গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: যদি a + 2b = 12 এবং ab = 9 হয়, তাহলে এর মান কত? 

সমাধান: 

প্রশ্ন: 3 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 3 সে.মি.
ব্যাস = 2 × 3 সে.মি. = 6 সে.মি.

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহু = a 
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = a√2

আমরা জানি,
বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস
⇒ a√2 = 6
⇒ a = 6/√2

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a² 
= (6/√2)² 
= 36/2 
= 18 বর্গ সে.মি. 

3/x = 1 এবং y/4 = 3
∴ x = 3 এবং y = 12
∴ (3+y)/(x+2) = (3+12)/(3+2)
= 15/5
= 3

ধরি, সংখ্যাটি ক
শর্তমতে, ক এর ২০% + ২৪ = ক
২০ক/১০০ + ২৪ =ক
ক - ২০ক/১০০ = ২৪
(১০০ক - ২০ক)/১০০ = ২৪
৮০ক = ২৪ × ১০০ = ২৪০০
ক = ৩০
অর্থাৎ, উক্ত সংখ্যাটি ৩০

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা সংখ্যা কয়টি?
​
​​সমাধান:
​একটি মুদ্রা ফলাফল ২টি (H বা T)

একটি ছক্কা ফলাফল ৬টি (1, 2, 3, 4, 5, 6)
​
∴ ​মোট ঘটনা সংখ্যা = মুদ্রা × ছক্কা = 2 × 6 = 12

প্রশ্ন: পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৪০ বছর। আবার পিতা ও পুত্রের গড় ৩৭ বছর। মাতার বয়স কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
পিতা, মাতা ও পুত্র তিনজনের গড় বয়স ৪০ বছর
∴ তিনজনের মোট বয়স = ৩ × ৪০ = ১২০ বছর ……(১)

আবার, 
পিতা + পুত্র দুজনের গড় বয়স ৩৭ বছর
∴ দুইজনের মোট বয়স = ২ × ৩৭ = ৭৪ বছর ……(২)

এখন (১) থেকে (২) বিয়োগ করলে শুধু মাতার বয়স পাওয়া যাবে। 
∴ মাতার বয়স = ১২০ - ৭৪ = ৪৬ বছর

x² - y² + 2y - 1 = x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y-1)²
= (x+y-1) (x-y+1)

প্রশ্ন: নিচের প্রতিটি গুচ্ছে তিনটি করে সরলরেখার দৈর্ঘ্য দেয়া আছে। কোন গুচ্ছের সরলরেখাগুলোকে দিয়ে ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর যোগফল তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

এখানে,
৩ + ৮ = ১১ > ৮
৭ + ৬ = ১৩ > ১১
১৩ + ৮ = ২১ > ২০

কিন্তু, ১১ + ১৩ = ২৪ < ২৫

∴ ১১, ১৩, ২৫ দৈর্ঘ্যের সরলরেখাগুলো দ্বারা ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়।

27/-3 = -9;
-9/-3 = 3;
3/-3 = -1
∴ -1/-3 = 1/3

x√0.04 = 2
বা, x²(0.04) = 4 [বর্গ করে]
বা, 4x² = 400 [100 দ্বারা গুণ করে]
বা, x² = 100
∴ x = 10

প্রশ্ন: ১৭ সে.মি., ১৫ সে.মি. এবং ৮ সে.মি. দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট ত্রিভুজটি হবে—

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে,
a = ১৭ সে.মি., b = ১৫ সে.মি. এবং c = ৮ সে.মি.

সবচেয়ে বড় বাহু = ১৭ সে.মি.  
অন্য দুই বাহুর যোগফল = ১৫ + ৮ = ২৩ সে.মি.
∴ ২৩ > ১৭ ⇒ ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।

এখন ত্রিভুজের প্রকৃতি নির্ণয় করি,
১৭^২ = ২৮৯  
এবং
১৫^২ + ৮^২ = ২২৫ + ৬৪ = ২৮৯

∴ ১৭^২ = ১৫^২ + ৮^২ 

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, যে ত্রিভুজে সবচেয়ে বড় বাহুর বর্গ = অন্য দুই বাহুর বর্গের যোগফল, সেটি সমকোণী ত্রিভুজ।
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে।  

