গাণিতিক যুক্তি

এখানে,
12² + 35²
= 144 + 1225
= (37)²
∴ ত্রিভূজটি সমকোণী।

প্রশ্ন: x³ - 4x² + 6x - k বহুপদীর একটি উৎপাদক x = 3 হলে, k এর মান কত?

সমাধান:
একটি উৎপাদক x = 3 হলে f(3) = 0 হবে। সুতরাং,
f(x) = x³ - 4x² + 6x - k
f(3) = 3³ - 4 × 3² + 6 × 3 - k = 0
⇒ 27 - 36 + 18 - k = 0
⇒ 9 - k = 0
⇒ k = 9

∴ k এর মান 9.

প্রশ্ন: ১৬ নিচের কোন সংখ্যার ৪% এর সমান?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ৪% = ১৬
⇒ ক × (৪/১০০) = ১৬
⇒ ৪ক = (১৬ × ১০০)
⇒ ক = (১৬ × ১০০)/৪
∴ ক = ৪০০

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. এবং উচ্চতা h সে.মি. হলে, h এর মান কত?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (বাহু)^২
= (√৩/৪) × ৪^২
= (√৩/৪) × ১৬
= ৪√৩ বর্গ সে.মি.

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভিত্তি × উচ্চতা
= (১/২) × ৪ × h
= ২h

প্রশ্নমতে,
২h = ৪√৩
⇒ h = ২√৩

∴ উচ্চতা ২√৩ সে.মি.

1/a < 1/b
∴ a > b
কোন ভগ্নাংশকে বিপরীতকরণ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হয়।

প্রশ্ন: একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 96 বর্গমিটার। ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 96 বর্গমিটার

আমরা জানি, 
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল =  6a², [যেখানে a হলো ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য।]

প্রশনমতে, 
6a² = 96
⇒ a² = 96/6
⇒ a² = 16
⇒ a = √16 = 4
∴ a = 4 মিটার

আবার,
আমরা জানি,
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√3
= 4 × √3  ; [a = 4]
= 4√3

সুতরাং, ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√3 মিটার।

প্রশ্ন: সমাধান করুন: |2x + 1| ≥ 5

সমাধান:
নিয়ম অনুযায়ী, এই অসমতাকে দুটি আলাদা অংশে ভাগ করতে হবে: 2x + 1 ≤ - 5 এবং 2x + 1 ≥ 5
প্রতিটি অংশ আলাদাভাবে সমাধান করে পাই, 

বাম অংশ:
2x + 1 ≤ - 5
⇒ 2x ≤ - 5 - 1 
⇒ 2x ≤ - 6
∴ x ≤ - 3

ডান অংশ:
2x + 1 ≥ 5
⇒ 2x ≥ 5 - 1
⇒ 2x ≥ 4
∴ x ≥ 2

অসমতাটির সমাধান হলো x ≤ - 3 অথবা x ≥ 2 বা (- ∞, -3] ∪ [2, + ∞)

√(x²) = x

সমীকরণের চলকের ক্ষেত্রে যেকোনো চলকের বর্গমূল ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক দুইটাই ধরা হয়ে থাকে। তবে, যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যার মূল (Principal Square Root) সর্বদা ধনাত্মক হবে।
অর্থাৎ,
√(x²) এর মান হবে x

(√x)² = ±x

এক্ষেত্রে, x এর মান ঋণাত্মক হলে জটিল সংখ্যা চলে আসবে।
x = -3 হলে,
(√-1)²  (√3)²
= (i)² (√3)²
= -1 (√3)²
= -3
অর্থাৎ,
(√x)² এর মান x বা -x যেকোনো একটা হতে পারে।

প্রশ্ন: সাভার থেকে রংপুরের দূরত্ব ২৫০ কিলোমিটার। রাহুল সাভার থেকে মোটরসাইকেলে রওয়ানা দেয়। ২০০ কিলোমিটার যাওয়ার পর মোটরসাইকেল নষ্ট হলে সে বাকি পথ অটোরিকশায় গেল। মোটরসাইকেলের গতি ৫০ কিমি/ঘণ্টা এবং অটোরিকশার গতি ২০ কিমি/ঘণ্টা হলে মোট সময় কত লেগেছে?

