গাণিতিক যুক্তি

১৫০০০ টাকায় সুদ পান ১২৭৫ টাকা
১ টাকায় সুদ পান ১২৭৫/১৫০০০ টাকা
১০০ টাকায় সুদ পান (১২৭৫ Χ ১০০) / ১৫০০০ টাকা = ৮.৫ টাকা

প্রশ্ন: ২৫ লিটার মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৪ : ১। ৫ লিটার পানি যোগ করলে নতুন অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
মোট মিশ্রণ = ২৫ লিটার
দুধ : পানি = ৪ : ১
∴ মোট = ৪ + ১ = ৫ অংশ

∴ দুধের পরিমাণ = (৪/৫) × ২৫ = ২০ লিটার
∴ পানির পরিমাণ = (১/৫) × ২৫ = ৫ লিটার

আবার, 
৫ লিটার পানি যোগ করলে, নতুন পানির পরিমাণ = ৫ + ৫ = ১০ লিটার
এবং নতুন দুধের পরিমাণ = ২০ লিটার (অপরিবর্তিত)

∴ নতুন অনুপাত = দুধ : পানি = ২০ : ১০
= ২ : ১

সুতরাং, নতুন অনুপাত হবে ২ : ১। 

BOOK শব্দটিতে মোট 4 টি বর্ণ আছে যার মধ্যে O আছে 2 টি।
সুতরাং, নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা 4!/2! = 12

প্রশ্ন: একটি বাঁশের ০.১২৫ অংশ কাদায়, ৩/৭ অংশ পানিতে এবং অবশিষ্ট ২৫ মিটার পানির উপরে আছে। বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কাদায় আছে = ০.১২৫ অংশ = ১২৫/১০০০ অংশ = ১/৮ অংশ।
পানিতে আছে = ৩/৭ অংশ।

ধরি,
সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

প্রশ্নমতে,
ক - (ক/৮) - (৩ক/৭) = ২৫
⇒ (৫৬ক - ৭ক - ২৪ক)/৫৬ = ২৫
⇒ ২৫ক/৫৬ = ২৫
⇒ ২৫ক = ২৫ × ৫৬
⇒ ক = (২৫ × ৫৬)/২৫
∴ ক = ৫৬

সুতরাং সম্পূর্ণ বাঁশের দৈর্ঘ্য = ৫৬ মিটার।

প্রশ্ন: একটি ব্যবসায় ক, খ ও গ-এর মূলধন যথাক্রমে ৩২, ৪০ ও ৪৮ টাকা। ব্যবসায় মোট ৩০ টাকা লাভ হলে খ-এর লাভ কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ব্যবসায় মোট ৩০ টাকা এবং 
ক, খ এবং গ-এর মূলধনের অনুপাত = ৩২ : ৪০ : ৪৮ = ৪ : ৫ : ৬ 

∴ অনুপাতের সমষ্টি = ৪ + ৫ = ৬ = ১৫ 
∴ খ -এর লাভ = ৩০ এর (৫/১৫) = ১০ টাকা 

সুতরাং, খ -এর লাভ ১০ টাকা।

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা একত্রে বেজে পরে যথাক্রমে ৬, ১২, ১৫ ও ২০ সেকেন্ড অন্তর বাজাতে লাগলো। কতক্ষণ পরে ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান: 
৬, ১২, ১৫ ও ২০ এর ল.সা.গু = ৬০ সেকেন্ড

∴ চারটি ঘণ্টা ৬০ সেকেন্ড পরে পুনরায় একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসিমা 18x হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিধি P = 18x

সমবাহু ত্রিভুজের একপাশের দৈর্ঘ্য P/3 = 18x/3 = 6x

তাহলে, ক্ষেত্রফল A = √3/4 a²
= √3/4 × (6x)²
= √3/4 × 36x²
= 9√3x²

∴ ক্ষেত্রফল = 9√3x²

প্রশ্ন:

সমাধান:
log₃[log₂(log₅a)] = 0
⇒ log₂(log₅a) = 3⁰ [log_bM = c ⇒ M = b^c]
⇒ log₂(log₅a) = 1
⇒ log₅a = 2¹ 
⇒ log₅a = 2
⇒ a = 5² 
⇒ a = 25
∴ a = 25

৭, ৫, ৯, ৩ সংখ্যা গুলোর ল.সা.গু = ৩১৫
সুতরাং সংখ্যাগুলো = ৩/৭ × ৩১৫ = ৩ × ৪৫ = ১৩৫
আবার, ২/৫ × ৩১৫ = ২ × ৬৩ = ১২৬
আবার, ৪/৯ × ৩১৫ = ৪ × ৩৫ = ১৪০
এবং ১/৩ × ৩১৫ = ১ × ১০৫ = ১০৫
সুতরাং সবচেয়ে বড় ভগ্নাংশটি হচ্ছে = ৪/৯।

