গাণিতিক যুক্তি

ধরি, দৈর্ঘ্য ক ও প্রস্থ খ
তাহলে, ক্ষেত্রফল = কখ
দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি হলে নতুন দৈর্ঘ্য = ১.২০ক
ও প্রস্থ ২০% হ্রাস হলে নতুন প্রস্থ = ০.৮০খ
নতুন ক্ষেত্রফল = ০.৯৬ কখ
ক্ষেত্রফল হ্রাস= কখ - ০.৯৬কখ = ০.০৪ কখ
শতকরা ক্ষেত্রফল হ্রাস = (০.০৪ × ১০০)/১০০ = ৪%

প্রশ্ন: যদি P(x) = x³ + kx² + 6x - 12 হয়, তাহলে k-এর কোন মানের জন্য P(2) = 0 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, P(x) = x³ + kx² + 6x - 12
বা, P(2) = (2)³ + k(2)² + 6(2) - 12
বা, P(2) = 8 + 4k + 12 - 12
বা, P(2) = 4k + 8

যেহেতু, P(2) = 0
∴ 4k + 8 = 0
বা, 4k = -8
বা, k = -8/4
∴ k = - 2

∴ k এর মান - 2 হলে P(2) = 0 হবে।

প্রশ্ন: একটি ভ্রমণকারী দলের ৫ জনের গড় বয়স ২৫ বছর। ঐ দলে নতুন ১ জন যোগ দিলে দলের সদস্যদের গড় বয়স হয় ২৭ বছর। ষষ্ঠ জনের বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
৫ জনের গড় বয়স = ২৫ বছর
∴ ৫ জনের মোট বয়স = (৫ × ২৫) বছর = ১২৫ বছর

মনে করি, ষষ্ঠ জনের বয়স = ক বছর
ষষ্ঠ জন যোগ দিলে ৬ জনের মোট বয়স = (১২৫ + ক) বছর

প্রশ্নমতে,
(১২৫ + ক)/৬ = ২৭
বা, ১২৫ + ক = ১৬২
বা, ক = ১৬২ - ১২৫
বা, ক = ৩৭

∴ ষষ্ঠ জনের বয়স = ৩৭ বছর

প্রশ্ন: একটি শহরের জনসংখ্যা ১২% বৃদ্ধি পেয়ে ২২৪০ জন হলে পূর্বের জনসংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:
১২% বৃদ্ধিতে-
বর্তমান জনসংখ্যা ১১২ জন হলে পূর্বে ছিল = ১০০ জন
∴ বর্তমান জনসংখ্যা ১ জন হলে পূর্বে ছিল = ১০০/১১২ জন
∴ বর্তমান জনসংখ্যা ২২৪০ জন হলে পূর্বে ছিল = (১০০ × ২২৪০)/১১২ জন
= ২০০০ জন

∴ পূর্বের জনসংখ্যা = ২০০০ জন।

³√x⁴ = 4
বা, (³√x⁴)³ = (4)³ [উভয় পক্ষকে ঘন করে]
বা, x⁴ = 64
∴ x² = √64 = 8

আমরা জানি, n-তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 18-তম মাসে সঞ্চয় = a + (18 - 1)d
= 1200 + (17 × 100) = 2900 টাকা
 
আবার, প্রথম n-সংখ্যক পদের সমষ্টি 
= n/2 {2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 18 মাসের সঞ্চয় = 18/2 {2 × 1200 + (18 - 1)100}
= 9(2400 + 1700)
= 36900 টাকা 

আমরা জানি, ∠A + ∠B + ∠C = 180°
মনে করি, ∠B + ∠C = 78°
∴ ∠A = 180° - 78° = 102°

প্রশ্ন: যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ ১০% বৃদ্ধি পায় তবে এর ক্ষেত্রফল কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহু = ১০০ একক
ক্ষেত্রফল = (১০০)^২ বর্গএকক = ১০০০০ বর্গএকক 

বাহুর দৈর্ঘ্য ১০% বৃদ্ধি করা হলে,
নতুন বাহু = ১০০ + ১০০ এর ১০% = ১০০ + ১০ = ১১০ একক 
নতুন ক্ষেত্রফল = (১১০)^২ = ১২১০০ বর্গ একক

 ∴ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (১২১০০ - ১০০০০) বর্গ একক = ২১০০ বর্গ একক 

