গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ 22 এবং ২য় পদ 27 হলে 15 তম পদ কত?

সমাধান:  
এখানে,
১ম পদ, a = 22
২য় পদ = 27
সাধারণ অন্তর, d = (27 - 22) = 5

∴ 15 তম পদ = a + (15 - 1)d
= 22 + (14 × 5)
= 22 + 70
= 92

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ৮০০ মিটার ও ৪০০ মিটার দীর্ঘ দুটি সেতু অতিক্রম করতে যথাক্রমে ৯০ সেকেন্ড ও ৫০ সেকেন্ড সময় নেয়। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
৯০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৮০০ + ট্রেনের দৈর্ঘ্য
৫০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৪০০ + ট্রেনের দৈর্ঘ্য

∴ (৯০ - ৫০) = ৪০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = (৮০০ + ট্রেনের দৈর্ঘ্য) - (৪০০ + ট্রেনের দৈর্ঘ্য) = ৪০০ মিটার 

∴ বেগ = ৪০০/৪০ = ১০ মিটার/সেকেন্ড

∴ ৫০ সেকেন্ড অতিক্রম করে = ৫০ × ১০ = ৫০০ মিটার

প্রশ্নমতে,
৪০০ + ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৫০০
∴ ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১০০ মিটার

নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৬৬০ থেকে ৭২০ এর মধ্যবর্তী সংখ্যা অর্থাৎ তাদের গড়।
সুতরাং গড় = (৬৬০ + ৭২০) / ২
= ১৩৮০ / ২
= ৬৯০

সংখ্যা তিনটির অনুপাত = ১/২ : ২/৩ : ৩/৪
= ৬ : ৮ : ৯ [১২ দ্বারা গুণ করে]
ধরি,
সংখ্যা তিনটি ৬a, ৮a, ৯a
∴ ৯a - ৬a
= ৩a

প্রশ্নমতে,
৩a = ৩৬৩
∴ a = ১২১
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ৬a
= ৬ × ১২১
= ৭২৬

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ৫০ সেকেন্ডে একটি ৩২০ মিটার লম্বা স্টেশন অতিক্রম করে এবং ৪০ সেকেন্ডে ২২০ মিটার লম্বা একটি ব্রিজ অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, ট্রেনটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

প্রশ্নমতে,
(ক + ৩২০)/৫০ = (ক + ২২০)/৪০
⇒ ৪০(ক + ৩২০) = ৫০(ক + ২২০)
⇒ ৪০ক + ১২৮০০ = ৫০ক + ১১০০০
⇒ ৫০ক - ৪০ক = ১২৮০০ - ১১০০০
⇒ ১০ক = ১৮০০
⇒ ক = ১৮০০/১০ 
∴ ক = ১৮০ মিটার

∴ ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ১৮০ মিটার।

a³ + 1/a³
= (a + 1/a)³ - 3.a.1/a (a + 1/a)
= 4³ - 3 X 4
= 64 - 12
= 52

প্রশ্ন: ৫ সে. মি. ১২ সে. মি. এবং ১৩ সে. মি. বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজটি হবে-

সমাধান:
ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৫ সে. মি. ১২ সে. মি. এবং ১৩ সে. মি.

এখানে,
১৩^২ = ১৬৯
আবার,
১২^২ + ৫^২ = ১৪৪ + ২৫ = ১৬৯

কোন ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি সমকোণী হবে।
তাহলে, ত্রিভুজটি সমকোণী।  

প্রশ্ন: রায়তুল ও জাহিদ একত্রে একটি কাজ ১৫ দিনে করতে পারে। জাহিদ একা কাজটি ৩০ দিনে করতে পারে। রায়তুল একা কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান:
রায়তুল ও জাহিদ একত্রে ১৫ দিনে করতে পারে = ১ টি কাজ
রায়তুল ও জাহিদ একত্রে ১ দিনে করতে পারে কাজের = ১/১৫ অংশ

জাহিদ একা ৩০ দিনে করতে পারে = ১ টি কাজ
জাহিদ একা ১ দিনে করতে পারে কাজটির = ১/৩০ অংশ

