গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: 16x³ - 46x² + 15x এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
16x³ - 46x² + 15x
= x(16x² - 46x + 15)
= x(16x² - 40x - 6x + 15)
= x {8x(2x - 5) - 3(2x - 5)}
= x(2x - 5)(8x - 3)

প্রশ্ন: 36a² + 36a এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:

36a² + 36a

= 36a² + 36a + 9 - 9

= (6a)² + 2 ×(6a) × (3)+ (3)² - 9

= (6a + 3)² - 9

সুতরাং, 36a² + 36a এর সাথে 9 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: 

সমাধান:

ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে, x এর ৩/৭ = ৫৪
∴ x = (৫৪ × ৭)/৩ = ১২৬

Let Speed of the man is x kmph.
Distance covered in 10 minutes at 20 kmph = distance covered in 8 minutes at (20 + x) kmph.
Or, 20×(10/60) = 8/(60(20+x))
Or, 200 = 160 + 8x
Or, 8x = 40
Hence, x = 5kmph.

প্রশ্ন: ৮টি কলম ও ১২টি পেন্সিল সমানসংখ্যক করে প্যাকেটে রাখতে হলে কতটি প্যাকেট বানানো যাবে?

সমাধান:
নির্ণেয় প্যাকেটের সংখ্যা হবে ৮ ও ১২ এর গ.সা.গু এর সমান।

এখন,
৮ ও ১২ এর গ.সা.গু = ৪

∴ নির্ণেয় প্যাকেটের সংখ্যা = ৪ টি

প্রশ্ন: আনিস, বাপ্পি এবং জামাল তিনজন একসাথে একটি কাজ করতে পারে যথাক্রমে 10, 15 এবং 30 দিনে। তারা একত্রে কাজটি কত দিনে শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
আনিস, বাপ্পি এবং জামাল 1 দিনে কাজ করতে পারে যথাক্রমে 1/10, 1/15 এবং 1/30 অংশ

3 জন একত্রে 1 দিনে করে = 1/10 + 1/15 + 1/30 অংশ
= 1/10 + 1/15 + 1/30
= 3/30 + 2/30 + 1/30
= 6/30
= 1/5 অংশ 1 দিনে

∴ তারা একত্রে 1 কাজ করতে পারবে = 1 ÷ (1/5) = 5 দিন

∴ কাজটি সম্পূর্ণ করতে লাগবে = 5 দিন

(1-tan²60°)/(1+tan²60°) + sin²60°
= (1-(√3)²)/(1+(√3)²) + (√3/2)²
= (1-3)/(1+3) + 3/4
= -2/4 + 3/4
= 1/4

প্রশ্ন: একটি পিজ্জা বৃত্তাকার এবং এর ব্যাস 28 সে.মি.। পিজ্জাটিকে 7টি সমান অংশে ভাগ করা হলে প্রতিটি অংশের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
পিজ্জার ব্যাস = 28 সে.মি.
∴ পিজ্জার ব্যাসার্ধ, r = 28/2 = 14 সে.মি.
পিজ্জাটি বৃত্তাকার, তাই এর মোট ক্ষেত্রফল = πr2
= π × (14)2
= (22/7) × 14 × 14
= 22 × 28
= 616 বর্গসে.মি.

এখন, পিজ্জাটিকে 7টি সমান অংশে ভাগ করা হলে,
প্রতিটি অংশের ক্ষেত্রফল = মোট ক্ষেত্রফল/7​
= 616/7 বর্গসে.মি.
= 88 বর্গসে.মি.

∴ প্রতিটি অংশের ক্ষেত্রফল 88 বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B কোণটি সমকোণ। tanA = 1 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ABC সমকোণী ত্রিভুজে ∠B কোণটি সমকোণ।
এবং, tanA = লম্ব/ভূমি  = 1 
অর্থাৎ, ভূমি = 1, লম্ব = 1
ধরি, অতিভুজ = a

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
a² = 1² + 1²
⇒ a² = 1 + 1
⇒ a² = 2
⇒ a = √2

এখন,
sinA = লম্ব/অতিভুজ  = 1/√2
cosA = ভূমি/অতিভুজ = 1/√2

∴ 2sinAcosA = 2 × (1/√2) × (1/√2) 
= 2 × (1/2)
= 1

আবার,
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 2 সমকোণ
⇒ ∠A + ∠B + ∠C = 2 সমকোণ
⇒ ∠A + ∠C = 2 সমকোণ - ∠B
⇒ ∠A + ∠C = 2 সমকোণ - 1 সমকোণ
∴ ∠A + ∠C = 1 সমকোণ

প্রশ্ন: কমিশনের হার ২.৫০ টাকা হলে ২০০০ টাকা মূল্যের জিনিস বিক্রয় করে কত কমিশন পাওয়া যাবে? 

