গাণিতিক যুক্তি

রাশি দুইটির যোগফল = ২৪০
তাদের অনুপাত = ১ঃ৩
অনুপাতের রাশি দুইটির যোগফল = ১+৩ = ৪
∴ ১ম রাশি = ২৪০ এর ১/৪ অংশ = ৬০
∴ ২য় রাশি = ২৪০ এর ৩/৪ অংশ = ১৮০
আবার, রাশি দুইটির অনুপাত = ১ঃ৩
∴ ১ম রাশি, ২য় রাশির ১/৩ = (১×১০০)/(৩×১০০) = ৩৩(১/৩)%

সমকোণ ব্যতীত অপর কোণ দুটির সমষ্টি = (১৮০° - ৯০°) = ৯০°।
∴ কোণদ্বয় পরস্পর পূরক কোণ।

রোমান প্রতীকঃ
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1000

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৩৯০ বর্গমিটার। ভূমি ৩০ মিটার হলে উচ্চতার পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
⇒ ৩৯০ = ৩০ × উচ্চতা
⇒ উচ্চতা = ৩৯০/৩০ = ১৩

সুতরাং, উচ্চতার পরিমাণ ১৩ মিটার।

প্রশ্ন: log₁₀p = - 3 হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₁₀p = - 3
⇒ p = 10^{- 3}
⇒ p = 1/10³
⇒ p = 1/1000
∴ p = 0.001

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি ১১। লব থেকে ১ বিয়োগ এবং হরের সাথে ২ যোগ করলে ভগ্নাংশের মান ১/৫ হয়। ভগ্নাংশটি নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি ১১
লব থেকে ১ বিয়োগ এবং হরের সাথে ২ যোগ করলে ভগ্নাংশের মান হয় ১/৫

মনে করি,
ভগ্নাংশের লব ক
ভগ্নাংশের হর খ

∴ ভগ্নাংশটি = ক/খ

শর্ত মতে,
 ক + খ = ১১................. (১)

আবার,
 (ক - ১)/(খ + ২) = ১/৫
বা , ৫ক  - ৫ = খ + ২
বা, ৫ক  - খ = ৭ .................(২)

সমীকরণ (১) ও সমীকরণ (২) যোগ করে পাই,
ক + খ + ৫ক  - খ  = ১১ + ৭
বা, ৬ক = ১৮
বা, ক = ১৮/৬
∴ ক = ৩

ক এর মান সমীকরণ (১) এ বসিয়ে পাই,
৩ + খ = ১১
বা, খ = ১১ - ৩
∴ খ = ৮

∴ ভগ্নাংশটি = ৩/৮ ।  

সরলরেখার সমীকরণ (মূল বিন্দুগামী) = y = mx
দুই অক্ষকে ছেদ করে এমন সরল রেখার সমীকরণ = x/a + y/b = 1

ধরি,
প্রথম পদ = a
এখানে সাধারণ অন্তর, d = 10
∴ ষষ্ঠ পদ = a + (6 - 1) × 10
⇒ 65 = a + 50
∴ a = 15

ধরি, ভূমি = 4x মিটার।
∴ লম্ব = (4x এর ¾) মিটার = 3x মিটার
প্রশ্নমতে,
(3x)² + (4x)² = 25²
⇒ 9x² + 16x² = 625
⇒ 25x² = 625
⇒ x² = 25
∴ x = 5
∴ লম্বের দৈর্ঘ্য 3×5 = 15 মিটার

প্রশ্ন: যদি a + b + c = 0, তবে a³ + b³ + c³ - 3abc = ?

সমাধান:
আমরা জানি, 
a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)
যেহেতু,
a + b + c = 0

∴ a³ + b³ + c³ - 3abc = 0

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস দ্বিগুণ করা হলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr^২

ব্যাস দ্বিগুণ করলে ব্যাসার্ধও দ্বিগুণ হয়।
∴ নতুন ব্যাসার্ধ = ২r
∴ নতুন বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(২r)^২
= π × ৪r^২ = ৪πr^২

ক্ষেত্রফলের অনুপাত = নতুন ক্ষেত্রফল/পুরাতন ক্ষেত্রফল
= ৪πr^২/πr^২
= ৪

সুতরাং, ব্যাস দ্বিগুণ করলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল চারগুণ হবে।

 a² = 3a−1
⇒ a² + 1= 3a
⇒ (a² + 1)/a = 3
⇒ a + 1/a = 3
⇒(a + 1/a)² = 3²
⇒ a² + 2.a.1/a + 1/a² = 9
⇒ a² + 1/a² = 9 - 2
⇒ (a² + 1/a²)² = 7²
⇒ a⁴ + 2.a².1/a² + 1/a⁴ = 49
⇒ a⁴ + 1/a⁴ = 49 - 2
⇒ a⁴ + 1/a⁴ = 47

সমবাহু ত্রিভুজের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) a²
প্রশ্নমতে, (√3/4) a² = 48
বা, a² = (48x4)/√3
বা, a² = (3x16x4)/√3
বা, a² = √3 x 64
বা, a = √1.732 x 8
∴ a = 10.52

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4x
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = x√2
প্রশ্নমতে,
পরিসীমা/ কর্ণ = 4x/x√2
বা, পরিসীমা = 2√2 কর্ণ
∴ কোনো বর্গের পরিসীমা কর্ণের 2√2 গুণ।

প্রশ্ন: একটি পণ্য 10% ক্ষতিতে বিক্রি করলে যে মূল্য পাওয়া যায়, 30% লাভে বিক্রি করলে তার চেয়ে 40 টাকা বেশি পাওয়া যায়। পণ্যের ক্রয়মূল্য কত? 