∴ রায়তুল একা ১ দিনে করতে পারবে
= কাজের (১/১৫) - (১/৩০) অংশ
= (২ - ১)/৩০ অংশ
= ১/৩০ অংশ

∴ রায়তুল একা ১/৩০ অংশ করতে পারে = ১ দিনে
∴ রায়তুল একা সম্পূর্ণ অংশ করতে পারে = ৩০ দিনে

ⁿp₃ = 4 × ⁿp₂
বা, n!/(n - 3)! = 4 × n!/(n - 2)!
বা, 1/(n - 3)! = 4 × 1/(n - 2)(n - 3)!
বা, 1 = 4/(n - 2)
বা, n - 2 = 4
∴ n = 6

পেট্রোল ∶ অকটেন = ৪ ∶ ৩
∴ পেট্রোলের পরিমাণ = ৪/(৪+৩) X ৩৫ = ২০ লিটার।
অকটেনের পরিমাণ = ৩/(৪+৩) X ৩৫ = ১৫ লিটার।
নতুন মিশ্রণে,
পেট্রোল ∶ অকটেন = ৪ ∶ ৫
= (৪ X ৫) ∶ (৫ X ৫)
= ২০ ∶ ২৫
∴ অকটেন মিশাতে হবে = ২৫ - ১৫ = ১০ লিটার।

প্রশ্ন: ৫৬° এর সম্পূরক ও পূরক কোণের পার্থক্য কত?

সমাধান: 
৫৬° এর সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৫৬° = ১২৪°
৫৬° এর পূরক কোণ = ৯০° - ৫৬° = ৩৪°

∴ কোণের পার্থক্য = ১২৪° - ৩৪° = ৯০°

পাঁচ অংকের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯
২, ৩, ৪, ৫, ৬ এর ল.সা.গু = ৬০

এখন, ৬০)৯৯৯৯৯(১৬৬৬
                ৯৯৯৬০
                ------------
                        ৩৯

∴ বৃহত্তম সংখ্যার সাথে = ৬০ - ৩৯
= ২১ যোগ করতে হবে।

এখানে, ২ + ৬ + ১৮ + ..... ধারাটির‌
প্রথম পদ, a = ২
সাধারণ অনুপাত, r = ৬/২ = ৩
এবং পদ সংখ্যা, n = ৭
সুতরাং সমষ্টি = a (rⁿ - 1)/(r - 1)
= ২ × (৩^৭ - ১)/(৩ - ১)
= ২ × (২১৮৭ - ১)/২
= ২১৮৬

প্রশ্ন: ২২, ৩৫, ৪৮, ১৮, ৫০, ২৫, ৪০ উপাত্ত গুলোর পরিসর নির্ণয় করুন।

 সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যের সর্বনিম্ন সংখ্যা = ১৮
প্রদত্ত তথ্যের সর্বোচ্চ সংখ্যা = ৫০

 ∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ সংখ্যা - সর্বনিম্ন সংখ্যা) + ১
= (৫০ - ১৮) + ১
= ৩২ + ১
 = ৩৩

প্রশ্ন: 2 + tan²θ = 5 হলে θ এর মান কত? 

সমাধান: 
2 + tan²θ = 5 
বা, tan²θ = 5 - 2 
বা, tan²θ = 3 
বা, tanθ = √3 
বা, tan θ = tan 60°
∴ θ = 60°

প্রশ্ন: ৭ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

দেয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস =  ৭ সে.মি.

বৃত্তের ভেতরে বর্গক্ষেত্র অংকিত হলে বর্গক্ষেত্রের কর্ণই হচ্ছে ঐ বৃত্তটির ব্যাস।
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = ৭ সে.মি.
⇒ a√২ = ৭
∴ a  = ৭/√২

আমরা জানি, 
ক্ষেত্রফল = a^২ = (৭/√২)^২ = ৪৯/২ = ২৪.৫ বর্গ সে.মি.