১০০০০ বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = ২১০০ বর্গ একক
∴ ১ বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় =২১০০/১০০০০ বর্গ একক
∴ ১০০ বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = (২১০০ × ১০০)/১০০০০ = ২১ বর্গ একক 

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পাবে = ২১ %

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলে, ছক্কার উপরে থাকা সংখ্যাগুলোর গুণফল 6 পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
লুডুর দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = 6²
= 36

ছক্কার উপরে থাকা সংখ্যাগুলোর গুণফল ৬ পাওয়ার অনুকূল ঘটনা = {(1, 6), (3, 2), (2, 3), (6, 1)} = 4 টি

∴ গুণফল 6 পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 4/36
= 1/9

৭% লাভে জামাটির বিক্রয়মূল্য ১০৭ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
তাহলে বিক্রয়মূল্য ৫৩৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০×৫৩৫/১০৭ = ৫০০ টাকা

আবার ২০% ক্ষতিতে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ৮০ টাকা
ক্রয়মূল্য ৫০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ৮০/১০০ X ৫০০ = ৪০০ টাকা।

প্রশ্ন: একজন মাঝি স্রোতের অনুকূলে ৩ ঘণ্টায় ১৪ মাইল যায় এবং ৪ ঘণ্টায় প্রাথমিক অবস্থানে ফিরে আসে । তার ভ্রমণে প্রতি ঘন্টায় গড় গতিবেগ কত? 

সমাধান: 
মোট দূরত্ব = (১৪ + ১৪) মাইল = ২৮ মাইল
মোট সময় = (৪ + ৩) ঘণ্টা = ৭ ঘণ্টা 

∴ ঘন্টায় গড় গতিবেগ = (২৮/৭) মাইল/ঘণ্টা
= ৪ মাইল/ঘণ্টা। 

প্রশ্ন: একটি পাইপ খালি ট্যাঙ্ক ১৫ মিনিটে ভর্তি করতে পারে। অন্য একটি পাইপ প্রতি মিনিটে ১০ লিটার পানি বের করে দেয়। দুটি পাইপ একসাথে খোলা হলে খালি ট্যাঙ্কটি ৩০ মিনিটে ভর্তি হয়। ট্যাঙ্কটিতে কত লিটার পানি ধরে?

সমাধান:
ধরি,
অন্য পাইপটি ট্যাঙ্কটি খালি করতে 'ক' মিনিট সময় নেয়।

প্রশ্নানুসারে,
(১/১৫) - (১/ক) = ১/৩০
⇒ (১/১৫) - (১/৩০) = ১/ক
⇒ ১/৩০ = ১/ক
∴ ক = ৩০

অতএব, অন্য পাইপটি ট্যাঙ্কটি ৩০ মিনিটে খালি করে।
∴ ট্যাঙ্কের ধারণক্ষমতা = ৩০ × ১০ = ৩০০ লিটার

সুতরাং, ট্যাঙ্কের ধারণক্ষমতা = ৩০০ লিটার। 

Question: An express train is 2.5 times faster than a private car. If a person wants to travel 1330 km, but he wants to spend the same amount of time in both train and car. How far will he travel by car?

Solution:
Given,
Speed of train: v_t = 2.5 × v_c(car speed)
Total distance = 1330 km

Distance traveled by train = 1330 - x km
Time spent in car = Time spent in train

Distance traveled by car = x km


∴ He will travel 380 KM by car. 

প্রশ্ন: ৫ : ৬, ৩ : ২ এবং ৪ : ৩ এই অনুপাতগুলোর মিশ্র অনুপাত কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
অনুপাতগুলো = ৫ : ৬, ৩ : ২ এবং ৪ : ৩

অনুপাতগুলোর পূর্ব রাশির গুণফল = ৫ × ৩ × ৪ = ৬০
অনুপাতগুলোর উত্তর রাশির গুণফল = ৬ × ২ × ৩ = ৩৬

∴ মিশ্র অনুপাত = ৬০ : ৩৬
= ৫ : ৩

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য?

