গাণিতিক যুক্তি

(4m + 2n)³ + 3(4m + 2n)² (m - 2n) + 3(4m + 2n)(m - 2n)² + (m - 2n)³
= {(4m + 2n) + (m - 2n)}³
= (4m + 2n + m - 2n)³
= (5m)³
= 125m³

প্রশ্ন: ৯ + ১৩ + ১৭ + ২১ + ............. ধারাটির কোন পদ ১৬৫?

সমাধান:
এখানে,
ধারার ১ম পদ, a = ৯
সাধারণ অন্তর, d = ১৩ - ৯ = ৪
n তম পদ = ১৬৫

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১) × d

প্রশ্নমতে,
৯ + (n - ১) × ৪ = ১৬৫
⇒ ৯ + ৪n - ৪ = ১৬৫
⇒ ৪n + ৫ = ১৬৫
⇒ ৪n = ১৬০
⇒ n = ৪০

∴ ১৬৫ হলো ধারাটির ৪০ তম পদ।

প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার 5ম পদ 30 এবং 14তম পদ 84 হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ = a
এবং সাধারণ অন্তর = d
সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d
সুতরাং,
5ম পদ = a + (5 - 1)d = 30
⇒ a + 4d = 30 ------ (1)

14তম পদ = a + (14 - 1)d = 84
⇒ a + 13d = 84 ------ (2)

(2) নং সমীকরণ থেকে (1) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
(a + 13d) - (a + 4d) = 84 - 30
⇒ 9d = 54
⇒ d = 54/9
⇒ d = 6
সুতরাং, ধারাটির সাধারণ অন্তর হলো 6।

ধরি, ১ টি টিভির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
৪৫% লাভে টিভি বিক্রির সংখ্যা 'ক' টি
১ টি টিভিতে লাভ করে ৪৫ টাকা
'ক' টি টিভিতে লাভ করে ৪৫ক টাকা
১০% বেশি বিক্রিতে টেলিভিশনের সংখ্যা (ক + ক এর ১০%)
= ১১ক/১০ টি
৪০% লাভে মোট লাভের পরিমাণ (৪০ X ১১ক/১০) টাকা
= ৪৪ক টাকা
নতুন লাভ : আগের লাভ = ৪৪ক : ৪৫ক = ৪৪ : ৪৫

প্রশ্ন: A = {m, n, o} সেটের প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান: 
এখানে, A = {m, n, o}
A সেটের উপাদান সংখ্যা n = 3 

∴ A সেটের প্রকৃত উপসেট = 2ⁿ - 1
= 2³ - 1 
= 8 - 1
= 7 টি

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ৫ টাকা হারে সরল সুদে ১৩০০ টাকা তিন বছরে সুদে-আসলে কত টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, p = ১৩০০ টাকা 
সুদের হার, r = ৫%
সময়, n = ৩ বছর

আমরা জানি,
সুদ, I = pnr/১০০ 
বা,  I = (১৩০০ × ৩ × ৫)/১০০
বা, I = ১৯৫

∴ সুদ-আসল = I + p = (১৯৫ + ১৩০০) টাকা = ১৪৯৫ টাকা

x/5 - 2/7 = 5x/7 - 4/5
বা, x/5 - 5x/7 = 2/7 - 4/5
বা, (7x - 25x)/35 = (10-28)/35
বা, -18x/35 = -18/35
∴ x = 1

প্রশ্ন: একটি পেন্টাগনের কোণগুলোর অনুপাত 9 : 10 : 12 : 14 : 15 হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পঞ্চভুজ বা পেন্টাগনের পাঁচটি কোণের সমষ্টি = (2n - 4) × 90°
 = [(2 × 5) - 4] × 90° 
 = 6 × 90°
 = 540°

কোণগুলোের অনুপাতের সমষ্টি = (9 + 10 + 12 + 14 + 15)
= 60 

ক্ষুদ্রতম কোণ = (9/60) × 540° = 81° 
বৃহত্তম কোণ = (15/60) × 540° = 135° 
∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের সমষ্টি = 135° - 81° = 54°

প্রশ্ন: ৩২৪১৬ টি গাছের চারাকে বর্গাকারে রোপণ করতে গিয়ে দেখা যায় ১৬ চারা অবশিষ্ট আছে। প্রতি সারিতে কতটি করে গাছ রোপণ করা হয়েছে?