∴ অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২৪.৫ বর্গ সে.মি.।

AB খুটির পাদবিন্দু B হতে মইয়ের পাদবিন্দু C এর দূরত্ব BC = 9 ফুট।
মইয়ের দৈর্ঘ্য AC = 41 ফুট।
∴ খুটির দৈর্ঘ্য AB = √(AC² - BC²) [পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে]
∴ AB = √(41² - 9²) = 40
∴ বৈদ্যুতিক খুটির দৈর্ঘ্য = 40 ফুট

প্রশ্ন: ১ চেইন সমান কত ফুট?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
১ চেইন = ২২ গজ
আবার, 
১ গজ = ৩ ফুট

সুতরাং,
১ চেইন = ২২ × ৩ = ৬৬ ফুট

প্রশ্ন: ৪% হার মুনাফায় ৬,২৫০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত?

সমাধান:
এখানে, মূলধন, P = ৬,২৫০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৪% = ৪/১০০ = ১/২৫
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি,
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(১ + r)ⁿ
= ৬,২৫০(১ + ১/২৫)^২
= ৬,২৫০ × (২৬/২৫)^২
= ৬,২৫০ × (২৬/২৫) × (২৬/২৫)
= ৬,৭৬০ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন = ৬,৭৬০ টাকা।

A, B, C, D এর লাভের টাকার পরিমান যথাক্রমে ৫x, ২x, ৪x, ৩x টাকা
∴ ৫x - ৩x = ২০০০
বা, ২x = ২০০০
∴ x = ১০০০
∴ মোট লাভ = ৫x + ২x + ৪x + ৩x
= ১৪x
= ১৪ × ১০০০
= ১৪০০০ টাকা।

প্রশ্ন: PROBABILITY শব্দটি থেকে যেকোন একটি letter নিলে, বর্ণটি consonant হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
PROBABILITY শব্দটিতে মোট letter আছে ১১ টি
Vowel আছে (O, A, I, I)  ৪টি
বাকী (১১ - ৪) = ৭টি consonant 

বর্ণটি consonant হওয়ার সম্ভাবনা  = ৭/১১

২০ জন ছাত্রীর মোট বয়স = (২০ x ১২) বছর।
= ২৪০ বছর।
২৪ জন ছাত্রীর বয়সের গড় = (১২ - ৪/১২) বছর।
= ৩৫ / ৩ বছর।
২৪ জন ছাত্রীর মোট বয়স = (৩৫/৩ x ২৪) বছর।
= ২৮০ বছর।
৪ জন ছাত্রীর মোট বয়স = (২৮০ - ২৪০) বছর।
= ৪০ বছর।
৪ জন ছাত্রীর গড় বয়স = ৪০/৪ বছর।
= ১০ বছর।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ২৩ মিটার বড়। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ২০৬ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = x মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (x - ২৩) মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২ {x + (x - ২৩)} মিটার
= ২ (২x - ২৩) মিটার
= (৪x - ৪৬) মিটার 

প্রশ্নমতে,
৪x - ৪৬ = ২০৬
বা, ৪x = ২০৬ + ৪৬
বা, ৪x = ২৫২
বা, x = ২৫২/৪
∴ x = ৬৩
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৬৩ মিটার 
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (৬৩ - ২৩) মিটার
= ৪০ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গমিটার
= (৬৩ × ৪০) বর্গমিটার
= ২৫২০ বর্গমিটার। 

x - y = 7
∴ y = x - 7......(1)

আবার, xy = 60
বা, x(x - 7) = 60 [y = x - 7 বসিয়ে]
বা, x² - 7x - 60 = 0
বা, x² - 12x + 5x - 60 = 0
বা, x(x - 12) + 5(x - 12) = 0
বা, (x - 12)(x + 5) = 0
∴ x = -5, 12

প্রশ্ন: একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপ করা হলে 4 অথবা 4 এর বেশি সংখ্যা আসার সম্ভাবনা শতকরা কত? 