- দুইটি সরল রেখা পরস্পর ছেদ করলে যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয়, এদের যেকোনো একটিকে তার বিপরীত কোণের বিপ্রতীপ কোণ বলে।
- কোনো কোণের বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মিদ্বয় যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে, বিপ্রতীপ কোণ বলে।
- দুটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে উৎপন্ন বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান হয়।
- তাই 37° কোণের বিপ্রতীপ কোণের পরিমাণ 37° হবে।

প্রশ্ন: 64 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান: 
64 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম
= log₂64
= log₂2⁶
= 6log₂2
= 6 × 1
= 6

প্রশ্ন: ২/৫, ৩/৪, ৫/৭ ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু = (লবগুলোর ল.সা.গু)/(হরগুলোর গ.সা.গু) 
এখানে,
২, ৩, ৫ লবগুলোর ল.সা.গু = ৩০
এবং
৫, ৪, ৭ হরগুলোর গ.সা.গু = ১ 

∴ ২/৫, ৩/৪, ৫/৭ ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু = ৩০/১ 
= ৩০ ।

মনে করি, সমিতির সদস্য সংখ্যা x এবং জনপ্রতি প্রদেয় চাঁদার পরিমাণ q টাকা। তাহলে. মোট চাঁদা, A=qx টাকা
পাঁচজন চাঁদা দিতে অস্বীকৃতি জানানোয় প্রকৃত সদস্য সংখ্যা ছিল (x-5) জন এবং চাঁদা হলো (q+15) টাকা।
তাহলে, মোট চাঁদা হলো (x-5)(q+15)
প্রশ্নানুসারে, qx= (x-5)(q+15)……….(i)
এবং qx=45,000……….(ii)
সমীকরণ (i)থেকে পাই,
qx=(x-5)(q+15)
বা, qx=qx-5q+15x-75
বা, 5q=15x-75=5(3x-15)
∴ q=3x-15………..(iii)
সমীকরণ (ii)এ q এর মান বসিয়ে পাই,
(3x-15)Xx=45000
বা, 3x2-15x=45000
বা,x2-5x=15000 [উভয়পক্ষকে 3 দ্বারা ভাগ করে]
বা,x2-5x-15000=0
বা, x2-125x+120x-15000=0
বা, x(x-125)+120(x-125)=0
বা, (x-125)(x+120)=0
সুতরাং, (x-125)=0 অথবা (x+120)=0
বা x=125 বা, x=-120
যেহেতু সদস্র সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x এর মান -120 গ্রহণযোগ্য নয়।
∴x=125
সুতরাং, সমিতির সদস্য সংখ্যা ১২৫ জন।

প্রশ্ন: K এর কোন মানের জন্য 5x + 4y - 1 = 0 এবং 2x + Ky - 7 = 0 সরলরেখা দুটি সমান্তরাল? 

সমাধান: 
দুটি সরলরেখা সমান্তরাল হওয়ার শর্ত হলো তাদের ঢাল সমান হতে হবে।

দেওয়া আছে, 
প্রথম সরলরেখা, 5x + 4y - 1 = 0
⇒ 4y = - 5x + 1
⇒ y = (- 5/4)x + (1/4)
∴ ঢাল m₁ = - 5/4  ; [y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই] 

আবার, 
দ্বিতীয় সরলরেখা, 2x + ky - 7 = 0
⇒ ky = - 2x + 7 
⇒ y = (- 2/k)x  + 7/k ; (যদি k ≠ 0 হয়)
∴ ঢাল m₂ = - 2/k ; [y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই] 

∴ সমান্তরাল হওয়ার শর্ত, m₁ = m₂
⇒ - 5/4 = - 2/k
⇒ 5/4 = 2/k
⇒ 5k = 8
∴ k = 8/5

সুতরাং, k-এর মান 8/5 হলে দুটি সরলরেখা সমান্তরাল হবে।

প্রশ্ন: 10% হারে 1000 টাকার 4 বছরের সরল মুনাফা এবং চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
আসল, P = 1000 টাকা
মুনাফার হার, r = 10% = 10/100 = 1/10
সময়, n = 4 বছর

আমরা জানি, 
সরল মুনাফা = Prn = 1000 × (1/10) × 4
= 400 টাকা 

আবার, 
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = P(1 + r)ⁿ - P
= 1000(1 + 1/10)⁴ - 1000
= 1000(11/10)⁴ - 1000
= 1000 × (11/10) × (11/10) × (11/10) × (11/10) - 1000
= (14641/10) - 1000
= 1464.1 - 1000
= 464.1 টাকা

∴ পার্থক্য = 464.1 - 400 = 64.1 টাকা

প্রশ্ন: 4log₁₀2 + log₁₀5 =?