সমাধান:
মোট দূরত্ব = ২৫০ কিমি
মোটরসাইকেলে গিয়েছে = ২০০ কিমি
∴ মোটরসাইকেলে সময় = ২০০/৫০ = ৪ ঘণ্টা

অটোরিকশায় বাকি পথ = ২৫০ - ২০০ = ৫০ কিমি
∴ অটোরিকশায় সময় = ৫০/২০ = ২.৫ ঘণ্টা

মোট সময় = ৪ + ২.৫ = ৬.৫ ঘণ্টা
অর্থাৎ, ৬ ঘন্টা ৩০ মিনিট।

প্রশ্ন: ৪০০ জন শ্রমিক ৩০ দিনে একটি বাঁধ তৈরি করতে পারে। একই কাজ ২০ দিনে শেষ করতে হলে কতজন অতিরিক্ত শ্রমিক প্রয়োজন?
​
​সমাধান:
​বাঁধ তৈরি করতে,
৩০ দিনে শ্রমিক লাগে= ৪০০ জন 
∴ ১ দিনে শ্রমিক লাগে = (৪০০ × ৩০) জন
​∴ ২০ দিনে শ্রমিক লাগে = (১২০০০)/২০ জন = ৬০০ জন

অতএব, অতিরিক্ত শ্রমিক প্রয়োজন হবে = (৬০০ - ৪০০) জন = ২০০ জন

বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে।
বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে এবং বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে।
পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।

প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে নিম্নের অসমতাটি প্রকাশ করুন:
5 < x < 13

সমাধান:
5 < x < 13

∴ গড় = (13 + 5)/2
= 18/2
= 9

∴ 5 - 9 < x - 9 < 13 - 9        [উভয়পক্ষে 9 বিয়োগ করে]
⇒ - 4 < x - 9 < 4
⇒ |x - 9| < 4

3/(x - 1) = 4/(x + 2)
বা, 4x - 4 = 3x + 6
বা, 4x - 3x = 6 + 4
∴ x = 10

প্রশ্ন: a - 1/a = 3 হলে, a³ - 1/a³ = কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
a³ - 1/a³ = (a - 1/a)³ + 3.a.(1/a) (a - (1/a) 
= (3)³ + 3 × 3
= 27 + 9 
= 36

প্রশ্ন: কোন বেলনের উচ্চতা h এবং ব্যাসার্ধ r হলে, বেলনটির বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
বেলন বা সিলিন্ডার: 
- কোনো আয়তক্ষেত্রের যে কোনো বাহুকে অক্ষ ধরে আয়তক্ষেত্রটিকে ঐ বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তুর সৃষ্টি হয়, তাকে সমবৃত্তভূমিক বেলন বা সিলিন্ডার বলা হয়।

- সমবৃত্তভূমিক বেলনের দুই প্রান্তকে বৃত্তাকার তল, বক্রতলকে বক্রপৃষ্ঠ এবং সমগ্রতলকে পৃষ্ঠতল বলা হয়।
- বেলনের উচ্চতা h এবং ব্যাসার্ধ r হলে-
• ভূমির ক্ষেত্রফল = πr²
• আয়তন (Volume) = πr²h
• বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh
• সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)  । 

১ম পদ a = ৮,
সাধারণ অনুপাত r = ২
∴ n তম পদ = ar^{n - ১} = ১২৮
বা, ৮ ×২^{n - ১} = ১২৮
২^{n - ১} = ১৬
বা, ২^{n - ১} = ২^৪
বা, n - ১ = ৪
∴ n = ৫

প্রশ্ন: যদি ২ জন টাইপিষ্ট ২ মিনিটে ২ পৃষ্ঠা টাইপ করতে পারে তবে কতজন টাইপিষ্ট ৬ মিনিটে ১২ পৃষ্ঠা টাইপ করতে পারে?

সমাধান:
২ মিনিটে ২ পৃষ্ঠা টাইপ করে ২ জন টাইপিষ্ট
১ মিনিটে ২ পৃষ্ঠা টাইপ করে (২ × ২) জন টাইপিষ্ট
১ মিনিটে ১ পৃষ্ঠা টাইপ করে (২ × ২)/২ জন টাইপিষ্ট
৬ মিনিটে ১ পৃষ্ঠা টাইপ করে (২ × ২)/(৬ × ২) জন টাইপিষ্ট
৬ মিনিটে ১২ পৃষ্ঠা টাইপ করে (২ × ২ × ১২)/(৬ × ২) জন টাইপিষ্ট
= ৪ জন

প্রশ্ন: x + 1/x = 2 হলে,  x⁵⁶ + 1/x⁵⁶ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
x + 1/x = 2
⇒ (x² + 1)/x = 2
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x² - 2x + 1 = 0
⇒ x² - 2.x.1 + 1² = 0
⇒ (x - 1)² = 0
⇒ x - 1 = 0
⇒ x = 1

