গাণিতিক যুক্তি

(০.১)^২
= (১ / ১০)^২
= ১ / ১০০

প্রশ্ন: কামাল একটি সঞ্চয় স্কিমে ৯ মাসে ৪৫০ টাকা মুনাফা পেল। সরল মুনাফার হার ৬% হলে, কামাল ওই স্কিমে কত টাকা জমা রেখেছিল?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মুনাফা, I = ৪৫০ টাকা
সময়, n = ৯ মাস = ৯/১২ বছর = ৩/৪ বছর
মুনাফার হার, r = ৬%

আমরা জানি,
I = (P × r × n)/১০০
⇒ ৪৫০ = {P × ৬ × (৩/৪)}/১০০
⇒ ৪৫০ × ১০০ = P × (১৮/৪)
⇒ P = (৪৫০ × ১০০ × ৪)/১৮  
∴ P = ১০০০০

অর্থাৎ, কামাল ১০০০০ টাকা জমা রেখেছিল।

প্রশ্ন: একটি পণ্যের মূল্য প্রথমে ২৫% বৃদ্ধি পায় এবং পরে ২০% হ্রাস পায়। পণ্যটির মূল্যের সামগ্রিক পরিবর্তন-

সমাধান:
ধরি, পণ্যটির মূল্য = ১০০ টাকা

২৫% বৃদ্ধিতে, পণ্যটির মূল্য = ১০০ + ২৫ = ১২৫ টাকা

২০% হ্রাসে,
১০০ টাকায় হ্রাস পেয়ে মূল্য দাঁড়ায় = ১০০ - ২০ = ৮০ টাকা
∴ ১ টাকায় হ্রাস পেয়ে মূল্য দাঁড়ায় = ৮০/১০০ টাকা
∴ ১২৫ টাকায় হ্রাস পেয়ে মূল্য দাঁড়ায় = (৮০/১০০) × ১২৫ টাকা = ১০০ টাকা

∴ পরিবর্তন = ১০০ - ১০০ = ০ টাকা

∴ কোন পরিবর্তন নেই।

প্রশ্ন: ১১, ১২, ১৩, ১৪, ৭, ৮, ৯, ১০, ১৫, ১৬ উপাত্তগুলোর গড় কত?

সমাধান:
এখানে, পদ সংখ্যা = ১০
উপাত্তগুলোর সমষ্টি = ১১ + ১২ + ১৩ + ১৪ + ৭ + ৮ + ৯ + ১০ +  ১৫ + ১৬​ = ১১৫

∴ গড় = ১১৫/১০ = ১১.৫

প্রশ্ন: একটি সিএনজি প্রথম ২ কিমি পথের জন্য ৬০ টাকা এবং পরবর্তী প্রতি ১/২ কিমি পথের জন্য ১০ টাকা ভাড়া নেয়। তাহলে ৬ কিমি পথের জন্য মোট ভাড়া কত হবে?

সমাধান:
মোট পথ = ৬ কিমি
প্রথম ২ কিমি পথের ভাড়া = ৬০ টাকা
বাকি পথ = ৬ − ২ = ৪ কিমি

১/২ কিমি পথের জন্য ভাড়া = ১০ টাকা
∴ ১ কিমি পথের জন্য ভাড়া = ১০ ÷ (১/২) টাকা
∴ ৪ কিমি পথের জন্য ভাড়া = (১০ × ২ × ৪) টাকা
                                     = ৮০ টাকা

∴সর্বমোট ভাড়া = ৬০ + ৮০ = ১৪০ টাকা

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি প্রতিমাসে 1400 টাকা সঞ্চয় করেন এবং তার মাসিক আয়ের 80% খরচ করেন। তবে মাসিক আয় কত টাকা?