সমাধান:
• কোনো সংখ্যা ৬ দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে তা অবশ্যই ২ এবং ৩ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

ক) ১২০৪৫৮: শেষ অঙ্ক ৮, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য।
অঙ্কগুলোর যোগফল = ১ + ২ + ০ + ৪ + ৫ + ৮ = ২০, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়। তাই ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

খ) ১৩৫৭৯২: শেষ অঙ্ক ২, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য।
অঙ্কগুলোর যোগফল = ১ + ৩ + ৫ + ৭ + ৯ + ২ = ২৭, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং ১৩৫৭৯২ সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।

গ) ১৪৮৬১০: শেষ অঙ্ক ০, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য।
অঙ্কগুলোর যোগফল = ১ + ৪ + ৮ + ৬ + ১ + ০ = ২০, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়। তাই ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

ঘ) ১৬২৮৪৪: শেষ অঙ্ক ৪, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য।
অঙ্কগুলোর যোগফল = ১ + ৬ + ২ + ৮ + ৪ + ৪ = ২৫, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়। তাই ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

∴ অপশন (খ) ১৩৫৭৯২ সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।

প্রশ্ন: 7 জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - 1)!
7 জনকে গোল টেবিলে বসানো যাবে = (7 - 1)!
= 6!
= 720 উপায়ে

প্রশ্ন: একটি মুদ্রাকে তিনবার নিক্ষেপ করা হলো। কমপক্ষে ২ টি H (Head) আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলাফলগুলো হবে:
= HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT
মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ৮ টি 

এর মধ্যে কমপক্ষে ২ টি Head আসলে অনুকূল ফলাফল হয় = HHH, HHT,HTH THH অর্থাৎ ৪ টি 

∴ মুদ্রাকে ৩ বার নিক্ষেপ করা হলে কমপক্ষে ২ টি Head আসার সম্ভাবনা = ৪/৮ = ১/২

log₂[ log₃ ( log₂x)] = 1
⇒ log₃(log₂x) = 2¹ = 2
⇒ log₂x = 3² = 9
⇒ x = 2⁹ = 512

প্রথম পদ = ২
সাধারণ অন্তর = ৪
সুতরাং, ২০২ তম পদ = ২ + (২০২-১)*৪ = ৮০৬

প্রশ্ন: 3a³ + 2a² - 21a - 20 রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
f(a) = 3a³ + 2a² - 21a - 20
∴ ‍f(- 1) = 3.(- 1)³ + 2.(- 1)² - 21.(- 1) - 20
= - 3 + 2 + 21 - 20
= 23 - 23
= 0

∴ ‍(a + 1), f(a) এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: P = x² - 16, Q = x² + 7x + 12, R = 4x + 16 হলে, P, Q ও R এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = x² - 16
Q = x² + 7x + 12
R = 4x + 16

∴ P = x² - 16
= x² - 4²
= (x + 4) (x - 4)

∴ Q = x² + 7x + 12
= x² + 4x + 3x + 12
= x(x + 4) + 3(x + 4)
= (x + 4) (x + 3)

∴ R = 4x + 16
= 4(x + 4)

∴ P, Q ও R এর গ.সা.গু = (x + 4)

প্রশ্ন:  এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্নমতে, ২x/৩ - x/৩=১৫০০
বা, (২x - x)/৩ = ১৫০০
∴ x= ৪৫০০ টাকা

প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে জ্যা PQ = 6 সে.মি. এবং OR ⊥ PQ হলে, ∠QOS কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান: 
ΔPOQ- এ OQ = OP
অতএব, ΔPOQ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
দেওয়া আছে,
∠OQP = 30° এবং ∠OPQ = 30°

∴ ∠QOP = 180° - (30° + 30°) = 120°

এবং চিত্রে দেখা যাচ্ছে, S, O, P একই সরলরেখায় অবস্থিত
অর্থাৎ,
∠QOS = 180° - ∠QOP 
= 180° - 120°
= 60°
∴ ∠QOS = 60°

নেকলেসে পাথর লাগানোর উপায় = (7 - 1)!/2 [(a - 1)!/2]
= 720/2
= 360

মোট লটারি ৫৭০টি। সাইফুলের ক্রয়কৃত টিকেট ১৫টি। সাইফুলের প্রথম পুরস্কার পাওয়ার সম্ভাবনা = ১৫/৫৭০
= ১/৩৮.

প্রশ্ন: সরল সুদের হার শতকরা কত টাকা হলে, যেকোনো মূলধন ৮ বৎসরে সুদে-আসলে তিনগুণ হবে? 

