গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: যদি ƒ(x) = x³ + kx² - 4x - 8 হয়, তাহলে k-এর কোন মানের জন্য ƒ(- 2) = 0 হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ƒ(x) = x³ + kx² - 4x - 8
বা, ƒ(- 2) = (- 2)³ + k (- 2)² - 4(- 2) - 8
বা, ƒ(- 2) = - 8 + 4k + 8 - 8
∴ ƒ(- 2) = 4k - 8 

যেহেতু, 
ƒ(- 2) = 0
বা, 4k - 8 = 0
বা, 4k = 8
বা, k = 8 /4
∴ k = 2 

{3 + 3² + 3³ + 3⁴ + ----------- }
এটি অসীম সেট কারণ এই ধারার শেষ সংখ্যা নাই।
বাকি ধারার শেষ সংখ্যা আছে।

ΔABC সমবাহু 
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°
∴ কেন্দ্রস্থ কোন ∠BOC = 2 × পরিধিস্থ কোন ∠A = 2 × 60° = 120°

মোট তাস = 52 টি
মোট টেক্কা = 4 টি
মোট কালো টেক্কা = 2 টি
মোট কালো তাস = 26 টি
একটি তাস টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = 4/52
একটি তাস কালো টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = 2/52
একটি তাস কালো তাস হওয়ার সম্ভাবনা = 26/52
∴ তাসটি কালো বা টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = 4/52 + 26/52 - 2/52
= 4 + 26 - 2/52
= 28/52
= 7/13

প্রশ্ন:

সমাধান:

√(0.000009)
=0.000009^1/2
=0.003

প্রশ্ন: x² - 7x + 12 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - 7x + 12 > 0
⇒ x² - 4x - 3x + 12 > 0
⇒ x(x - 4) - 3(x - 4) > 0
⇒ (x - 4)(x - 3) > 0

দুইটি রাশির গুনফল তখনই ধনাত্মক বা শূন্য অপেক্ষা বড় হবে যদি উভয়ই ধনাত্মক অথবা উভয়েই ঋণাত্মক হয়।

ক্ষেত্র ১: উভয়ই ধনাত্মক হলে,
x - 4 > 0 এবং x - 3 > 0
⇒ x > 4 এবং x > 3
∴ x > 4

ক্ষেত্র ২: উভয়ই ঋণাত্মক হলে,
x - 4 < 0 এবং x - 3 < 0
⇒ x < 4 এবং x < 3
∴ x < 3

সুতরাং, অসমতাটির সমাধান হলো: x < 3 অথবা x > 4
ব্যবধিতে প্রকাশ করলে: (- ∞, 3) ∪ (4, + ∞)

প্রশ্ন: 3 - 6 + 12 - 24 + ......ধারাটির প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = - 6/3 = - 2

আমরা জানি, 
প্রথম n পদের সমষ্টি,
S_n = a(1 - rⁿ)/(1 - r)  ; [| r | < 1]
প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি S₇ = 3 [1 - ( - 2)⁷]/[1 - (- 2)]  
= 3(1 + 128)/3
= (3 × 129)/3
= 129

সুতরাং, প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি 129

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪৭ হলে, সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
দুটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে, n এবং n + ১

প্রশ্নমতে, 
(n + ১)^২ - n^২ = ৪৭
n^২ + ২n + ১ - n^২ = ৪৭
⇒ ২n + ১ = ৪৭
⇒ ২n = ৪৬
⇒ n = ৪৬/২ = ২৩
∴ n = ২৩ 

সুতরাং সংখ্যা দুটি হলো ২৩ এবং ২৪

প্রশ্ন: 1 থেকে 49 পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান: 
প্রদত্ত ধারার শেষ সংখ্যা, n = 49 

আমরা জানি, 
স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি, S_n = n (n + 1)/2
= 49 × (49 + 1)/2
= (49 × 50)/2
= 49 × 25
= 1225

প্রশ্ন: tanA = 4/3 হলে, sinA= ?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
tanA = 4/3

A কোণের বিপরীত বাহু = 4,
সন্নিহিত বাহু = 3

এখন,
অতিভুজ² = 4² + 3² 
⇒ অতিভুজ² = 16 + 9
⇒ অতিভুজ² =25
⇒ অতিভুজ =√25
⇒ অতিভুজ = 5

সুতরাং, sinA = লম্ব/অতিভুজ = 4/5

২০০০ সালের ফেব্রুয়ারী মাস ২৯ দিনের।
∴ মোট বৃষ্টিপাতের পরিমাণ = (২৯ X ০.৫৫) সেমি
= ১৫.৯৫ সেমি।

প্রশ্ন: দুটি নল দ্বারা একটি চৌবাচ্চা যথাক্রমে ১৫ ও ২০ মিনিটে পানি পূর্ণ করে। নল দুটি একত্রে খোলা রাখলে চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পানি পূর্ণ হবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা,
১৫ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির = ১/১৫ অংশ

২য় নল দ্বারা,
২০ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির = ১/২০ অংশ

দুইটি নল দ্বারা একত্রে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/১৫) + (১/২০) অংশ
= (৪ + ৩)/৬০ অংশ
= ৭/৬০ অংশ 

দুইটি নল দ্বারা,
৭/৬০ অংশ পূর্ণ হয় = ১ মিনিটে
∴ ১ অংশ পূর্ণ হয় = (১ × ৬০)/৭ মিনিটে
= ৬০/৭ মিনিটে

প্রশ্ন: 520 মিটার দীর্ঘ একটি রাস্তার দুই পাশে 20 মিটার পরপর কংক্রিটের পিলার বসানো হলো। প্রতিটি পিলারের প্রস্থ 0.5 মিটার হলে, রাস্তা বরাবর মোট কতটি পিলার বসানো হয়েছে?

