গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: 40 মি পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ABCD বর্গের পরিসীমা = 40 মিটার
ABCD বর্গের বাহু = (40/4) = 10 মিটার

যেহেতু বর্গটি অন্তর্লিখিত
∴ বৃত্তের ব্যাস = বর্গটির কর্ণ
= বাহু × √2
= 10√2 মিটার

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (10√2)/2 = 5√2 মিটার

∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π (5√2)² বর্গ মিটার
= (π × 25 × 2) বর্গ মিটার
= 50π বর্গ মিটার

∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল 50π বর্গমিটার।

প্রশ্ন: a : b = 3 : 5 এবং a : c = 5 : 7 হলে b : C এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a : b = 3 : 5
a : c = 5 : 7

এখানে উভয় অনুপাতে a পদটি সাধারণ। b : c এর মান বের করার জন্য a এর মানকে সমান করতে হবে।

3 এবং 5 এর ল.সা.গু = 15

প্রথম অনুপাত: a : b = 3 : 5
উভয় পদকে ৫ দ্বারা গুণ করলে: a : b = 15 : 25

দ্বিতীয় অনুপাত: a : c = 5 : 7
উভয় পদকে ৩ দ্বারা গুণ করলে: a : c = 15 : 21

∴ a : b : c = 15 : 25 : 21
∴ b : c = 25 : 21

Given, f(x) = (3x+3) / (x−5)
= (3.1/3 + 3) / (1/3 - 5)
= (1 + 3) / {(1 - 15)/3}
= 4 / (-14 / 3)
= - 12/14
= - 6/7

৫২, ৯৭ এর গ.সা.গু. = ১
∴ সংখ্যাদ্বয় সহমৌলিক।

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ হবে- 

সমাধান: 
- সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস ধরে বৃত্ত অঙ্কন করলে তা সমকৌণিক শীর্ষ বিন্দু দিয়ে যাবে। 
- কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ। 
- কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ স্থূলকোণ। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ গুলো পরস্পর সমান। 
- অর্ধবৃত্তস্থ কোন এক সমকোণ। 
- বৃত্তের পরিধি ও বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমানুপাতিক। 

প্রশ্ন: যদি একটি কোণ ২৪° বাড়ানো হয়, তাহলে নতুন কোণটি তার আগের পূরক কোণের সমান হয়। আসল কোণ কত?

সমাধান:
ধরি, আসল কোণ = x
তাহলে তার পূরক কোণ = ৯০° - x

প্রশ্নানুসারে, 
আসল কোণকে ২৪° বাড়ালে নতুন কোণ = আগের পূরক কোণের সমান হয়
অর্থাৎ,
⇒ x + ২৪° = ৯০° - x
⇒ x + x = ৯০° - ২৪°
⇒ ২x = ৬৬°
⇒ x = ৬৬°/২ 
∴ x = ৩৩°

সুতরাং, আসল কোণটি ৩৩° ছিল।

প্রশ্ন: U = {x : x < 7 , x ∈ N}, A = { x : x এবং 1 < x ≤ 4} হলে A' = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
U = {x : x < 7 , x ∈ N}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
এবং 
A = { x : x এবং 1 < x ≤ 4}
= {2, 3, 4}

এখন, 
A' = U - A
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {2, 3, 4}
= {1, 5, 6} ।

প্রথমটিতে head আসার সম্ভাব্যতা ½. দ্বিতীয়টিতে tail আসার সম্ভাব্যতা ½.
দুইটিতে একত্রে head এবং tail আসার সম্ভাব্যতা ½ × ½ = ¼ .

প্রশ্ন: দুইটি নল দ্বারা একটি পানির ট্যাংক ১৫ মিনিটে পূর্ণ হয়। নল দুইটি খুলে দেওয়ার ১০ মিনিট পর প্রথম নলটি বন্ধ করে দিলে ট্যাংকটি পূর্ণ হতে আরো ২০ মিনিট সময় লাগলে শুধু দ্বিতীয় নলটি দ্বারা সম্পূর্ণ ট্যাংকটি পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
দুইটি নল দ্বারা,
১৫ মিনিটে ট্যাংক পূর্ণ হয় = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১/১৫ অংশ
∴ ১০ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১০/১৫ অংশ
= ২/৩ অংশ

১০ মিনিট পর অবশিষ্ট থাকে = ১ - (২/৩)  অংশ
= ১/৩ অংশ

দ্বিতীয় নলটি,
১/৩ অংশ পূর্ণ করতে সময় লাগে = ২০ মিনিট
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ করতে সময় লাগে = ২০ × ৩ মিনিট
= ৬০ মিনিট

∴ শুধু দ্বিতীয় নলটি দ্বারা সম্পূর্ণ ট্যাংকটি পূর্ণ করতে সময় লাগবে = ৬০ মিনিট

প্রশ্ন:

সমাধান:

দেয়া আছে, 
রম্বসের পরিসীমা ৫৬ মিটার
উচ্চতা ৫ মিটার 

রম্বসের একবাহুর দৈর্ঘ্য = ৫৬/৪ মিটার = ১৪ মিটার

রম্বস এক ধরণের সামন্তরিক। তাই রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে নিম্নোক্ত সূত্র ব্যবহার করা যাবে।
রম্বসের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
                           = (১৪×৫) মিটার 
                            = ৭০ মিটার


--------------------
বিভিন্নভাবে রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়।
যেমন -
১. ভূমি ও উচ্চতার ভিত্তিতে রম্বসের ক্ষেত্রফল:
রম্বসের ভূমি b একক এবং উচ্চতা h একক হলে,
রম্বসের ক্ষেত্রফল =(ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক।

২. ভূমি ও শীর্ষকোণের ভিত্তিতে রম্বসের ক্ষেত্রফল:
রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং সন্নিহিত কোণদ্বয় θ ও φ হলে,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = a²sinθ বর্গ একক।
রম্বসের ক্ষেত্রফল = a²sinφ বর্গ একক।

৩. কর্ণদ্বয়ের ভিত্তিতে রম্বসের ক্ষেত্রফল:
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য d₁ একক ও d₂ একক হলে,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2(d₁d₂) বর্গ একক

৪. অন্তর্লিখিত বৃত্তের ভিত্তিতে রম্বসের ক্ষেত্রফল:
রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং অন্তর্লিখিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ r একক হলে,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 2ar বর্গ একক।
রম্বসের ক্ষেত্রফল =(অর্ধপরিসীমা × ব্যাসার্ধ) বর্গ একক।

ধরি,
সংখ্যাটি = x
∴ x এর ২০% = ২০x/১০০
= x/৫
∴ x/৫ = ৪৮
বা, x = ২৪০

সার্বিক সেট U এর যে কোনো উপসেট A ও B এর জন্য দ্যা মরগ্যানের সূত্র দ্বয়-
ক) (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ এবং
খ) (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

প্রশ্ন: একটি ৪৫ ফুট লম্বা বাঁশ এমনভাবে কেটে দু'ভাগ করা হল যেন ছোট অংশ বড় অংশের দুই-সপ্তমাংশ হয়। ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, বড় অংশ = ক ফুট
∴ ছোট অংশ = ক এর (২/৭) ফুট
 = ২ক/৭ ফুট

প্রশ্নমতে,
ক + (২ক/৭) = ৪৫
⇒ (৭ক + ২ক)/৭ = ৪৫
⇒ ৯ক = ৪৫ × ৭
⇒ ক = (৪৫ × ৭)/৯
⇒ ক = ৩৫

∴ ছোট অংশের দৈর্ঘ্য = (২/৭) × ৩৫ = ১০ ফুট

প্রশ্ন: প্রদত্ত

সমাধান:

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২(ভূমি × উচ্চতা)
= ১/২(৫ × ৬)
= ১৫ বর্গ মিটার

প্রশ্ন: এক ক্লাসে ২০ ছাত্রের গড় বয়স ১৫ বছর। পরবর্তী মাসে ৫ নতুন ছাত্র যোগ হলে গড় বয়স ১৫.৫ বছর হয়ে যায়। নতুন ৫ ছাত্রের গড় বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
২০ জন ছাত্রের গড় বয়স = ১৫ বছর
∴ মোট বয়স = ২০ × ১৫ = ৩০০ বছর

আবার, 
পরবর্তী মাসে ৫ জন নতুন ছাত্র যোগ হলে মোট ছাত্র = ২৫ জন
এবং গড় বয়স = ১৫.৫ বছর
∴ নতুন মোট বয়স = ২৫ × ১৫.৫ = ৩৮৭.৫ বছর

∴ নতুন ৫ জন ছাত্রের মোট বয়স = নতুন মোট বয়স - পুরোনো মোট বয়স
= ৩৮৭.৫ - ৩০০
= ৮৭.৫ বছর

∴ নতুন ৫ জন ছাত্রের গড় বয়স = ৮৭.৫ ÷ ৫ = ১৭.৫ বছর

সুতরাং, নতুন ৫ ছাত্রের গড় বয়স ১৭.৫ বছর।

প্রশ্নঃ একজন ব্যবসায়ী প্রতি ডজন কলম ৯৬ টাকায় কেনেন। তিনি ৪ ডজন ৮০ টাকায় এবং ৮ ডজন ২০০ টাকায় বিক্রি করেন। তাহলে তিনি প্রতি ডজনে কত টাকা লাভ করবেন?