সমাধান:

মনেকরি, 
তার মাসিক আয় = x টাকা
সঞ্চয় = x এর (100 - 80)%
= x × 20% = 20x/100
= x/5

প্রশ্নমতে,
⇒ x/5 = 1400
∴ x = 7000
∴ তার মাসিক আয় = 7000 টাকা

প্রশ্ন: a² + b² + c² = 9 এবং ab + bc + ca = 8 হলে, a + b + c এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + b² + c² = 9
এবং ab + bc + ca = 8

আমরা জানি,
(a + b + c)² = (a² + b² + c²) + 2(ab + bc + ca)
⇒ (a + b + c)² = 9 + (2 × 8)
⇒ (a + b + c)² = 25
∴ a + b + c = 5

a = √5 + 2 হলে,
1/a = √5 - 2
∴ a + 1/a = 2√5
a³ + 1/a³ = (a + 1/a)³ - 3.a.1/a(a + 1/a)
= (2√5)³ - 3(2√5)
= 40√5 - 6√5
= 34√5

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিকক্ষে যদি প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসানো হয়, তবে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার যদি প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে ছাত্র বসানো হয়, তাহলে ৬ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীতে মোট ছাত্রসংখ্যা কত?

সমাধান: 
ধরি,
ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা = x জন

১ম ক্ষেত্রে, 
4 জন বসে 1 টি বেঞ্চে 
∴ x জন বসে x/4 টি বেঞ্চে
∴ ১ম ক্ষেত্রে, মোট বেঞ্চ সংখ্যা = (x/4) + 3 টি  

২য় ক্ষেত্রে,
3 জন বসে 1 টি বেঞ্চে 
∴ (x - 6) জন বসে (x - 6)/3 টি বেঞ্চে

তাহলে,
(x/4) + 3 = (x - 6)/3
বা, (x + 12)/4 = (x - 6)/3
বা, 4x - 24 = 3x + 36 
বা, 4x - 3x = 36 + 24 
∴ x = 60 

∴ ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা = 60 জন

প্রশ্ন: তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে সর্বোচ্চ একটি হেড (H) পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করলে মোট সম্ভাব্য ঘটনা (নমুনা বিন্দু) হবে: 2³ = 8 টি।
মোট নমুনা বিন্দুগুলো হলো: {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

সর্বোচ্চ একটি হেড (H) পাওয়ার অনুকূল ঘটনা বলতে বোঝায় যেখানে কোনো হেড নেই (0 Head) অথবা একটি হেড আছে (1 Head)।

অনুকূল ঘটনাগুলো হলো:
0 Head: {TTT}
1 Head: {HTT, THT, TTH}
মোট অনুকূল ঘটনার সংখ্যা = 1 + 3 = 4 টি।

∴ সর্বোচ্চ একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা/সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা
= 4/8
= 1/2

∴ সর্বোচ্চ একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = 1/2

মোট ছাত্র = ৭০ জন, ফেল করে = ২১ জন
∴ পাশ করে = (৭০ - ২১) = ৪৯ জন
∴ পাশের হার = (৪৯ × ১০০)/৭০ = ৭০%

প্রশ্ন: মকবুল ও শাহিদের কাছে কিছু চকলেট আছে। মকবুল যদি শাহিদকে 5 টি চকলেট দেয় তাহলে তাদের চকলেট সংখ্যা সমান হয় এবং শাহিদ যদি মকবুলকে 10 টি চকলেট দেয় তাহলে মকবুলের চকলেট সংখ্যা শাহিদের চকলেট সংখ্যার দ্বিগুণ হয়। মকবুলের কাছে কয়টি চকলেট আছে?