3 জন ছাত্র সর্বদা একত্রে থাকবে বলে 3 জনকে 1 জন ধরতে হবে। তাহলে 1 ছাত্র জন ও 5 জন ছাত্রী মিলে মোট 6 জন হবে।
সুতরাং একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 6!×3! (যেহেতু 3 জন ছাত্রের নিজেদের মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা = 3!)
= 720 × 6
= 4320

প্রশ্ন:


সমাধান: 

x ≤ (4 + x/3)
⇒ x - x/3 ≤ 4 + x/3 - x/3
⇒ (3x - x)/3 ≤ 4
⇒ 2x/3 × 3/2 ≤ 4 × 3/2
⇒ x ≤ 6

অনুসিদ্ধান্ত অনুসারে-
ⁿC_r + ⁿC_{r + 1} = ^{n + 1}C_r
এখন,
r এর স্থলে r + 1 বসিয়ে পাই
ⁿC_{r + 1} + ⁿC_{r +2} = ^{n + 1}C_{r + 1}

৩/২ এর ক% = ৬
বা, ৩/২ এর ক/১০০ = ৬
বা, ৩ক = ১২০০
বা, ক = ৪০০

প্রশ্ন: ৬০ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড়ের অর্ধেকের মান কত?

সমাধান:
৬০ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৬১
৬০ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৭৯

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড় = (৬১ + ৭৯)/২
 = ১৪০/২ = ৭০

∴ অর্ধেকের মান = ৭০/২ = ৩৫

x⁴ - x² + 1 = 0
বা, X⁴ + 1 = x²
বা, x² + 1/x² = 1
বা, (x + 1/x)² - 2.x.1/x) = 1
বা, (x + 1/x)² = 3
বা, (x + 1/x) = √3
এখন, x³ + 1/x³
= (x + 1/x)³ - 3.x.1/x (x + 1/x)
= (√3)³ - 3(√3)
= 3√3 - 3√3 = 0

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণ যথাক্রমে ৭ সেন্টিমিটার ও ১০ সেন্টিমিটার হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রম্বসের একটি কর্ণ = ৭ সেন্টিমিটার 
এবং অপর কর্ণটি = ১০ সেন্টিমিটার 

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
= (১/২) × ৭ × ১০
= ৩৫ বর্গ সেন্টিমিটার।

৬% বৃদ্ধিতে লোকসংখ্যা,
বর্তমানে ১০৬ জন হলে পূর্বে ছিল ১০০ জন
∴ বর্তমানে ১৪৮৪ জন হলে পূর্বে ছিল (১০০ X ১৪৮৪)/১০৬ জন
= ১৪০০ জন।

প্রশ্ন: a + (1/a) = √3 হলে, 8(a² + 1/a²) এর মান বের করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে, a + 1/a = √3
আমরা জানি, (a² + 1/a²) = (a + 1/a)² - 2a(1/a)

∴ 8(a² + 1/a²) = 8{(a + 1/a)² - 2a(1/a)}
= 8{(√3)² - 2}
= 8(3 - 2)
= 8 × 1
= 8 

প্রশ্ন: ২৬৩° কোণকে কী কোণ বলে? 

সমাধান:
- যে কোণের পরিমাণ ১৮০° থেকে বা দুই সমকোণের চেয়ে বড় কিন্তু ৩৬০° থেকে ছোট তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- তাই ২৬৩° কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।

প্রশ্ন: একটি হলরুমে প্রতি সারিতে ৬টি চেয়ারে ৬ জন করে বসালে ৪টি সারি খালি থাকে। কিন্তু প্রতি সারিতে ৫ জন করে বসালে ১০ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। হলে মোট ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
মোট ছাত্র সংখ্যা S  এবং সারি সংখ্যা R

প্রশ্ন অনুসারে,
প্রতি সারিতে ৬ জন করে বসলে ৪টি সারি খালি থাকে। অর্থাৎ 
S = 6(R - 4)........(১)

আবার, 
প্রতি সারিতে ৫ জন করে বসলে ১০ জন দাঁড়িয়ে থাকে। অর্থাৎ 
S = 5R + 10
⇒ 6(R - 4) = 5R + 10 [১ নং হতে]
⇒ 6R - 24 = 5R + 10
⇒ 6R - 5R = 10 + 24
∴ R = 34

R এর মান (১) নং এ বসিয়ে পাই, 
S = 6(34 - 4) = 6 × 30
∴ S = 180

সুতরাং মোট ছাত্র সংখ্যা = 180 জন

a²+1/a² = 51
বা, (a-1/a)²+2a.1/a = 51
বা, (a-1/a)² = 51 - 2 = 49
বা, (a-1/a) = ± 7

প্রশ্ন: ৪.৫ + (৬.৪ ÷ ০.৮ × ১.৫) - ৯ × ২ ÷ ৬ + ১.৫ = ?

