 × 4xy × 2(x² + y²)
= 1/8 × {(x + y)² - (x - y)²}{(x + y)² + (x - y)²}
= 1/8 × (4² - 2²)(4² + 2²)
= 1/8 × (16 - 4)(16 + 4)
= 1/8 × 12 × 20
= 30

মনে করি, মূলদ্বয় α ও -α
আমরা জানি, মূলদ্বয় এর যোগফল = -b/a
⇒ α - α = -k/1
∴ k = 0

প্রশ্ন: ৩৫° কোণের পূরক কোণ কোনটি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুইটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে, তাদের পূরক কোণ বলে। 
∴ পূরক কোণ = (৯০ - ৩৫)° 
= ৫৫° । 

প্রশ্ন: যদি a + b = c হয়, তাহলে a³ + b³ + 3abc = কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + b = c

প্রদত্ত রাশি = a³ + b³ + 3abc
= (a + b)³ - 3ab(a + b) + 3abc
= (c)³ - 3ab . (c) + 3abc
= c³ - 3abc + 3abc
= c³

দেওয়া আছে, x^1/6 = √2
বা, x^1/6 = 2^1/2
বা, x^{1/6 × 6} = 2^{1/2 × 6}
বা, x = 2³
বা, x = 8

ধরি, কোন গুলোর অনুপাত x : x : 2x
x + x + 2x = 180
x = 45
তাহলে, কোনগুলো হল, ৪৫. ৪৫ ৯০। ইহা একটি সমদ্বিবাহু সমকোনী ত্রিভুজ।
দুটি কোন সমান হলে দুটি বাহুও সমান হবে।

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৫০০ জন ছাত্র-ছাত্রী আছে যার মধ্যে ৪০% ছাত্র, সেই ক্লাসে ছাত্রীর সংখ্যা কত হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
মোট ছাত্র-ছাত্রী = ৫০০ জন 

∴ ক্লাসে ছাত্র সংখ্যা = ৫০০ এর ৪০% 
= ৫০০ এর ৪০/১০০ 
= ২০০ জন

∴ ক্লাসে ছাত্রীর সংখ্যা = (৫০০ - ২০০) জন
= ৩০০ জন।

x + 1/x = 2
x²+1 = 2x
(x-1)² = 0
x = 1
∴ x/(x²+x-1)
= 1/(1²+1-1)
= 1

১৫, ২৭, ৪৫ এর ল.সা.গু. = ১৩৫
∴ লঘিষ্ট সংখ্যাটি = ১৩৫ - ৫
= ১৩০

প্রশ্ন: যদি 2cos² θ - 1 = 0 এবং 0° < θ < 90° হয়, তাহলে θ এর মান কত?

সমাধান:
2cos²θ - 1 = 0
⇒ 2cos²θ = 1
⇒ cos²θ = 1/2
⇒ cosθ = √(1/2)
⇒ cosθ = 1/√2
⇒ cosθ = cos 45°
⇒ θ = 45° 

প্রশ্ন: যদি x + (1/x) = 4 হয়, তবে {x² - (1/x²)}² এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + 1/x = 4

আমরা জানি,
(x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4 . x . (1/x)
= 4² - 4 = 16 - 4 = 12
∴ x - (1/x) = √12

প্রদত্ত রাশি, 
x² - (1/x²)²
= [{x + (1/x)}{x - (1/x)}]²
= (4 × √12)²
= 16 × 12
= 192

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৯৯৯ থেকে যত ছোট, ৭৭৭ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা = ক

প্রশ্নমতে,
৯৯৯ - ক = ক - ৭৭৭
⇒ ৯৯৯ + ৭৭৭ = ক + ক
⇒ ১৭৭৬ = ২ক
⇒ ক = ১৭৭৬/২
∴ ক = ৮৮৮

অতএব, সংখ্যাটি = ৮৮৮

প্রশ্ন: 180° < ∠A < 360° হলে, ∠A কোন ধরনের কোণ?

