গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: একটি ছাগল ৮% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। ছাগলটি আরও ৮০০ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রয় করলে ৮% লাভ হতো। ছাগলটির ক্রয়মূল্য কত? 

সমাধান: 
ছাগলটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে,
৮% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ৮) টাকা = ৯২ টাকা
৮% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ৮) টাকা = ১০৮ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য বেশি হয় = (১০ ৮- ৯২) টাকা = ১৬ টাকা 

বিক্রয়মূল্য ১৬ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/১৬ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ৮০০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৮০০)/১৬ টাকা  
= ৫০০০ টাকা 

∴ ছাগলটির ক্রয়মূল্য = ৫০০০ টাকা । 

4 টি বর্ণ নিয়ে মোট সাজানোর উপায় = 4!

যেহেতু ১ জন পুরুষ সর্বদাই উপস্থিত থাকবে তাই ৫+৪ =৯ জন থেকে ৩ সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করা যাবে = ⁹c₃ = 84

প্রশ্ন: দুইটি রাশির অনুপাত ৪ : ৭। পূর্ব রাশি ২৮ হলে, উত্তর রাশি কত?

সমাধান:
ধরি, উত্তর রাশি = ক

প্রশ্নমতে,
৪ : ৭ = ২৮ : ক
⇒ (৪/৭) = (২৮/ক)
⇒ ৪ক = ২৮ × ৭
⇒ ক = (২৮ × ৭)/৪
∴ ক = ৪৯

∴ উত্তর রাশি ৪৯

মনে করি, নির্ণেয় সংখ্যার দশম স্থানীয় অঙ্ক x এবং একক স্থানীয় অঙ্ক y। অতএব, সংখ্যাটি 10x + y।
১ম শর্ত, x + y + 10 = 6x ........(1)
∴ y = 5x - 10 ...........(2)
২য় শর্ত, 10y + x = 10x + y - 9
⇒ 10y + x - 10x - y + 9 = 0
⇒ 9(5x - 10) - 9x + 9 = 0
⇒ 45x -90 - 9x + 9 = 0
⇒ 36x = 81
⇒ x = 81/36 = 9/4
(2) নং থেকে y = 5/4
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = (10 × 9/4) + 5/4 = 95/4

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৪৭, ৭৯, ১১১ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ২, ৪, ৬ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৪৭, ৭৯, ১১১ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ২, ৪, ৬ ভাগশেষ থাকবে।

এখানে,
৪৭ - ২ = ৪৫
৭৯ - ৪ = ৭৫
১১১ - ৬ = ১০৫

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ৪৫, ৭৫ ও ১০৫ এর গ. সা. গু।

৪৫ = ৩ × ৩ × ৫
৭৫ = ৩ × ৫ × ৫ 
১০৫ = ৩ × ৫ × ৭

∴ গ. সা. গু. = ৩ × ৫ = ১৫
∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১৫।

আমরা জানি মুনাফা-আসল = p(1+nr)
প্রশ্নমতে, 2p = p (১ + ৬r)
∴ r = ১/৬
∴ মূলধন p = ২০২৫/(১ +৪/৬)
= (২০২৫ × ৩)/৫ = ১২১৫

প্রশ্ন: ∣x + 2∣ > 5 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি? 

সমাধান:
∣x + 2∣ > 5
x + 2 কে ধনাত্মক ধরে,
x + 2 > 5 
⇒ ​x > 5 - 2
⇒ ​x > 3

আবার, 
x + 2 কে ঋণাত্মক ধরে,
- (x + 2) > 5
⇒ ​x + 2 < - 5
⇒ ​x < - 5 - 2
⇒ ​x < - 7
​
অসমতার সমাধান = ​​x < - 7 অথবা x > 3
 অর্থাৎ x এর মান - ∞ থেকে - 7 পর্যন্ত অথবা  3 থেকে  ∞ পর্যন্ত 

​সুতরাং,
∣x + 2∣ > 5 অসমতাটির সমাধান সেট =
(− ∞,− 7) ∪ (3, ∞)​
​

প্রশ্ন: একটি ঝুড়িতে ৪টি লাল, ৭টি সবুজ এবং ৯টি নীল বেলুন আছে। দৈব চয়নের মাধ্যমে একটি বেলুন তুললে সেটি লাল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ঝুড়িতে মোট বেলুনের সংখ্যা = (৪ + ৭ + ৯) = ২০ টি