সমাধান:
যেহেতু ১৬ টি চারা অবশিষ্ট রয়েছে, 
সুতরাং রোপণ করা চারার সংখ্যা = ৩২৪১৬ - ১৬ = ৩২৪০০ টি 

আবার,
চারাগুলো বর্গাকারে রোপণ করায় সারির সমান সংখ্যক চারা রোপণ করা হয়েছে।
ধরি,
প্রতি সারিতে রোপণ করা চারার সংখ্যা = ক টি 

∴ ক^২ = ৩২৪০০
⇒ ক = ১৮০ টি 

1 রেডিয়ান = 180/π ডিগ্রি
∴ π/15 রেডিয়ান = 180/π × π/15
= 12 ডিগ্রি

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার সম্পত্তির ১/৪ অংশ স্ত্রীকে দিলেন এবং অবশিষ্ট সম্পত্তি তার ২ মেয়ের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দিলেন। যদি স্ত্রী ও ১ মেয়ের প্রাপ্ত সম্পত্তির মোট মূল্য ৩,৭৫,০০০ টাকা হয়, তবে মোট সম্পত্তির মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি, মোট সম্পত্তি = ক টাকা
স্ত্রী পান = ক/৪ টাকা
∴ অবশিষ্ট = (ক) - (ক/৪) = ৩ক/৪ টাকা
∴ প্রত্যেক মেয়ে পায় = (৩ক/৪) ÷ ২ = ৩ক/৮ টাকা

প্রশ্নমতে,
(ক/৪) + (৩ক/৮) = ৩,৭৫,০০০
⇒ (২ক + ৩ক)/৮ = ৩,৭৫,০০০
⇒ ৫ক/৮ = ৩,৭৫,০০০
⇒ ৫ক = ৩,৭৫,০০০ × ৮
⇒ ক = (৩,৭৫,০০০ × ৮)/৫
⇒ ক = ৬,০০,০০০

∴ মোট সম্পত্তির পরিমাণ ৬,০০,০০০ টাকা।

প্রশ্ন: 3 × 2ⁿ - 4 × 2^{n - 2} = ?

সমাধান:
3 × 2ⁿ - 4 × 2^{n - 2}
= 3 × 2ⁿ - 2² × 2^{n - 2}
= 3 × 2ⁿ - 2^{2 + n - 2}
= 3 × 2ⁿ - 2ⁿ
= 2ⁿ(3 - 1)
= 2ⁿ × 2 
= 2^{n + 1}

প্রশ্ন: যদি (a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5}
⇒ (a/b)^{x - 3}  = (a/b)^{- (x - 5)}
⇒ x - 3 = - x + 5
⇒ x + x = 5 + 3
⇒ 2x = 8
∴ x = 4

ধরি, প্রস্থ = x মি.
∴ দৈর্ঘ্য = (x + 2) মি.
প্রশ্নমতে,
2 (x + x + 2) = 28
বা, 2x + 2 = 14
বা, 2x = 12
∴ x = 6
∴ দৈর্ঘ্য = (6 + 2) মি. = 8 মি.