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি, 4log₁₀2 + log₁₀5
= log₁₀2⁴ + log₁₀5                [∵ log_aM^r = rlog_aM ]
= log₁₀16 + log₁₀5
= log₁₀(16 × 5)                      [∵ log_a(MN) = log_aM + log_aN]
= log₁₀80

প্রশ্ন: একটি কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ 8 সে.মি. এবং উচ্চতা 15 সে.মি. হলে, এর হেলানো উচ্চতা কত? 

সমাধান: 
কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 8 সে.মি.
কোণকের উচ্চতা, h = 15 সে.মি.
ধরি, হেলানো উচ্চতা, l = ?

আমরা জানি, 
কোণকের হেলানো উচ্চতা, l = √(r² + h²) 
= √(8² + 15²)
= √(64 + 225)
= √(289)
= 17

সুতাং, কোণকের হেলানো উচ্চতা 17 সে.মি.

প্রশ্ন: কোন বিন্দুটি x-অক্ষের উপর অবস্থিত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
x-অক্ষের উপর থাকা কোনো বিন্দুর y-সমন্বয় (y-coordinate) শূন্য হবে। 
অর্থাৎ, বিন্দুটি (x, 0) ফর্মে থাকবে। 

এবার অপশন টেস্ট করে পাই, প্রতিটির y-সমন্বয়: 
ক) (3, 4) → y = 4 (শূন্য নয়) → x-অক্ষের উপর নেই। 
খ) (0, 7) → y = 7 (শূন্য নয়) → x-অক্ষের উপর নেই। 
গ) (5, 0) → y = 0 → x-অক্ষের উপর আছে। 
ঘ) (−2, −3) → y = −3 (শূন্য নয়) → x-অক্ষের উপর নেই। 

সুতরাং, কেবল (5, 0) বিন্দুটিই x-অক্ষের উপর অবস্থিত।

প্রশ্ন: যদি f(x) = 5 - 2x এবং f(3k) = f(k + 1) হয়, তবে f(k) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
f(3k) = f(k + 1) 
এবং f(x) = 5 - 2x

∴ f(3k) = 5 - 2(3k) 
= 5 - 6k

∴ f(k + 1) = 5 - 2(k + 1)
= 5 - 2k - 2
= 3 - 2k

প্রশ্নমতে,
5 - 6k = 3 - 2k
⇒ 6k - 2k = 5 - 3
⇒ 4k = 2
⇒ k = 2/4
⇒ k = 1/2

∴ f(k) = 5 - 2(1/2)
= 5 - 1
= 4

মোট পতাকা ৬ টি,
সাদা ১ টি
সবুজ ২ টি
লাল ৩ টি
এক সঙ্গে ছয়টি পতাকা ব্যবহার করে সংকেত তৈরী করা যাবে ৬!/(১!২!৩!) = ৬০ টি

১২% লাভে,
১১২ টাকা বিক্রয়মূল্য হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
তাহলে, ২৫৭৬ টাকা বিক্রয়মূল্য হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ২৫৭৬)/১১২ টাকা = ২৩০০ টাকা।
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা কম হলে ক্রয়মূল্য হত (২৩০০ - ১০০)টাকা = ২২০০ টাকা।
ক্রয়মূল্য ২২০০ টাকা হলে লাভ (২৫৭৬ - ২২০০) = ৩৭৬ টাকা
প্রশ্নমতে, ২২০০ টাকায় লাভ হয় ৩৭৬ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় (৩৭৬ × ১০০)/২২০০ টাকা = ১৮৮/১১ টাকা।
সুতরাং শতকরা লাভ = ১৮৮/১১

৯৬ এর বর্গ = ৯২১৬
তাহলে সৈন্য সরাতে হবে = (৯২২২ - ৯২১৬) জন
= ৬ জন।