সমাধান: 
ধরি,
আসল = x টাকা
∴ সুদে-আসলে ৩ গুণ = ৩x টাকা
∴ সুদ = (৩x - x) টাকা
= ২x টাকা

x টাকার ৮ বৎসরের সুদ = ২x টাকা
∴ ১ টাকার ১ বৎসরের সুদ = ২x/(x × ৮) টাকা
∴ ১০০ টাকার ১ বৎসরের সুদ = (২x × ১০০)/(x × ৮) টাকা
= ২৫ টাকা

∴ শতকরা সরল সুদের হার = ২৫ টাকা ।

এখানে দুটি ধারা বিদ্যমানঃ
৩, ৪, ৫, ৬, ৭; যেখানে প্রতি পদে ১ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে
এবং, ৭, ১৪, ২১, ২৮, ৩৫; যেখানে প্রতি পদে ৭ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে
অর্থাৎ, ধারাটির দশম পদ হবে ৩৫

বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে (২১৩ - ৫), এবং (৯৪১ - ৫) এর গ.সা.গু.
অর্থাৎ ২০৮, ৯৩৬ এর গ.সা.গু.

এখন, ২০৮)৯৩৬(৪
                  ৮৩২
                 -------
                  ১০৪)২০৮(২
                          ২০৮
                         ------
                            ×

 ∴ গ.সা.গু. ১০৪।

প্রশ্ন: A = π/2 এবং B = π/6 হলে, sin(A + B) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = π/2 এবং B = π/6
∴ sin(A + B) 
= sin{(π/2) + (π/6)}
= sin{3π + π)/6}
= sin(4π/6)
= sin(2π/3)
= sin120°     [π = 180°]
= sin(90° + 30°)
= cos30°
= √3/2

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমির দৈর্ঘ্য 25 সে.মি. এবং উচ্চতা 16 সে.মি.। সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল হবে:

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ভূমি = 25 সে.মি.
এবং উচ্চতা = 16 সে.মি.

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= (25 × 16)
= 400 বর্গ সে.মি.

∴ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 400 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: রাজশাহী বিমানবন্দরের রানওয়ের দৈর্ঘ্য ১.৫ কিলোমিটার ও প্রস্থ ৩০ মিটার। রানওয়ের চতুর্পাশে প্রতি ৩ মিটার অন্তর একটি লাইট প্রতিস্থাপন করা হলে মোট কতগুলো লাইট লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রানওয়ের দৈর্ঘ্য = ১.৫ কিলোমিটার = ১৫০০ মিটার
রানওয়ের প্রস্থ = ৩০ মিটার
প্রতি ৩ মিটার অন্তর লাইট বসানো হবে।

দৈর্ঘ্য বরাবর লাইট লাগবে = (১৫০০/৩) + ১ = ৫০০ + ১ = ৫০১
প্রস্থ বরাবর লাইট লাগবে = ৩০/৩ + ১ = ১০ + ১ = ১১

মোট লাইট লাগবে = (৫০১ + ৫০১ + ১১ + ১১) - ৪ [ এখানে ৪ হলো দুই দিকের প্রস্থের দুই প্রান্তের মোট ৪টি লাইট ]
= ১০২০

প্রশ্ন: 616 বর্গমিটার ক্ষেত্রফল এবং 88 মিটার পরিধি বিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাস বের করুন।

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ব্যাস = 2r
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² 

প্রশ্নমতে,
বৃত্তের পরিধি = 88 মিটার
⇒ 2πr = 88
⇒ 2 × (22/7) × r = 88
⇒ (44/7) × r = 88
⇒ r/7 = 2
⇒ r = 7 × 2
⇒ r = 14 মিটার।

বৃত্তটির ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ
= 2 × 14
= 28 মিটার।

অতএব, বৃত্তটির ব্যাস হলো 28 মিটার।

a² + a + 1/a + 1/a²
= a² + 1/a² + a + 1/a
= (a + 1/a)² - 2.a.1/a + (a + 1/a)
= 2² - 2 + 2
= 4

প্রশ্ন: x³ - 3x² + ax - 6 বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 2 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ - 3x² + ax - 6
যেহেতু (x - 2) রাশিটির একটি উৎপাদক, সেহেতু x = 2 হলে f(x) = 0 হবে।

এখন, f(2) নির্ণয় করি,
f(2) = 2³ - 3(2²) + a(2) - 6
⇒ f(2) = 8 - 12 + 2a - 6
⇒ f(2) = 2a - 10

শর্তমতে, f(2) = 0
⇒ 2a - 10 = 0
⇒ 2a = 10
⇒ a = 5