সমাধান:
ধরি,
মকবুলের কাছে চকলেট আছে = a টি
এবং, শাহিদের কাছে চকলেট আছে = b টি

প্রশ্নমতে,
a - 5 = b + 5
∴ b = a - 10 ...... (1)

আবার,
a + 10 = 2(b - 10)
⇒ a + 10 = 2(a - 10 - 10)   [যেহেতু b = a - 10]
⇒ a + 10 = 2(a - 20)
⇒ a + 10 = 2a + 40
∴ a = 50 টি

tan(nπ/2) অনুক্রমটির চতুর্থ পদ = tan(4π/2) = tan(2π) = 0

প্রশ্ন: 3^{(2x - 1)} = 27^{(x + 1)} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
3^{(2x - 1)} = 27^{(x + 1)}
⇒ 3^{(2x - 1)} = 3^{3(x + 1)}
⇒ 3^{(2x - 1)} = 3^{(3x + 3)}
⇒ 2x - 1 = 3x + 3
⇒ 2x - 3x = 3 + 1
⇒ - x = 4
∴ x = - 4

ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ক মিটার, তাহলে, প্রস্থ = ৩ক মিটার
∴ ৩ক ✕ ক = ৭৬৮
বা, ক^২ = ৭৬৮/৩ = ২৫৬
বা, ক = ১৬ মিটার
সুতরাং, পরিসীমা = ২(৪৮ + ১৬) = ১২৮ মিটার
তাহলে বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = ১২৮/৪ = ৩২ মিটার

প্রশ্ন: তিন অঙ্কের দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৭ এবং ল.সা.গু ৭১৪ হলে, সংখ্যা দুইটির সমষ্টি কত?  

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি = ১৭ক এবং ১৭খ  ; [কারণ গ.সা.গু = ১৭]

তাহলে,
১৭কখ = ৭১৪ 
⇒ কখ = ৭১৪/১৭ 
⇒ কখ = ৪২ 

এখন ৪২-এর সহমৌলিক গুণনীয়ক জোড়াগুলো, 
(১, ৪২), (২, ২১), (৩, ১৪), (৬, ৭)

∴ তিন অঙ্কের সংখ্যা গুলো হলো,
১৭ × ৬ = ১০২ এবং ১৭ × ৭ = ১১৯ 

∴ সংখ্যা দুইটির সমষ্টি = ১০২ + ১১৯ = ২২১ 

প্রশ্ন: |x - 4| < 2 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 5x - 3 < n হবে?

সমাধান:
|x - 4| < 2
বা, - 2 < x - 4 < 2
বা, - 2 + 4 < x - 4 + 4 < 2 + 4
বা, 2 < x < 6
বা, 2 × 5 < 5x < 6 × 5
বা, 10 < 5x < 30
বা, 10 - 3 < 5x - 3 < 30 - 3
∴ 7 < 5x - 3 < 27

m < 5x - 3 < n এর সাথে তুলনা করে পাই,
∴ m = 7 এবং n = 27

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলো। মুদ্রার ফলাফল হেড এবং ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি মুদ্রায় দুটো পিঠ (H, T) ছক্কায় ছয়টি পিঠ (1, 2, 3, 4, 5, 6)
∴ মোট সম্ভাব্য ঘটনা সংখ্যা = 2 × 6 = 12

এগুলো হলো: (H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6) (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)

হেড এবং বিজোড় সংখ্যা আসার অনুকূল ঘটনা = (H, 1), (H, 3), (H, 5)
∴ মোট 3 টি অনুকূল ঘটনা

∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা/মোট ঘটনা = 3/12
= 1/4

মনে করি,
আসল x টাকা
তাহলে প্রশ্নমতে,
x টাকা ৬ বছরে সুদে আসলে দ্বিগুণ অর্থাৎ 2x টাকা হয়েছে
তাই,
৬ বছরে সুদ এসেছে (2x - x) = x টাকা

এখন, সুদে আসলে তিনগুণ হতে হলে আমাদের সুদ লাগবে ২ক টাকা

তাহলে,
ক টাকা সুদ আসে ৬ বছরে
সুতরাং, ২ক টাকা সুদ আসবে (৬ × ২) = ১২ বছরে

প্রশ্ন: একটি লম্বা গাছের পাদদেশ হতে 50 মিটার দূরে ভূমির একটি বিন্দুতে গাছটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 60°। গাছটির উচ্চতা নির্ণয় করুন। 
 