লাল বেলুনের সংখ্যা = ৪ টি
বেলুনটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = লাল বেলুনের সংখ্যা/মোট বেলুনের সংখ্যা 
​= ৪/২০ 
​= ১/৫

আমরা জানি, কোনো একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা এবং না ঘটার সম্ভাবনার যোগফল ১ হয়।

সুতরাং, বেলুনটি লাল না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - লাল হওয়ার সম্ভাবনা
= ১ - ৪/২০
= (২০ - ৪)/২০
= ১৬/২০ = ৪/৫

অতএব, বেলুনটি লাল না হওয়ার সম্ভাবনা ৪/৫।

প্রশ্ন: cos 60° এর মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,

ত্রিকোণমিতির মান তালিকা অনুযায়ী- 
cos 0° = 1
cos 30° = √3/2
cos 45° = 1/√2
cos 60° = 1/2
cos 90° = 0 

অতএব, cos 60° এর মান = 1/2 ।

প্রশ্ন: যদি g(x) = 7 - 3x এবং g(2m) = g(m + 2) হয়, তবে g(m) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
g(2m) = g(m + 2)
এবং g(x) = 7 - 3x

∴ g(2m) = 7 - 3(2m)
= 7 - 6m

∴ g(m + 2) = 7 - 3(m + 2)
= 7 - 3m - 6
= 1 - 3m

প্রশ্নমতে,
7 - 6m = 1 - 3m
⇒ 6m - 3m = 7 - 1
⇒ 3m = 6
⇒ m = 6/3
⇒ m = 2

∴ g(m) = 7 - 3(2)
= 7 - 6
= 1

দেওয়া আছে,
১টি তারকা (S) = ৪টি বৃত্ত (C), ৩টি বৃত্ত (C) = ৪টি ডায়মন্ড (D)
  অতএব, S = 4C, 3C = 4D

তাহলে, C = (4/3) × D
       S = 4 × (4/3) × D
       S = 16/3  × D
      S : D = 16 : 3

বিকল্প পদ্ধতি:
S = 4C
S : C = 4 : 1 [যেহেতু ১ টি তারকা ৪টি বৃত্তের সমান]
আবার, 3C = 4D
∴ C = (4/3)D [অর্থ্যাৎ, বৃত্ত হীরার ৪/৩ গুণ বড়]

S : C = 4 : 1 = 16 : 4
C : D = 4 : 3
∴ S : C : D = 16 : 4 : 3
∴ S : D = 16 : 3

প্রশ্ন: 15 টি বিন্দু দিয়ে কতগুলো চতুর্ভুজ গঠন করা যায়?

সমাধান:
আমরা জানি, একটি চতুর্ভুজ গঠন করতে 4টি বিন্দুর প্রয়োজন হয়।
এখানে মোট বিন্দুর সংখ্যা, n = 15
∴ ১৫ টি বিন্দু দিয়ে গঠিত চতুর্ভুজ সংখ্যা = ¹⁵C₄
= 15!/{4! × (15 - 4)!}
= 15!/(4! × 11!)
= (15 × 14 × 13 × 12 × 11!)/(4 × 3 × 2 × 1 × 11!)
= (15 × 14 × 13 × 12)/(4 × 3 × 2 × 1)
= (15 × 14 × 13 × 12)/24
= 32760/24
= 1365

প্রশ্নমতে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1400 বর্গ মি.
বা, (b/4)×√(4a² - b²) = 1400
বা, (100/4)×√(4a² - 100²) = 1400
∴ a = 57.306 মি.

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ও বর্গের অন্তরফল যথাক্রমে 61 ও 11 হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যা দুইটি x এবং y

∴ x² + y² = 61 ..........(¡) 
    x² - y² = 11 ..........(¡¡) 
---------------------------------------
(+) করে, 2x² = 72
বা, x² = 72/2 
বা, x² = 36 
বা, x² = 6² 
∴ x = 6

(¡) সমীকরণে x-এর মান বসিয়ে পাই,
y² = 61 - x² 
বা, y² = 61 - (6)²
বা, y² = 61 - 36 
বা, y² = 25
বা, y² = 5² 
∴ y = 5 