এখন,
x⁵⁶ + 1/x⁵⁶
= 1⁵⁶ + 1/1⁵⁶
= 1 + 1/1
= 1 + 1
= 2

প্রশ্ন: যদি 5^{(x - y)} = 25 এবং 5^{(x + y)} = 3125 হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5^{(x - y)} = 25
⇒ 5^{(x - y)} = 5²
⇒ x - y = 2 .......................... (1)

এবং 5^{(x + y)} = 3125
⇒ 5^{(x + y)} = 5⁵
⇒ x + y = 5 .......................... (2)

এখন, (1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
(x - y) + (x + y) = 2 + 5
⇒ 2x = 7
⇒ x = 7/2 
∴ x = 3.5

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি গ্রামের লোকসংখ্যা ১৮% হারে বৃদ্ধি পেয়ে ২৫৯৬ জন হলে পূর্বের লোকসংখ্যা কত ছিল? 

সমাধান: 
১৮% বৃদ্ধিতে- 
বর্তমান লোকসংখ্যা ১১৮ জন হলে পূর্বে ছিল = ১০০ জন 
∴ বর্তমান লোকসংখ্যা ১ জন হলে পূর্বে ছিল = ১০০/১১৮ জন 
∴ বর্তমান লোকসংখ্যা ২৫৯৬ জন হলে পূর্বে ছিল = (১০০ × ২৫৯৬)/১১৮ জন 
= ২২০০ জন 

∴ পূর্বের লোকসংখ্যা = ২২০০ জন।

প্রশ্ন: 3^y + 3^{2 - y} = 10 হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
3^y + 3^{2 - y} = 10
⇒ 3^y + 3²/3^y = 10
⇒ q + (9/q) = 10 [ধরি, 3^y = q]
⇒ (q² + 9)/q = 10
⇒ q² - 10q + 9 = 0
⇒ q² - 9q - q +9 = 0
⇒ q(q - 9) - 1(q - 9) = 0
⇒ (q - 9)(q - 1) = 0

অর্থাৎ, q = 9 অথবা q = 1

যদি q = 9, তাহলে 3^y = 9
⇒ 3^y = 3²
⇒ y = 2

যদি q = 1, তাহলে 3^y = 1
⇒3^y =  3⁰
⇒ y = 0

অতএব, y = 0, 2

প্রশ্ন: একটি কোণের মান তার পূরক কোণের মানের চতুর্থাংশের সমান। কোণটির মান কত? 

সমাধান:
ধরি,
কোণটির মান = a°
এর পূরক কোণ = 90° - a°

প্রশ্নমতে,
a° = (90° - a°)/4
⇒ 4a° = 90° - a°
⇒ 5a° = 90°
∴ a° = 90°/5 = 18°

প্রশ্ন: তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একযোগে নিক্ষেপ করা হলো। এই পরীক্ষায় কেবলমাত্র দুইটি হেড (H) এবং একটি টেইল (T) আসার প্রতিকূলে সম্ভাবনা কত? 

সমাধান:
তিনটি মুদ্রা একযোগে নিক্ষেপ করা হলে নমুনা ক্ষেত্র হবে,
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

এখানে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা n(S) = 8

কেবলমাত্র দুইটি হেড ও একটি টেল আসার অনুকূল ফলাফলগুলো হলো:
{HHT, HTH, THH}

∴ অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা, n(A) = 3

∴ ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা, P(A) = n(A)/n(S) = 3/8

আমরা জানি,
কোনো ঘটনা প্রতিকূলে অর্থাৎ, না ঘটার সম্ভাবনা: P(A') = 1 - P(A)
= 1 - 3/8
= 5/8

প্রশ্ন: ABC ত্রিভূজের ∠B = 90 ডিগ্রী এবং ∠A : ∠C = 3 : 6 হলে কোণ দুটির অনুপাত কত?

সমাধান:
ABC ত্রিভুজে ∠B = 90° (সমকোণী ত্রিভুজ) ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180° 
সুতরাং ∠A + ∠C + 90° = 180°
⇒ ∠A + ∠C = 90°

প্রশ্নমতে,
∠A : ∠C = 3 : 6
⇒ ∠A/∠C = 3/6 = 1/2 
⇒ ∠A = (1/2) × ∠C

এখন ∠A + ∠C = 90° বসিয়ে:
(1/2)∠C + ∠C = 90°
⇒ (1/2 + 1)∠C = 90°
⇒ (3/2)∠C = 90°
⇒ ∠C = 90° × (2/3) = 60°

তাহলে, ∠A = 90° - 60° = 30° 

অতএব কোণ দুটির (∠A ও ∠C-এর) অনুপাত = 30° : 60° 

প্রশ্ন: তিনটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলে ঠিক দুটি হেড (H) আসার সম্ভাবনা শতকরা কত?