সমাধান:


১৮০° অপেক্ষা বড় এবং ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
অতএব, ∠A একটি প্রবৃদ্ধ কোণ।

উল্লেখ্য-
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- যে কোণের পরিমাপ ৩৬০০ (চার সমকোণ) এর সমান, তাকে পূর্ণকোণ (Complete Angle) বলে।
- সমতলস্থ দুইটি সরলরেখা যদি পরস্পরকে কোথাও ছেদ না করে, তবে তাদেরকে পরস্পর সমান্তরাল রেখা বলে।
- সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব সব সময় সমান থাকে।

৪০% কমে যাওয়ার পেট্রোলের পূর্ব মূল্য ১০০ টাকা
হলে বর্তমান মূল্য = (১০০-৪০) টাকা = ৬০ টাকা
প্রশ্নমতে,
বর্তমানে ৫ লিটার পেট্রোলের দাম ৪০ টাকা
বর্তমানে ১ লিটার পেট্রোলের দাম ৪০/৫ = ৮ টাকা
আবার,
বর্তমান মূল্য ৬০ টাকা হলে পূর্বমূল্য ১০০ টাকা
বর্তমান মূল্য ১ টাকা হলে পূর্বমূল্য ১০০/৬০ টাকা
বর্তমান মূল্য ৮ টাকা হলে পূর্বমূল্য ১০০×৮/৬০ টাকা
=১৩.৩৩ টাকা

প্রশ্ন: রহিমের মাসিক আয় করিমের মাসিক আয়ের ২৫% কম এবং জামালের আয়ের ৩/৫ অংশ। করিমের মাসিক আয় ৮০০০ টাকা হলে তিনজনের মোট মাসিক আয় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
করিমের মাসিক আয় = ৮০০০ টাকা
রহিমের আয় = করিমের আয়ের ২৫% কম
= ৮০০০ - (২৫% × ৮০০০)
= ৮০০০ - (২৫/১০০) × ৮০০০
= ৮০০০ - ২০০০
= ৬০০০ টাকা

∴ রহিমের আয় = জামালের আয়ের ৩/৫ অংশ
অর্থাৎ, রহিমের আয় = (৩/৫) × জামালের আয়
⇒ ৬০০০ = (৩/৫) × জামালের আয়
⇒ জামালের আয় = ৬০০০ × (৫/৩)
⇒ জামালের আয় = ২০০০ × ৫
∴ জামালের আয় = ১০০০০ টাকা

∴ তিনজনের মোট মাসিক আয় = রহিম + করিম + জামাল
= ৬০০০ + ৮০০০ + ১০০০০
= ২৪০০০ টাকা

সুতরাং, তিনজনের মোট মাসিক আয় ২৪০০০ টাকা।

x³ - 1/x³
= (x - 1/x)³ + 3.x.1/x (x - 1/x)
= 1³ + 3.1
= 4

log_(3√2)324 = x
বা, x = log_(3√2)(3√2)⁴ = 4 log_(3√2)3√2
= 4.1
= 4

6a² - a - 15
= 6a² - 10a + 9a - 15
= 2a(3a - 5) + 3(3a - 5)
= (3a - 5)(2a + 3)

1/y - 1/x = 3
বা, (x - y)/xy = 3
∴ xy/(x - y) = 1/3

A = {x:x, 6 গুণনীয়য়ক গুলো}
= {1, 2, 3, 6}
B = {x:x, 8 গুণনীয়য়ক গুলো}
= {1, 2, 4, 8}
∴A∪B ={1, 2, 3, 4, 6, 8}

০.০৫ এর ৩%
= ০.০৫ × ৩/১০০
= ০.০০১৫

এখন,
০.১৫% = ০.১৫/১০০
          = ০.০০১৫

প্রশ্ন: 12 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 20 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পিরামিডের আয়তন = (1/3) × (ভূমির ক্ষেত্রফল) × উচ্চতা
এখানে,
ভূমির ক্ষেত্রফল = 12 × 12 = 144 বর্গ সেমি
উচ্চতা = 20 সেমি

সুতরাং, পিরামিডের আয়তন = (1/3) × 144 × 20
= 48 × 20
= 960 ঘন সেমি

∴ পিরামিডটির আয়তন 960 ঘন সেমি।

পূর্ণবর্গ সংখ্যার একক স্থানে ০, ১, ৪, ৫, ৬ বা ৯ বসতে পারে।
যেমন - ১, ৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১, ১০০, ১২১, ১৪৪, ১৬৯, ১৯৬, ২২৫, ২৫৬ ইত্যাদি।
পূর্ণ বর্গ সংখ্যার একক স্থানে কখনোই ২, ৩, ৭ বা ৮ বসতে পারবে না।
কিন্তু যে সংখ্যাগুলো বর্গ সংখ্যা নয় তাদের একক স্থানে ২, ৩, ৭ বা ৮ অবশ্যই বসবে।

প্রশ্ন: tanθ = 5/12 হলে, secθ - cosθ এর মান কত?