∴ (x, y) = (6, 5) । 

প্রশ্ন: একটি চকলেটের দাম ০.৫০ টাকা। যদি একই সাথে ১০টি চকলেট কেনা হয়, তাহলে তার মোট দাম ৩.৪০ টাকা। আলাদাভাবে ১০টি চকলেট কিনলে যে মূল্য হবে, তার তুলনায় একসাথে ১০টি চকলেট কেনার ফলে কত শতাংশ সাশ্রয় হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
একটি চকলেটের দাম = ০.৫০ টাকা
∴ ১০টি চকলেট মোট দাম হবে = ১০ × ০.৫০ = ৫.০০ টাকা

আবার, 
একসঙ্গে ১০টি চকলেট কিনলে দাম পড়ে = ৩.৪০ টাকা

∴ সাশ্রয় হওয়া টাকা = ৫.০০ - ৩.৪০ = ১.৬০ টাকা

∴ সাশ্রয়ের শতকরা হার = (সাশ্রয় হওয়া টাকা /আলাদা কেনার দাম) × ১০০%
= (১.৬০/৫.০০) × ১০০%
= (১৬০/৫)%
= ৩২%

সুতরাং, একসঙ্গে ১০টি চকলেট কিনলে ৩২% সাশ্রয় হয়।

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে চতুর্থ পদটি 64 এবং সপ্তম পদটি 512 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
গুণোত্তর অনুক্রমে প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r

চতুর্থ পদ = 64
∴ ar^{4 - 1} = 64
⇒ ar³ = 64 ......(1)

সপ্তম পদ = 512
∴ ar⁶ = 512 ......(2)

(2) নং কে (1) দ্বারা ভাগ করে পায়ী,
ar⁶/ar³ = 512/64
⇒ r^{6 - 3} = 8
⇒ r³ = 2³
⇒ r = 2

(1) নং হতে পাই,
a . 2³ = 64
⇒ a = 64/8
⇒ a = 8

∴ প্রথম পদ হলো 8

প্রশ্ন: যদি x + 1/x = 2 হয়, তবে x³ + (1/x)³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x + 1/x = 2

আমরা জানি, 
x³ + (1/x)³ = (x + 1/x)³ - 3.x.1/x (x + 1/x)
= (2)³ - 3 × 2
= 8 - 6
= 2

১ম পদ a = 4
সাধারণ অনুপাত r = 12/4 = 3
সমষ্টি s = a(rⁿ - 1)/(r -1)
সাতটি পদের সমষ্টি s₇ = 4(3⁷ - 1)/(3 - 1)
s₇ = 4372

ধরি, বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ √৩/৪ a^২ = ৬৪√৩
বা, a² = ৬৪ × ৪
∴ a = ১৬ সে.মি.
আবার, ১/২ × BC × AD = ৬৪√৩
বা, BC × AD = ১২৮√৩
বা, AD = (১২৮√৩)/BC
= (১২৮√৩)/১৬
= ৮√৩ সে. মি.

প্রশ্ন: 15x²y⁴ কে 4x²y³ দ্বারা গুণ করলে গুণফল কত হবে? 

সমাধান: 
15x²y⁴ × 4x²y³
= (15 × 4) × (x² × x²) × (y⁴ × y³)
= (15 × 4) × (x^{2 + 2}) × (y^{4 + 3})
= 60x⁴y⁷  [সূচক নিয়ম অনুযায়ী]

∴ নির্ণেয় গুণফল = 60x⁴y⁷ 

x = ৯০° - ৩৫° = ৫৫°
∴ x এর সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৫৫° = ১২৫°

প্রশ্ন: 17 + 14 + 11 + .......... - 7 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 17
সাধারণ অন্তর, d = 14 - 17 = - 3
n-তম পদ = - 7

আমরা জানি,
n-তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
a + (n - 1)d = - 7
⇒ 17 + (n - 1)(- 3) = - 7
⇒ 17 - 3n + 3 = - 7
⇒ 20 - 3n = - 7
⇒ 3n = 20 + 7
⇒ 3n = 27
⇒ n = 27/3
⇒ n = 9

এখন, n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (9/2){(2 × 17) + (9 - 1)(- 3)}
= (9/2){34 - 24}
= (9/2)(10)
= (9/2) × 10
= 45

প্রশ্ন: রেখাংশের দুই প্রান্ত A(−2, 4) এবং B(6, −8) হলে মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক কী? 