সমাধান:
তিনটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলে, প্রতিটি মুদ্রার দুটি সম্ভাব্য ফলাফল আছে: হেড (H) অথবা টেল (T)।
∴ মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ২ × ২ × ২ = ৮টি
সবগুলো সম্ভাব্য ফলাফল হলো, {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

এখন ঠিক দুটি হেড (অর্থাৎ দুটি H এবং একটি T) আসার ক্ষেত্রগুলো হলো = {HHT, HTH, THH}
অর্থাৎ অনুকূল ফলাফল = ৩টি

∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল/মোট ফলাফল = ৩/৮

∴ শতকরা হিসাবে = (৩/৮) × ১০০ = ৩৭.৫%

প্রশ্ন: একটি ট্রেনের গতিবেগ ঘণ্টায় ৪৮ কি.মি। ট্রেনের দৈর্ঘ্য ২৫০ মিটার হলে ট্রেনটি ১৫০ মিটার সেতু অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
ট্রেনটিকে সেতু অতিক্রম করতে হয় ট্রেনের দৈর্ঘ্য এবং সেতুর দৈর্ঘ্য মিলিয়ে মোট দূরত্ব অতিক্রম করতে।
মোট দৈর্ঘ্য = (২৫০ + ১৫০) মিটার = ৪০০ মিটার

আমরা জানি,
১ কি.মি = ১০০০ মিটার
৪৮ কি.মি = (১০০০ × ৪৮) মিটার = ৪৮০০০ মিটার

৪৮০০০ মিটার যায় = ৩৬০০ সেকেন্ডে
∴ ১ মিটার যায় = ৩৬০০/৪৮০০০ সেকেন্ডে
∴ ৪০০ মিটার যায় = (৩৬০০ × ৪০০)/৪৮০০০
= ৩০ সেকেন্ডে

অর্থাৎ ট্রেনটি সেতু অতিক্রম করতে ৩০ সেকেন্ড সময় নেবে।

প্রশ্ন: যদি θ একটি সূক্ষ্মকোণ এবং 7sin²θ + 3cos²θ = 4 হয়, তাহলে cot²θ এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
7sin²θ + 3cos²θ = 4
⇒ 7sin²θ + 3(1 − sin²θ) = 4
⇒ 7sin²θ + 3 − 3sin²θ = 4
⇒ 4sin²θ = 1
⇒ sin²θ = 1/4
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
⇒ θ = 30°

∴ cot²30° = (√3)² = 3

প্রশ্ন: cosθ - sin2θ= 0 হলে θ এর মান কত?

সমাধান:
 θ = 30° হলে 
cos30° - sin(2 ×30°)
=cos30° - sin60°
= (√3/2) - (√3/2)
=(√3 - √3)/2
= 0/2
= 0

প্রশ্ন: 20% কমে একটি পণ্য 1280 টাকায় বিক্রয় হলে, পণ্যটির পূর্বের বিক্রয় মূল্য কত টাকা ছিল?

সমাধান:
ধরি,
পণ্যটির পূর্বের বিক্রয়মূল্য ছিল 100%।
20% ছাড় দেওয়ায় পণ্যটির বর্তমান বিক্রয়মূল্য হলো (100% - 20%) = 80%।
প্রশ্ন অনুযায়ী, এই 80% মূল্য হলো 1280 টাকা।

সুতরাং,
80% = 1280 টাকা
1% = (1280/80) টাকা = 16 টাকা
100% = (16 × 100) টাকা = 1600 টাকা

অতএব, পণ্যটির পূর্বের বিক্রয়মূল্য ছিল 1600 টাকা।

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার এক-তৃতীয়াংশ ও এক-চতুর্থাংশের পার্থক্য ৩.৫?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

শর্তমতে, 
ক/৩ - ক/৪ = ৩.৫
বা, (৪ক - ৩ক)/১২ = ৩.৫
বা, ক/১২ = ৩.৫
বা, ক = ৩.৫ × ১২
∴ ক = ৪২

প্রশ্ন: 32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
log₂32
= log₂(2⁵)
= 5 × log₂2
= 5 × 1
= 5