সমাধানঃ
১ ডজনের ক্রয়মূল্য = ৯৬ টাকা 
১২ ডজনের ক্রয়মূল্য = ৯৬ × ১২ টাকা 
= ১১৫২ টাকা 

৪ ডজনের বিক্রয়মূল্য = ৯৬ × ৪ = ৩৮৪ টাকা 
৮ ডজনেরবি ক্রয়মূল্য = ৯৬ × ৮ = ৭৬৮ টাকা 
মোট বিক্রয়মূল্য = (৮০ × ৪) + (২০০ × ৮) 
= (৩২০ + ১৬০০) টাকা 
= ১৯২০ টাকা

লাভ = ১৯২০ − ১১৫২ = ৭৬৮ টাকা

∴ প্রতি ডজনে লাভ = ৭৬৮ ÷ ১২ = ৬৪ টাকা

প্রশ্ন: x² = √5x সমীকরণের সমাধান সেট কোনটি? 
সমাধান: 
x² = √5x
বা, x² - √5x = 0
বা, x (x - √5) = 0

হয়, 
x = 0

অথবা, 
(x - √5) = 0
বা, x = √5

∴ সমাধান সেট: {0,√5}

প্রশ্ন: x + 2y = 4 হলে, x³ + 8y³ + 24xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 2y = 4

এখন,
x³ + 8y³ + 24xy
= x³ + (2y)³ + 24xy
= (x + 2y)³ - 3 . x . 2y(x + 2y) + 24xy [a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)]
= (4)³ - 6xy(4) + 24xy
= 64 - 24xy + 24xy
= 64
∴ x³ + 8y³ + 24xy = 64

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 1 : 2√2 : 3 হলে এর বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 1 : 2√2 : 3

ধরি 
১ম বাহু = x
২য় বাহু = 2√2x
৩য় বাহু = 3x

এখন 
⇒ (3x)² = (2√2x)² + x²
⇒ 9x² = 8x² + x²
⇒ 9x² = 9x²

প্রদত্ত ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ। 
সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ সর্বদা 90°

A/D = A/B × B/C × C/D
= 4/3 × 5/4 × 9/10
= 3/2
∴ D:A = 2:3

প্রশ্ন: মালেক সাহেব ৮০০ টাকা ব্যাংকে রাখলেন। ৫ বছর ৬ মাস পর তিনি ৮৮০ টাকা সরল মুনাফা পেলেন। মুনাফার হার কত?

সমাধান:
সময়, n = ৫ বছর ৬ মাস = ৫ বছর + (৬/১২) বছর = ৫.৫ বছর
আসল, p = ৮০০ টাকা
মুনাফা, I = ৮৮০ টাকা

আমরা জানি, 
I = pnr/১০০
⇒ r = (I × ১০০)/pn 
⇒ r = (৮৮০ × ১০০)/(৮০০ × ৫.৫) 
⇒ r = (১১০ × ১০)/৫৫
∴ r = ২০

প্রশ্ন:


সমাধান: 

ⁿc₅ = ⁿc_{n - 5}
∴ ⁿc₅ = ⁿc₇
বা, ⁿc_{n - 5} = ⁿc₇
বা, n - 5 = 7
বা, n = 7 + 5
∴ n = 12

প্রশ্ন: 4x + 4 > 16 অসমতাটির সমাধান সেট নির্ণয় করুন- 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
4x + 4 > 16
⇒ 4x + 4 - 4 > 16 - 4 [উভয়পক্ষ থেকে 4 বিয়োগ করে] 
⇒ 4x > 12
⇒ (4x)/4 > 12/4 [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা ভাগ করে]
∴ x > 3

∴নির্ণেয় সমাধান x > 3
এবং সমাধান সেট, S = {x ∈ R : x > 3}

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

প্রশ্ন: P = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8}, Q = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 9} হলে, P ∩ Q এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
P = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8}
Q = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 9}

P = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
Q = {2, 4, 6, 8}

P ∩ Q = {3, 4, 5, 6, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {4, 6, 8}

চিত্রানুসারে tanx = 4/3 হলে,
cosx = 3/5
কিন্তু x, দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত হওয়ায়  cosx এর মান ঋণাত্মক হবে।
∴ cosx = -(3/5)

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৩ এবং তাদের ল.সা.গু ৫২০। একটি সংখ্যা ৬৫ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
বা, একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = ৫২০ × ১৩
বা, ৬৫ × অপর সংখ্যা = ৫২০ × ১৩
বা, অপর সংখ্যা = (৫২০ × ১৩)/৬৫

∴ অপর সংখ্যা = ৫২০/৫ = ১০৪

একটি ছক্কায় জোড় সংখ্যা = 2, 4, 6 এবং তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = 3, 6
জোড় সংখ্যা এবং তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা এমন সংখ্যা = 2, 3, 4, 6.
সুতরাং জোড় সংখ্যা এবং তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার সম্ভাবনা = 4/6 = 2/3।