সমাধান: 
মনে করি, গাছটির পাদবিন্দু B, ভূমির একটি বিন্দু C এবং শীর্ষবিন্দু A। গাছটির পাদদেশ হতে নির্দিষ্ট স্থানের দূরত্ব BC = 50 মিটার। 
গাছটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB = 60° এবং গাছটির উচ্চতা AB = h মিটার।

এখন,
tan60° = AB/BC
⇒ √3 = h/50              [∵ tan60° = √3, AB = h এবং BC = 50 মিটার]
⇒ h = 50√3

∴ গাছটির উচ্চতা = 50√3 মিটার

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি টাকায় ১৫টি হিসাবে কতগুলো লেবু ক্রয় করে এবং টাকায় ১২টি হিসাবে বিক্রয় করায় তার ৪ টাকা লাভ হলো। সে কতগুলো লেবু ক্রয় করেছিল? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
১৫টি লেবুর ক্রয়মূল্য ১ টাকা।
∴ ১টি লেবুর ক্রয়মূল্য  = ১/১৫ টাকা।

আবার,
১২টি লেবুর বিক্রয়মূল্য ১ টাকা।
∴ ১টি লেবুর বিক্রয়মূল্য  = ১/১২ টাকা

আমরা জানি,
লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য
= (১/১২) - (১/১৫) 
= (৫ - ৪)/৬০ 
= ১/৬০ 

এখন, 
১/৬০ টাকা লাভ হয় = ১টি লেবুতে  
∴ ১ টাকা লাভ হয় = ১/(১/৬০) = ৬০টি লেবুতে
∴ ৪ টাকা লাভ হয় = (৬০ × ৪) = ২৪০টি লেবুতে

সুতরাং, সে মোট ২৪০টি লেবু ক্রয় করেছিল।

(5.3ⁿ-27.3^n-2)/(3ⁿ-3^n-1) = (5.3ⁿ - 27.3ⁿ.3^-2)/(3ⁿ - 3ⁿ.3^-1) = 3ⁿ(5-27.1/3²)/3ⁿ(1 -1/3) = (5 - 3)/(2/3) = 2/2/3 = 3

মনেকরি,
রুমার আয় ৫a টাকা
∴ সুমার আয় ৭a টাকা
রুমার আয় ৫a টাকার ৩৫% = (৫a × ৩৫)/১০০ টাকা
যা ৭a টাকার {(৫a × ৩৫ × ১০০)/(১০০ × ৭a)}%
= ২৫%

2² + 4² + 6² + ........ + (50)²
= 2².1² + 2².2² + 2².3² +.....+ 2².(25)²
= 2²{1² + 2² + 3² + ........ + (25)²}
= 4 × [{25(25 + 1)(2 × 25 + 1)}/6]
= (4 × 25 × 26 × 51)/6
= 22100

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার এক-ষষ্ঠাংশের এক-চতুর্থাংশ ১২ হলে, সংখ্যাটির অর্ধেকের তিন-অষ্টমাংশ কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
(১/৬) × (১/৪) × ক = ১২
⇒ ক/২৪ = ১২
⇒ ক = ১২ × ২৪
∴ ক = ২৮৮

∴ সংখ্যাটি = ২৮৮
∴ সংখ্যাটির অর্ধেক = ২৮৮/২ = ১৪৪

∴ ১৪৪ এর তিন-অষ্টমাংশ = ১৪৪ × (৩/৮)= ৫৪

 ∴ সংখ্যাটির অর্ধেকের তিন-অষ্টমাংশ = ৫৪

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু উভয় দিকে বাড়ালে উৎপন্ন দুটি বহিঃস্থ কোণ পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

সমাধান:
- একটি ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে বহিঃস্থ কোণগুলো সমান হলে ত্রিভুজের অন্তস্থ কোণগুলোও সমান হয়।
- এটা নিশ্চিতভাবে বলা যায় যে ত্রিভুজটির অন্তত দুটি বাহু পরস্পর সমান।
সঠিক উত্তরঃ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। সমবাহু হতে পারে আবার নাও হতে পারে।