সমাধান:
ধরি, পণ্যের ক্রয়মূল্য x টাকা।
10% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য =  x এর 90% =  0.9x টাকা।
30% লাভে বিক্রয়মূল্য =  x এর 130% = 1.3x টাকা।
1.3x - 0.9x = 40
⇒ 0.4x = 40
⇒ x = 40/0.4
⇒ x = 100

(3 - x) + 5 = 4(x - 3)
বা, -(x - 3) + 5 = 4(x - 3)
বা, 5(x - 3) = 5
বা, x - 3 = 1
∴ x = 4

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৭ : ৩। ৪ বছর আগে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৫ : ২। পিতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি, পিতার বয়স = ৭ক 
 এবং পুত্রের বয়স = ৩ক 

∴ ৪ বছর আগে পিতার বয়স ছিল = (৭ক - ৪)
 ৪ বছর আগে পুত্রের বয়স ছিল = (৩ক - ৪)

প্রশ্নমতে,
(৭ক - ৪) : (৩ক - ৪) = ৫ : ২
⇒ (৭ক - ৪)/(৩ক - ৪) = ৫/২
⇒ ২(৭ক - ৪) = ৫(৩ক - ৪)
⇒ ১৪ক - ৮ = ১৫ক - ২০
∴ ক = ১২ 

∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৭ × ১২ = ৮৪ বছর

প্রশ্ন: ১০ টাকায় ১২টি আমলকি ক্রয় করে ১০ টাকায় ১০টি আমলকি বিক্রি করলে শতকরা কত টাকা লাভ হবে? 

সমাধান: 
১২টি আমলকির ক্রয়মূল্য = ১০ টাকা
∴ ১টি আমলকির ক্রয়মূল্য = ১০/১২ = ৫/৬ টাকা

আবার, 
১০টি আমলকির বিক্রয়মূল্য = ১০ টাকা
∴ ১টি আমলকির বিক্রয়মূল্য = ১০/১০ = ১ টাকা

∴ লাভ হয় = ১ - (৫/৬) = (৬ - ৫)/৬ = ১/৬ টাকা 

∴ ৫/৬ টাকা লাভ হয় = ১/৬ টাকা 
∴ ১ টাকা লাভ হয় = (১/৬)/(৫/৬) = ১/৫ টাকা
∴ ১০০ টাকা লাভ হয় = ১০০/৫ = ২০ টাকা

সুতরাং, শতকরা লাভের পরিমাণ ২০%। 

প্রশ্ন: 'ক' টাকার ক% হার সরল মুনাফায় ৫ বছরে মুনাফা 'ক' টাকা হলে, ক = কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে
আসল = ক টাকা
মুনাফার হার = ক%
সময় = ৫ বছর
মুনাফা = ক টাকা

আমরা জানি, 
সরল মুনাফা = (আসল × হার × সময়)/১০০
ক = (ক × ক × ৫)/১০০
⇒ ক = ক^২/২০ 
⇒ ক^২ - ২০ক = ০ 
⇒ ক(ক - ২০) = ০ 
হয়,
∴ ক = ০ ;[যা গ্রহণযোগ্য নয়]
অথবা,
⇒ ক - ২০ = ০ 
∴ ক = ২০ 

অতএব, মূলধন, ক = ২০ টাকা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল 216 বর্গ সে.মি. এবং কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 3 : 4 হলে, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, কর্ণদ্বয় = 3a এবং 4a

রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (প্রথম কর্ণ) × (দ্বিতীয় কর্ণ)
⇒ (1/2) × 3a × 4a = 216
⇒ 6a² = 216
⇒ a² = 36
⇒ a = 6

∴ কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = 3 × 6 = 18 এবং 4 × 6 = 24
∴ রম্বসের কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি = 18 + 24 = 42 সে.মি.

প্রশ্ন: যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান তাকে কী বলা হয়? 

সমাধান: 
ট্রাপিজিয়াম: 
- যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান অর্থাৎ সমান নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে। 

সামান্তরিক: 
- যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোনগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে। 

আয়তক্ষেত্র: 
- যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে। 

বর্গক্ষেত্র: 
- যে চতুর্ভুজের চারটি বাহুই পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোনগুলো সমকোণ তাকে বর্গক্ষেত্র বলে।

এখানে,
ক্রয়মূল্য ৫৬০ টাকা।
১৫% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১১৫ × ৫৬০)/১০০
= ৬৪৪ টাকা
আবার,
৮% কমিশনে,
ধার্যমূল্য ১০০ টাকায় বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ৮ = ৯২ টাকা
অর্থাৎ, বিক্রয়মূল্য ৯২ টাকায় ধার্যমূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয় মূল্য ৬৪৪ টাকায় ধার্যমূল্য = (১০০ × ৬৪৪)/৯২
= ৭০০ টাকা

প্রশ্ন: ৫০ ফুট ব্যাসের একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র করলে, বর্গক্ষেত্রের যে কোন একদিকের দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাস = ৫০ ফুট
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ = (৫০/২) ফুট
= ২৫ ফুট

বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = Πr² বর্গফুট
= (২২/৭) × (২৫)^২ বর্গফুট
= ১৯৬৪.২৯ বর্গফুট

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১৯৬৪.২৯ বর্গফুট
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √১৯৬৪.২৯ ফুট
= ৪৪.৩২ ফুট

1 nautical mile = 6080 feet
6080 feet = 1.15 mile