সমাধান: 
প্রদত্ত বিন্দু- 
A(−2, 4) এবং B(6, −8) 

আমরা জানি, 
মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়ের সূত্র হচ্ছে- 
(x_m, y_m) = {(x₁​ + x₂)/2​​, (y₁​ + y₂​​)/2} 
= {(−2 + 6​)/2, (4 + (−8))​/2}
= {(−2 + 6​)/2, (4 − 8)​/2} 
= (4​/2, − 4/2) 
= (2, − 2)

∴ নির্ণয় মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক =  (2, − 2) । 

এখানে
a = ২,
d = ৫ - ২ = ৩,
∴ ২১ তম পদ = a + (২১ - ১)d
= ২ + ২০×৩
= ৬২

-2<3 - x<8
⇒ -2 -3<-x<8 - 3
⇒ - 5<-x<5
⇒ -5 <x<5
∴ |x|<5

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমের তৃতীয় পদ 20 এবং অষ্টম পদ 45 হলে, সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d হলে, n তম পদ = a + (n - 1)d
এখানে,
তৃতীয় পদ = 20
∴ a + (3 - 1)d = 20
⇒ a + 2d = 20
⇒ a = 20 - 2d

অষ্টম পদ = 45
⇒ a + (8 - 1)d = 45
⇒ (২০ - 2d) + 7d = 45
⇒ ২০ + 5d = 45
⇒ 5d = 45 - ২০
⇒ 5d = 25
⇒ d = 25/5
∴ d = 5

সুষম দশভুজের অন্তঃকোনের পরিমান = (n - ২)/n × ১৮০°
= (১০ - ২)/১০ × ১৮০°
= ১৪৪° যা একটি স্থূলকোণ।

প্রশ্ন: বাংলাদেশ ফুটবল দলের অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক অবসর নেয়ায় নতুন করে অধিনায়ক এবং সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করা প্রয়োজন। ১৭ সদস্যবিশিষ্ট দলটি থেকে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কত উপায়ে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
১৭ জন থেকে ১ জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ^১৭C_১ = ১৭ উপায়ে

১ জন অধিনায়ক হলে সদস্য বাকি থাকে (১৭ - ১) = ১৬ জন

১৬ জন থেকে ১ জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ^১৬C_১ = ১৬ উপায়ে

∴ একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৭ × ১৬ = ২৭২ উপায়ে

প্রশ্ন: রহিমের বেতন ৫% বৃদ্ধি পাওয়ায় তার বেতন ৪০০০ টাকা বৃদ্ধি পেল। রহিমের বেতন আগে কত টাকা ছিল?

সমাধান: 
ধরি,
রহিমের আগের বেতন = ক টাকা।

প্রশ্নমতে, 
ক এর ৫% = ৪০০০ 
⇒ ক × (৫/১০০) = ৪০০০ 
⇒ ক/২০ = ৪০০০
⇒ ক = ৪০০০ × ২০ 
∴ ক = ৮০০০০ 

সুতরাং, রহিমের আগের বেতন ছিল ৮০০০০ টাকা।

প্রশ্ন: 1° সমান কত রেডিয়ান?

সমাধান:
রেডিয়ান:
কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ ঐ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণকে এক রেডিয়ান বলে।

আমরা জানি,
180° = π রেডিয়ান
∴ 1° = π/180 রেডিয়ান

প্রশ্ন: (2x - 6, 5) = (4, 2y - 5) হলে, (x, y)- এর মান কোনটি? 

সমাধান: 
2x - 6 = 4 
বা, 2x = 4 + 6 
বা, 2x = 10 
বা, x = 10/2 
∴ x = 5 

আবার, 
2y - 5 = 5 
বা, 2y = 5 + 5 
বা, 2y = 10 
বা, y = 10/2 
∴ y = 5 

∴ নির্ণেয় মান, (x, y) = (5, 5) ।

প্রশ্ন: ১ থেকে ৬০ পর্যন্ত ৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
১ থেকে ৬০ পর্যন্ত ৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো,
৫, ১০, ১৫, ২০, ২৫, ৩০, ৩৫, ৪০, ৪৫, ৫০, ৫৫, ৬০  
∴ মোট সংখ্যা = ১২টি (জোড় সংখ্যক)  

জোড় সংখ্যক উপাত্তের মধ্যক = {(n/২) ও (n/২) + ১} তম পদ 
= {(১২/২) ও (১২/২) + ১} তম পদ 
= (৬ ও ৭) তম পদ 

এখানে, ৬ষ্ঠ ও ৭ম সংখ্যা হলো ৩০, ৩৫ 

∴ মধ্যক = (৩০ + ৩৫)/২ = ৬৫ / ২ = ৩২.৫