সমাধান:
এক পাশের পিলারের সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/অন্তর} + 1
= {(520 - 0)/20} + 1
= 26 + 1
= 27 টি

এখানে পিলারের প্রস্থ ০.৫ মিটার উল্লেখ থাকায় পিলারের প্রস্থকে প্রতি ২০মিটারের সাথে বিবেচনায় নিতে হবে। যদি প্রস্থ উল্লেখ না থাকত তাহলে পিলারের প্রস্থ উপেক্ষা করা যেত।
১ম পিলার লাগানোর পর দৈর্ঘ্য ০.৫ মিটার, ২য় পিলার লাগানোর পর দৈর্ঘ্য হয়, ০.৫ + ২০ + ০.৫ = ২১ মিটার, ৩য় পিলার লাগানোর পর দৈর্ঘ্য হবে ২১ + ২০ + ০.৫ = ৪১.৫ মিটার। অর্থাৎ, প্রতিটি পিলারের জন্য দৈর্ঘ্য: ২০.৫(n - ১) + ০.৫ [এখানে n হলো পিলারের ক্রম]
২৬ তম পিলার লাগালে মোট দৈর্ঘ্য = ২০.৫(২৬ - ১) + ০.৫ = ৫১৩ মিটার
২৭ তম পিলার লাগালে মোট দৈর্ঘ্য = ২০.৫(২৭ - ১) + ০.৫ = ৫৩৩.৫ মিটার
কিন্তু রাস্তার মোট দৈর্ঘ্য ৫২০ মিটার হওয়ায় ২৭ তম পিলার লাগানোর সুযোগ নেই। অর্থাৎ, ৫২০ মিটার রাস্তায় ২০ মিটার অন্তর ০.৫ মিটার প্রস্থের ২৬টি পিলার লাগানো যায়। উভয় পাশে লাগানো যাবে ২৬ + ২৬ = ৫২টি।

তাই সঠিক উত্তর হবে কোনটিই নয়।

5, 9, 4, 1 অঙ্ক গুলি দ্বারা গঠিত যে সব সংখ্যার প্রথম স্থানে 5 অথবা 9 থাকবে সে সকল সংখ্যা 5000 এর চেয়ে বড় হবে।
প্রথম স্থানে 5 নির্দিষ্ট করে অবশিষ্ট 3 টি একত্রে নিয়ে গঠিত সংখ্যা 3! = 6
আবার, প্রথম স্থানে 9 নির্দিষ্ট করে অবশিষ্ট 3 টি একত্রে নিয়ে গঠিত সংখ্যা 3! = 6
সুতরাং, 5000 এর চেয়ে বড় সংখ্যা (6+6) = 12.

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি তার ঘড়ি ৮৪০ টাকায় বিক্রি করলে ২০% লাভ হয়। তবে ঘড়ির ক্রয়মূল্য কত ছিল?

সমাধান:
২০% লাভে
বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ২০ = ১২০ টাকা

বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১২০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৮৪০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৮৪০)/১২০ টাকা
= ৭০০ টাকা

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়েসের অনুপাত ১২ : ৫। পুত্রের বয়স ১৫ বছর হলে পিতার বয়স কত?

সমাধান:
ধরি, পিতার বয়স ক বছর

শর্তমতে,
ক/১৫ = ১২/৫
⇒ ৫ক = ১২ × ১৫
⇒ ক = (১২ × ১৫)/৫
⇒ ক = ১২ × ৩
⇒ ক = ৩৬ 

∴ পিতার বয়স ৩৬ বছর।

প্রশ্ন:

সমাধান:

৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা ৯৭
৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা ৪১

∴ সংখ্যা দুইটির গড় = (৯৭ + ৪১)/২ = ৬৯

(a+b)²= a²+ 2ab+ b²

প্রশ্ন: ৫০০ টাকা বার্ষিক ৫% সরল সুদে কত বছরে সুদে-আসলে ৬৫০ টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ৫০০ টাকা
বার্ষিক সুদের হার, r = ৫% = ০.০৫
সুদে-আসল, A = ৬৫০ টাকা
∴ সুদ = ৬৫০ - ৫০০ = ১৫০ টাকা 

আমরা জানি,
সময় = (সুদ × ১০০)/(আসল × সুদের হার)
= (১৫০ × ১০০)/(৫০০ × ৫)
= ১৫০/২৫ 
= ৬ বছর

সুতরাং, ৫০০ টাকা বার্ষিক ৫% সরল সুদে ৬ বছরে সুদে-আসলে ৬৫০ টাকা হবে।

প্রশ্ন: 3x + 7y = 10 এবং  4x - y = 3 হলে,  x ও y এর মান হবে যথাক্রমে-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x + 7y = 10 ........(1)
4x - y = 3 .........(2)

(1) নং কে  1 এবং  (2) নং কে  7 দ্বারা গুণ করে পাই,
 28x - 7y = 21 .........(3)

এখন, (1) + (3) করে পাই, 
31x = 31
∴ x = 1
(2) নং x এ মান বসিয়ে পাই,
4 × 1 - y = 3
∴ y = 1

∴ (x, y) = (1, 1)