সমাধান:
tanθ = 5/12
∴ লম্ব/ভূমি = 5/12
∴ অতিভুজ = √{(12)² + (5)²} = 13

প্রদত্ত রাশি = secθ - cosθ
= (13/12) - (12/13)
= (169 - 144)/156
= 25/156

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ২০% সরল সুদে ৭০০ টাকা এবং ১০% সরল সুদে ৫০০ টাকা বিনিয়োগ করলে দুই বছর পর তিনি কত টাকা সুদ পাবেন?  

সমাধান:
এখানে,
I₁ = p₁n₁r₁
= (৭০০ × ২ × ২০)/১০০ 
= ২৮০ টাকা 

আবার,
I₂ = p₂n₂r₂
= (৫০০ × ২ × ১০)/১০০ 
= ১০০ টাকা

∴ মোট সুদ = (২৮০ + ১০০) টাকা
= ৩৮০ টাকা

প্রশ্ন: দুটি ভগ্নাংশের গুণফল ২৪/৩৫। এদের একটি ৮/৫ হলে অপর ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
দুটি ভগ্নাংশের গুণফল = ২৪/৩৫
একটি ভগ্নাংশ = ৮/৫

∴ অপর ভগ্নাংশ = ভগ্নাংশ দুটির গুণফল ÷ একটি ভগ্নাংশ
= (২৪/৩৫) ÷ (৮/৫)
= (২৪/৩৫) × (৫/৮)
= ৩/৭

ধরি সংখ্যাটি ক
শর্তমতে, ৩ক + ২ক = ৯০
বা, ৫ক = ৯০
∴ ক = ১৮

যে ভগ্নাংশের লব অপেক্ষা হর বড় তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
অর্থাৎ প্রকৃত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, লব < হর
যেমন: ৩/৪, ৭/১৮
সুতরাং, প্রকৃত ভগ্নাংশ < ১

এবং, যে ভগ্নাংশের লব অপেক্ষা হর ছোট তাকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
অর্থাৎ অপ্রকৃত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, লব > হর
যেমন: ৪/৩, ১৮/৭
সুতরাং, অপ্রকৃত ভগ্নাংশ > ১

প্রশ্ন: ১০টি বানর ১ মিনিটে ১০টি কলা খেতে পারে। ৫০টি বানরের ৫০টি কলা খেতে কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
১০টি বানর ১০টি কলা খেতে পারে ১ মিনিটে
১টি বানর ১টি কলা খেতে পারে (১ × ১০)/১০ মিনিটে
৫০টি বানর ৫০টি কলা খেতে পারে (১ × ১০ × ৫০)/(১০ × ৫০) মিনিটে
= ১ মিনিটে

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণ ১৪ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান: 
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ, d = ১৪ মিটার

আমরা জানি, 
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের, d = a√২
a√২ = ১৪ 
⇒ a = ১৪/√২ 
⇒ a = (৭ × √২ × √২)/√২ 
∴ a = ৭√২ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a^২ = (৭√২)^২ = ৪৯ × ২ = ৯৮ বর্গমিটার

সুতরাং, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৯৮ বর্গমিটার

দেওয়া আছে, x + y = 3
এখন, x³ + y³ + 9xy
= (x + y)³ - 3xy(x + y) + 9xy
= 3³ - (3xy × 3) + 9xy
= 27 - 9xy + 9xy
= 27

তামাঃদস্তা = ১ঃ২
= ৩ঃ৬ [ উভয় রাশিকে ৩ দিয়ে গুন করে ]
দস্তাঃরুপা = ৩ঃ৫
= ৬ঃ১০ [ উভয় রাশিকে ২ দিয়ে গুন করে ]
∴ তামাঃদস্তাঃরুপা = ৩ঃ৬ঃ১০
অনুপাতের যোগফল = ১৯ 
তাই অনুপাতে রুপা আছে ১০ গ্রাম।