সমাধান: 
একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলাফল 6টি। যথা, 1, 2, 3, 4, 5, 6

আবার, 
4 অথবা 4-এর বেশি সংখ্যা আসার সম্ভাবনা
অর্থাৎ, 4, 5 অথবা 6 আসার সম্ভাবনা
অনুকূল ফলাফল = 3টি 

আমরা জানি, 
সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল/মোট ফলাফল
= 3/6
= 1/2

∴ শতকরা হিসাবে = (1/2) × 100% = 50%

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√2 একক হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত একক?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = a একক
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a × √2 একক

দেওয়া আছে,
কর্ণের দৈর্ঘ্য = 4√2 একক

অতএব,
a × √2 = 4√2
⇒ a = 4

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a = 4 × 4 = 16 একক

প্রশ্ন: 
​
​
​​​​সমাধান:

​

প্রশ্ন: ২২০ এর ৩০%, p এর ৬% এর সমান। p এর মান কত? 

সমাধান: 
p এর ৬% = ২২০ এর ৩০%  
বা, p × (৬/১০০) = ২২০ × (৩০/১০০)  
বা, ৬p/১০০ = (২২০ × ৩০)/১০০  
বা, ৬p × ১০০ = ২২০ × ৩০ × ১০০  
বা, p = (২২০ × ৩০ × ১০০)/(৬ × ১০০)  
∴ p = ১১০০

এখানে,
a = ১; d = ৪ ও n = ২০
∴ S = (n/২){২a + (n - ১)d}
= (২০/২){২.১ + (২০ - ১)৪}
= ১০ × ৭৮
= ৭৮০

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ এবং তাদের ল.সা.গু ২৪০০ হলে, তাদের গ.সা.গু কত?

সমাধান:
ধরি, তিনটি সংখ্যা যথাক্রমে ৩ক, ৪ক এবং ৫ক

এখন, ৩ক, ৪ক, ৫ক এর ল.সা.গু = ৬০ক

শর্তমতে,
৬০ক = ২৪০০
⇒ ক = ২৪০০/৬০
⇒ ক = ৪০

∴ প্রথম সংখ্যা = ৩ক = ৩ × ৪০ = ১২০
দ্বিতীয় সংখ্যা = ৪ক = ৪ × ৪০ = ১৬০
তৃতীয় সংখ্যা = ৫ক = ৫ × ৪০ = ২০০

এখন গ.সা.গু নির্ণয় করি:
১২০ = ২^৩ × ৩ × ৫
১৬০ = ২^৫ × ৫
২০০ = ২^৩ × ৫²

∴ গ.সা.গু = ২^৩ × ৫ = ৮ × ৫ = ৪০

অতএব, তাদের গ.সা.গু = ৪০

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২ এয়র, এর প্রস্থ ১২.৫ মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ১২.৫ মিটার 

আমরা জানি, 
১ এয়র = ১০০ বর্গমিটার 
∴ ২ এয়র = (১০০ × ২) বর্গমিটার = ২০০ বর্গমিটার 

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ 
বা, দৈর্ঘ্য = ক্ষেত্রফল/প্রস্থ 
বা, দৈর্ঘ্য = ২০০/১২.৫ 
∴ দৈর্ঘ্য = ১৬ মিটার । 

দেওয়া আছে, a + 1/a = √4
এখন, a³ + 1/a³
= (a + 1/a)³ - 3. a. 1/a (a + 1/a)
= (√4)³ - 3√4
= 4√4 - 3√4
= √4
= 2

প্রশ্ন: 35x² - x - 12 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি,
35x² - x - 12
= 35x² - 21x + 20x - 12
= 7x(5x - 3) + 4(5x - 3)
= (5x - 3)(7x + 4)

প্রশ্ন: এক ব্যক্তির 4টি লাল পতাকা 3 টি হলুদ পতাকা 2 টি নীল পতাকা আছে। একটি সংকেত তৈরির জন্য 9 টি পতাকাকে একটি সারিতে
ব্যবহার করলে কয়টি সংকেত করতে পারবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
লাল পতাকা (R) = 4
হলুদ পতাকা (Y) = 3
নীল পতাকা (B) = 2
∴ মোট পতাকা = 4 + 3 + 2 = 9
একই রঙের পতাকা সমান, তাই পুনরাবৃত্তি সহ permutation সূত্র ব্যবহার করি। 

সুতরাং, বিন্যাস সংখ্যা = 9!/(4! × 3! × 2!) = 1260