সমাধান: 
১০০ টাকায় কমিশন পাওয়া যায় = ২.৫০ টাকা 
∴ ১ টাকায় কমিশন পাওয়া যায় = ২.৫০/১০০ টাকা 
∴ ২০০০ টাকায় কমিশন পাওয়া যায় = (২.৫০ × ২০০০)/১০০ টাকা 
= ৫০ টাকা 

২৩/৩০ = ০.৭৭
১৩/১৫ = ০.৮৭
৪/৫ = ০.৮
২/৩ = ০.৬৭
সুতরাং বৃহত্তম ভগ্নাংশটি = ১৩/১৫।

প্রশ্ন: রাজশাহী থেকে ঢাকার দূরত্ব ২৬০ কিলোমিটার। একটি ট্রেন ৬ ঘণ্টায় ঢাকা থেকে রাজশাহী চলে আসল। যাত্রা পথে ট্রেনটি ২ ঘণ্টা বিরতি নেয়। ট্রেনটির গড় গতিবেগ কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
মোট দূরত্ব = ২৬০ কিলোমিটার
∴ ট্রেনটি মোট (৬ - ২) ঘণ্টা = ৪ ঘণ্টা যাত্রা করে

আমরা জানি, 
গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব/মোট সময় 
= ২৬০/৪
= ৬৫ কিলোমিটার/ঘণ্টা     

x = 37 হলে,
8x³ + 72x² + 216x + 216
= (2x)³ + 3 . (2x)² . 6 + 3 . (2x) . (6)² + (6)³
= ( 2 × 37 + 6 )³ = 512000

ধরি, ক্রয় মূল্য ১০০ টাকা,
২৫% লাভে বিক্রয় মূল্য ১২৫ টাকা
∴ বিক্রয় মূল্য ও ক্রয় মূল্য এর অনুপাত = ১২৫ : ১০০ = ৫ : ৪

১ ডজন = ৩ হালি
১ হালি লেবুর বিক্রয়মূল্য ৫ টাকা হলে ১ ডজন এর বিক্রয় মূল্য (৫×৩) = ১৫ টাকা
সুতরাং, লাভ = (১৫-১২) = ৩ টাকা
১২ টাকায় লাভ হয় ৩ টাকা
∴১০০ টাকায় লাভ হয় (৩×১০০)/১২ টাকা
                      = ২৫ টাকা

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + 4 + ……………. + 77 = কত? 

সমাধান:
আমরা জানি, 
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2

∴  77 স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = 77(77 + 1)/2
= (78 × 77)/2
= 39  × 77
= 3003

(১২ + ৭ + ১৫)/৩
= ১১.৩৩

প্রশ্ন: হাসান তার বেতন থেকে প্রথম মাসে 1200 টাকা সঞ্চয় করে এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় 100 টাকা বেশি সঞ্চয় করে। সে কত বছরে মোট 106200 টাকা সঞ্চয় করে?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, 
প্রথম মাসের সঞ্চয়, প্রথম পদ a = 1200
প্রতি মাসে সঞ্চয় বৃদ্ধি, সাধারণ অন্তর d = 100
মোট সঞ্চয়, S = 106200 টাকা

মনে করি, তিনি n মাসে 106200 টাকা সঞ্চয় করেন।
প্রশ্নানুসারে,
n/2 × {2a + (n - 1) × d} = 106200
বা, n/2 × {2 × 1200 + (n - 1) × 100} = 106200
বা, n(2400 + 100n - 100) = 212400
বা, 100n² + 2300n - 212400 = 0
বা, n² + 23n - 2124 = 0
বা, n² + 59n - 36n - 2124 = 0
বা, (n + 59)(n - 36) = 0
অর্থাৎ, n = - 59 অথবা n = 36
মাস কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না।