এখানে, OA ⊥ AT এবং OB ⊥ BT [কেন্দ্র হতে স্পর্শকের উপর অঙ্কিত রেখা লম্ব হয়]
∠OAT = ∠OBT = 90°
ΔOAT এবং ΔOBT ত্রিভুজ দুটির ক্ষেত্রে অতিভুজ এবং লম্ব সমান। অর্থাৎ ত্রিভুজ দুটি সর্বসম।
ΔOAT এর ক্ষেত্রে,
∠OAT = 90°
এবং ∠ATO = 60°/2 = 30°
সুতরাং, ∠AOT = 60°
একইভাবে, ΔOBT এর ∠BOT = 60°
∴ ∠AOB = ∠AOT + ∠BOT = 120°

প্রশ্ন: এমন একটি ধনাত্মক সংখ্যা নির্ণয় করুন, যা তার বর্গের থেকে ৭২ কম।

 সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x² - x = 72
⇒ x² - x - 72 = 0
⇒ x² - 9x + 8x - 72 = 0 
⇒ x(x - 9) + 8(x - 9) = 0
⇒ (x - 9)(x + 8) = 0
হয়, 
x - 9 = 0
∴ x = 9   ; [ধনাত্মক সংখ্যা]
অথবা,
x + 8 = 0
∴ x = - 8   ;[যা গ্রহণযোগ্য নয়] 

∴ সংখ্যাটি হলো 9।

প্রশ্ন:  এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 

প্রশ্ন: একটি ভাগ অঙ্কের ভাগফলের এক-তৃতীয়াংশ ভাজক, ভাগশেষ ভাজকের এক-চতুর্থাংশ। ভাগফল ৭২ হলে, ভাজ্য কত?

সমাধান:
ভাজক = ভাগফলের একতৃতীয়াংশ = ৭২/৩ = ২৪
ভাগশেষ = ভাজকের একচতুর্থাংশ = ২৪/৪ = ৬

আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
= (২৪ × ৭২) + ৬
= ১৭২৮ + ৬
= ১৭৩৪

সুতরাং, ভাজ্য = ১৭৩৪।

প্রশ্ন: "SUCCESS" শব্দের বর্ণগুলো দিয়ে কতগুলো বিন্যাস করা যাবে, যাদের প্রথম অক্ষর হবে 'S'?

সমাধান:
'SUCCESS' শব্দটিতে মোট ৭টি বর্ণ রয়েছে।

এখন, 'S' প্রথম স্থানে স্থির, তাই বাকি ৬টি স্থানে বাকি বর্ণগুলো বিন্যাস করতে হবে : U, C, C, E, S, S।

এখানে C ২টি, S ২টি রয়েছে।

∴ বাকি ৬টি বর্ণের বিন্যাস সংখ্যা = 6!/(2! × 2!)
= 720/(2 × 2)
= 720/4
= 180

অতএব, 'S' দিয়ে শুরু হওয়া 'SUCCESS' শব্দের বিন্যাসের সংখ্যা = 180।

প্রশ্ন: x = 8 এবং y = 3 হলে 4x² - 36xy + 81y²-এর মান কত?

সমাধান:
4x² - 36xy + 81y²
= (2x)² - 2.(2x).(9y) + (9y)²
= (2x - 9y)²
= {2(8) - 9(3)}²
= (16 - 27)²
= (- 11)²
= 121

প্রশ্ন: ৩০০০ টাকার ৪ বছরের সরল সুদ ৭২০ টাকা হলে, বার্ষিক শতকরা সুদের হার কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, P = ৩০০০ টাকা
সময়, n = ৪ বছর
মুনাফা, I = ৭২০ টাকা
মুনাফার হার, r =?

আমরা জানি,
I = Pnr/১০০
বা, r = (I × ১০০)/Pn
বা, r = (৭২০ × ১০০)/(৩০০০ × ৪) 
বা, r = ৭২/১২
∴ r = ৬

∴ বার্ষিক সুদের হার ৬%