১০১ থেকে ১১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৪টি। সংখ্যাগুলো হচ্ছে - ১০১, ১০৩, ১০৭, ১০৯।

x√0.09 = 3
⇒x = 3/√0.09
⇒x² = 9/0.09 [বর্গ করে]
⇒x² =100
∴x = 10

প্রশ্ন: সরল মুনাফায় কোনো আসল ৮ বছরে মুনাফা-আসলে দ্বিগুণ হলে বার্ষিক মুনাফার হার কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সময়, n = ৮ বছর

মনে করি,
আসল = P
মুনাফা-আসল = ২P

∴ মুনাফা  = ২P - P = P টাকা।

আমরা জানি,
I = Pnr/১০০
⇒ P = (P × r × ৮)/১০০
⇒ r = ১০০/৮
⇒ r = ১২.৫

∴ মুনাফার হার ১২.৫%

প্রশ্ন: কোনো পরীক্ষায় ৮০% শিক্ষার্থী গনিতে, ৭০% শিক্ষার্থী বাংলায় পাশ করে এবং ১০% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করে?

সমাধান:
গনিতে পাশ করে = ৮০%
বাংলায় পাশ করে = ৭০%

∴ কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ করে = মোট শিক্ষার্থী - উভয় বিষয়ে ফেল 
= ১০০% - ১০% 
= ৯০%

∴ উভয় বিষয়ে পাশ করে = (গনিতে পাশ + বাংলায় পাশ) - কমপক্ষে একটিতে পাশ 
= ৮০% + ৭০% - ৯০% 
= ১৫০% - ৯০% 
= ৬০%

চক্রাকার গঠনে একটি বস্তুকে সর্বদা স্থির রাখতে হবে এবং উল্টানো যাবে এমন n সংখ্যক বস্তু নিয়ে মালা তৈরী করা যাবে =(n-1)!/2
∴10 টি মুক্তা দিয়ে মালা তৈরী করা যাবে = (10 - 1)!/2 = 9!/2

ধারাটি = 1, 9, 25, 49 ..............
= 1², 3², 5², 7², ..........
∴ ধারা অনুযায়ে পরবর্তী সংখ্যা = 9² = 81

প্রশ্ন: (5x - 3y) এর বর্গ হচ্ছে:

সমাধান: 
(5x + 3y) এর বর্গ
= (5x - 3y)²
= (5x)² - 2.5x.3y + (3y)²
= 25x² - 30xy + 9y²  । 

প্রশ্ন: x + y = 5 এবং  x - y = 3 হলে, 2x² + 2y² = কত? 

সমাধান: 
2x² + 2y²
= 2(x² + y²)
= (x + y)² + (x - y)² 
= (5)² + (3)² 
= 25 + 9 
= 34

প্রশ্ন: tan 30° এর মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
tan 30° = 1/√3
tan 60° = √3
sin 30° = 1/2 
sin 60° = √3/2

সুতরাং,  tan 30° এর মান 1/√3.

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

x² + x - (a + 1)(a + 2)
= x² + x - (a + 1){(a + 1) + 1}
= x² + x - b(b + 1) [ধরি, b = a + 1]
= x² + x - b² - b
= x² + x - b² - b
= x² - b² + x - b
= (x + b)(x - b) + 1(x - b)
= (x - b)(x + b + 1)
= (x - a - 1)(x + a + 1 + 1)
= (x - a - 1)(x + a + 2)

প্রশ্ন: রোমান সংখ্যায় MMDCCL = ?

সমাধান:
রোমান সংখ্যায়, 
M = 1000
D = 500
C = 100
L = 50

∴ সমষ্টি = (2 × 1000) + 500 + (2 × 100) + 50
= 2000 + 500 + 200 + 50
= 2750

একজন ট্রাক ড্রাইভারকে ৪ ঘণ্টায় ১৯০ মাইল যেতে হবে
প্রথম ৩ ঘণ্টায় ৫২ মাইল বেগে যায় ৩ × ৫২ = ১৫৬ মাইল
বাকি থাকে ১৯০ - ১৫৬ = ৩৪ মাইল, যা তাকে শেষ এক ঘণ্টায় যেতে হবে।

সুতরাং উত্তর হবে ৩৪ মাইল প্রতি ঘণ্টা বেগ