সমাধান:

প্রশ্ন: ৭ কোটি সমান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ কোটি = ১০০ লক্ষ
∴ ৭ কোটি = (৭ × ১০০) লক্ষ
= ৭০০ লক্ষ

আবার,
১০ লক্ষ = ১ মিলিয়ন
∴ ১ লক্ষ = ১/১০ মিলিয়ন
∴ ৭০০ লক্ষ = ৭০০/১০ মিলিয়ন
= ৭০ মিলিয়ন

সুতরাং, ৭ কোটি = ৭০০ লক্ষ = ৭০ মিলিয়ন।

২৫% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০০+২৫ = ১২৫ টাকা
সুতরাং ক্রয়মূল্যঃবিক্রয়মূল্য = ১০০ঃ১২৫ = ৪ঃ৫

(5x - 4y, 4) = (6, x + 2y)
5x - 4y = 6 ……….(i)
x + 2y = 4 ………..(ii)
(ii) নং থেকে পাই,
x = 4 - 2y …………(iii)
(i) নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
5(4 - 2y) - 4y = 6
বা, 20 - 10y - 4y = 6
বা, -14y = -14
বা, y = 1
y এর মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
x = 4-2 =2
∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 1)

প্রশ্নঃ বার্ষিক সুদের হার ৫% হলে কত টাকায় ৩ বছরে ৬০০ টাকা সুদ পাওয়া যাবে?

সমাধানঃ
আমরা জানি,
I = (P × r × n​)/১০০
এখানে,
I = ৬০০, 
r = ৫%, 
n = ৩
সুতরাং,
P = (I × ১০০)/(r × n)
= (৬০০ × ১০০)/(৫ × ৩)
= ৬০০০০/১৫
= ৪০০০ 

∴ ৪০০০ ​টাকা।

প্রশ্নমতে,
৩ বছর পূর্বে মা ও মেয়ের বয়স যথাক্রমে ২৫ বছর ও ৩ বছর ছিল।
তাহলে,
বর্তমানে মায়ের বয়স = (২৫+৩) বছর
= ২৮ বছর
এবং মেয়ের বয়স = (৩+৩) বছর
= ৬ বছর।
সুতরাং,
৫ বছর পর মা ও মেয়ের বয়স হবে যথাক্রমে = (২৮+৫) বছর
= ৩৩ বছর
এবং (৬+৫) বছর = ১১ বছর
সুতরাং,
মা ও মেয়ের বয়সের অনুপাত হবে = ৩৩ : ১১
= ৩ : ১

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ৩০। ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির গুণফল কত?

সমাধান: 
ধরি, 
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে x - ১, x এবং x + ১ 

প্রশ্নমতে, 
x - ১ + x + x + ১ = ৩০
বা, ৩x = ৩০
বা, x = ৩০/৩ 
∴ x = ১০
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে ৯, ১০ এবং ১১

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির গুণফল = (৯ × ১০) 
= ৯০ ।

প্রশ্ন: যদি 3x + y = 7 এবং 2x + 3y > 12 হয়, তবে-

সমাধান:
3x + y = 7,
∴ y = 7 - 3x

Now substitute in the inequality:
2x + 3y > 12
⇒ 2x + 3(7 - 3x) > 12
⇒ 2x + 21 - 9x > 12
⇒ -7x + 21 > 12
⇒ -7x > 12 - 21
⇒ -7x > -9
∴ x < 9/7

প্রশ্ন: একটি গ্রুপে ৬০ জন ব্যক্তি আছে। এর মধ্যে ৪০ জন হিন্দি বলতে পারেন, ৩০ জন হিন্দি ও ইংরেজি উভয়ই বলতে পারেন এবং প্রত্যেকেই অন্তত একটি ভাষায় বলতে পারেন। ইংরেজি বলতে কতজন পারেন?

সমাধান:
গ্রুপে ৬০ জন ব্যক্তি আছে
হিন্দি ও ইংরেজি উভয় ভাষায় বলতে পারেন = ৩০ জন

শুধু হিন্দিতে বলতে পারেন = ৪০ - ৩০ = ১০ জন

∴ শুধু ইংরেজিতে বলতে পারেন = ৬০ - (৩০ + ১০) = ২০ জন

∴ ইংরেজি বলতে পারেন = ৩০ + ২০ = ৫০ জন

ধরি, আসল ৮ টাকা এবং মুনাফা ৩ টাকা
তাহলে মুনাফা-আসল = ১১ টাকা

মুনাফা-আসল ১১ টাকা হলে মুনাফা = ৩ টাকা
মুনাফা-আসল ১ টাকা হলে মুনাফা = ৩/১১ টাকা
মুনাফা-আসল ৫৫০০ টাকা হলে মুনাফা = ৫৫০০ × ৩/১১ = ১৫০০

তাহলে, আসল = ৫৫০০ - ১৫০০ = ৪০০০ টাকা
∴ মুনাফার হার = ১৫০০×১০০/(৪০০০×৩) = ১২.৫%