∴ নির্ণেয় সময়: 36 মাস বা 3 বছর।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. ১২০ এবং অনুপাত ৩ : ৫। সংখ্যা দুটির যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. = ১২০
সংখ্যা দুটির অনুপাত = ৩ : ৫

ধরি, সংখ্যা দুটি = ৩x এবং ৫x
এখন, ৩x এবং ৫x এর ল.সা.গু. = ১৫x

প্রশ্নমতে, 
১৫x = ১২০ 
বা, x = ১২০/১৫
∴ x = ৮ 

এখন সংখ্যা দুটি হলো, 
৩x = ৩ × ৮ = ২৪ এবং ৫x = ৫ × ৮ = ৪০

∴ যোগফল = ২৪ + ৪০ = ৬৪

ধরি, একটি কোন X
অপর কোন ৯০-X
সুতরাং ৯০-X-X=২
কারণ এখানে সমকোণী ত্রিভুজের বাকি কোন দুটির সমষ্টি ৯০°
২X=৮৮
X=৪৪
৯০-৪৪=৪৬

³√{³√(a^-27)}
= ³√{(a^-27)^1/3}
= ³√(a^-9)
= (a^-9)^1/3
= a^-3
= 1/a³

(a/b)^{(x - 5)} = (b/a)^{(x - 7)}
⇒ (a/b)^{(x - 5)} = (a/b)^{(7 - x)}
⇒ x - 5 = 7 - x
⇒ 2x = 12
⇒ x = 6

প্রশ্ন: cosθ = √3/2 হলে cotθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosθ = √3/2
বা, cosθ = cos30°
∴ θ = 30°

এখন,
cotθ
= cot30°
= √3

(2/3)^n-3 = (8/27)^n-4
বা, (2/3)^n-3 = {(2/3)³}^n-4
বা, (2/3)^n-3 = (2/3)^{3n - 12}
বা, n - 3 = 3n - 12
বা, 2n = 9
∴ n = 9/2

প্রশ্ন: কোন শ্রেণীতে ১০ জন ছাত্রের গড় উচ্চতা ৫ ফুট ৬ ইঞ্চি। এর মধ্যে ৯ জন ছাত্রের গড় উচ্চতা ৫ ফুট ৫ ইঞ্চি হলে ১০ম ছাত্রের উচ্চতা কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
১ ফুট = ১২ ইঞ্চি

সুতরাং,
৫ ফুট ৬ ইঞ্চি = (৫ × ১২) + ৬ = ৬৬ ইঞ্চি
এবং, ৫ ফুট ৫ ইঞ্চি = (৫ × ১২) + ৫ = ৬৫ ইঞ্চি

এখন, 
১০ জন ছাত্রের গড় উচ্চতা = ৬৬ ইঞ্চি
∴ ১০ জন ছাত্রের মোট উচ্চতা = ৬৬ × ১০ = ৬৬০ ইঞ্চি

আবার, 
৯ জন ছাত্রের গড় উচ্চতা = ৬৫ ইঞ্চি
∴ ৯ জন ছাত্রের মোট উচ্চতা = ৬৫ × ৯ = ৫৮৫ ইঞ্চি

∴ ১০ম ছাত্রের উচ্চতা = ৬৬০ - ৫৮৫ = ৭৫ ইঞ্চি
 = ৬ ফুট ৩ ইঞ্চি

সুতরাং, ১০ম ছাত্রের উচ্চতা = ৬ ফুট ৩ ইঞ্চি

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি, যেকোনো ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি 180°।

যদি একটি ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃস্থ কোণ যথাক্রমে A, B এবং C হয়, তবে,
A + B + C = 180°
একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা তার অন্তঃস্থ সন্নিহিত কোণের সাথে 180° কোণ তৈরি করে।
সুতরাং, বহিঃস্থ কোণ = 180° - অন্তঃস্থ কোণ।

সকল বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি = 3 × 180° - (A + B + C) 
= 540° - 180° = 360° 

∴ যেকোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি সর্বদা 360°।