একজনকে সর্বদা বিদ্যমান রেখে ১১ সদস্যের দল গঠনের উপায়,
= ^{(১৫ - ১)}c_{(১১ - ১)}
= ^১৪c_১০
= ১০০১

প্রশ্ন: p² - 1 - q(q - 2) এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি,
p² - 1 - q(q - 2)
= p² - 1 - q² + 2q
= p² - (q² - 2q + 1)
= p² - (q - 1)²
= (p - q + 1)(p + q - 1)

প্রশ্ন: যদি 2401 × (7 ^{- 2x}) = 1 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
এখানে, 
2401 (7^-2x) = 1 
⇒ 7^-2x = 1/2401
⇒ 7^-2x = 1/7⁴
⇒ 7^-2x = 7^-4
⇒ -2x = -4
∴ x = 2

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x সে.মি. এবং প্রস্থ (x - 3) সে.মি.। ক্ষেত্রফল 54 বর্গ সে.মি. হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দৈর্ঘ্য = x সে.মি.
প্রস্থ = (x - 3) সে.মি.

প্রশ্নমতে,
x(x - 3) = 54
⇒ x² - 3x - 54 = 0
⇒ x² - 9x + 6x - 54 = 0
⇒ x(x - 9) + 6(x - 9) = 0
⇒ (x - 9)(x + 6) = 0

অর্থাৎ, x - 9 = 0
∴ x = 9 (কারণ দৈর্ঘ্য ধনাত্মক)

∴ দৈর্ঘ্য, x এর মান = 9 সে.মি.

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৩৬ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৩৬ মিটার
∴ সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩৬/৩ মিটার = ১২ মিটার

∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =(√৩/৪) × (বাহু)২ বর্গমিটার
∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =(√৩/৪) × ১২২ বর্গমিটার
= (√৩/৪) × ১৪৪ বর্গমিটার
= ৩৬√৩ বর্গমিটার

প্রশ্ন: ১০৮০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
১০৮০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৫
= ২^৩ × ৩^৩ × ৫^১

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রত্যেক মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে।
এখানে ২ এর ঘাত ৩ (বিজোড়), ৩ এর ঘাত ৩ (বিজোড়) এবং ৫ এর ঘাত ১ (বিজোড়)।

তাই ২ × ৩ × ৫ দ্বারা আরও গুণ করতে হবে।
অর্থাৎ, ১০৮০ × ৩০ পূর্ণবর্গ হবে।
∴ সংখ্যাটি ৩০ দ্বারা গুণ করতে হবে।

ত্রিভুজের পরিসীমা = (১৩ + ১৪ + ১৫)/২ = ২১ মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = √{২১(২১ - ১৩)(২১ - ১৪)(২১ - ১৫)} = ৮৪ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি মুদ্রাকে দুইবার নিক্ষেপ করলে উভয়ক্ষেত্রে টেল পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
মোট সম্ভাব্য ফলাফল = 4 টি
যথা, HH, HT, TH, TT
একটি মুদ্রাকে দুইবার নিক্ষেপ করলে প্রথম বার টেল আসার সম্ভাবনা = 1/2
দ্বিতীয়বার টেল আসার সম্ভাবনা = 1/2

∴ উভয়ক্ষেত্রে টেল পাওয়ার সম্ভাবনা = (1/2) × (1/2)
= 1/4
= 0.25

আমরা জানি,
কোন গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত q হলে n তম পদ = aq^n-1
সুতরাং, দ্বিতীয় পদ = aq^2-1 = aq = - 48
∴ a = - 48/q ......... (i)

আবার পঞ্চম পদ = aq^5-1 = aq⁴ = (-48/q)q⁴ [(i) এর মান বসিয়ে]
= - 48q³

প্রশ্নমতে,
- 48q³ = 3/4
বা, q³ = -3/192
বা, q³ = -1/64
বা, q³ = (-1/4)³
∴ q = -1/4
অর্থাৎ, সাধারণ অনুপাত = -1/4.