গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: যদি 5^{x - 2} = 1/125 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
5^{x - 2} = 1/125
⇒ 5^{x - 2} = 5 ^{- 3}
⇒ x - 2 = - 3
⇒ x = - 3 + 2
⇒ x = - 1

প্রশ্ন: একটি ঘনকের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ২৯৪ বর্গ সে.মি. হলে ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ঘনকের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = ২৯৪ বর্গ সে.মি.

আমরা জানি, 
ঘনকের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = ৬ × (বাহু)^২ 
অর্থাৎ,
⇒ ৬a^২ = ২৯৪  ; [যেখানে a = বাহুর দৈর্ঘ্য] 
⇒ a^২ = ২৯৪/৬
⇒ a^২ = ৪৯
⇒ a = √৪৯
∴ a = ৭ সে.মি.

সুতরাং, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য ৭ সেন্টিমিটার।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 3p³ + 2p - 5 এর একটি উৎপাদক হতে পারে?

সমাধান:
ধরি,
f(p) = 3p³ + 2p - 5
∴ f(1) = 3(1)³ + 2 × 1 - 5
= 3 + 2 - 5
= 0
অতএব (p - 1), 3p³ + 2p -5 এর একটি উৎপাদক।

এখন,
3p³ + 2p - 5
= 3p³ - 3p² + 3p² - 3p + 5p - 5
= 3p²(p - 1) + 3p(p - 1) + 5(p - 1)
= (p - 1)(3p² + 3p + 5) 

প্রশ্ন: log₃(1/27) এর মান কত?

সমাধান:
log₃(1/27)
= log₃(1/3³)
= log₃3^-3
= - 3 log₃3
= - 3 × 1
= - 3

প্রশ্ন: ABCD চতুর্ভুজের AB||CD, AC = BD এবং ∠A = 90° হলে, সঠিক চতুর্ভুজ কোনটি?

সমাধান: 

যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ও সমান্তরাল এবং প্রতিটা কোণ এক সমকোণ, তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
এখানে AB||CD, AC = BD এবং কোণ A = 90°
অর্থাৎ, ABCD একটি আয়তক্ষেত্র।

প্রশ্ন: a - b = 3, ab = 4 হলে a² + b² এর মান কত?

সমাধান:
a - b = 3
ab = 4

আমরা জানি
(a - b)² = a² + b² - 2ab
3² = a² + b² - 2 × 4
9 + 8 =  a² + b²
 a² + b² = 17

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ১৫, ২০, ৩০ ও ৪৫ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রেই ৫ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
১৫, ২০, ৩০ ও ৪৫ এর ল.সা.গু = ১৮০
∴ সংখ্যাটি = ১৮০ + ৫ = ১৮৫

প্রশ্ন: 28 + 25 + 22 + ...... - 23 = কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা। 

যার প্রথম পদ, a = 28
সাধারণ অন্তর, d = 25 - 28 = - 3 
এবং শেষ পদ, l = - 23

আমরা জানি,
ধারার n-তম পদে, a_n = a + (n - 1)d
28 + (n - 1)(- 3) = - 23
⇒ 28 - 3(n - 1) = - 23
⇒ - 3(n - 1) = - 23 - 28 
⇒ - 3(n - 1) = - 51
⇒ 3(n - 1) = 51
⇒ n - 1 = 17
∴ n = 18

ধারার সমষ্টি, S_n = (n/2) × (প্রথম পদ + শেষ পদ)
= (18/2) × (28 + (- 23))
= 9 × (28 - 23)
= 9 × 5
= 45

প্রশ্ন অনুসারে,
প্রথম চারটি সংখ্যার সমষ্টি = ৪০০ - (৬ X ৩০) = ২২০
এবং শেষ চারটি সংখ্যার সমষ্টি = ৪০০ - (৬ X ৪০) = ১৬০
∴ প্রথম চারটি এবং শেষ চারটি সংখ্যার সমষ্টি = ২২০ + ১৬০ = ৩৮০
∴ পঞ্চম এবং ষষ্ঠ সংখ্যার যোগফল = (৪০০ - ৩৮০) = ২০
সুতরাং, যদি পঞ্চম সংখ্যাটি ১৫ হয় তাহলে ষষ্ঠ সংখ্যাটি ৫ হবে। আবার উল্টোটাও হতে পারে।
তবে কোনটি কত, তা বের করার জন্য প্রশ্নে পর্যাপ্ত তথ্য নেই।
সুতরাং, এটি নির্দিষ্টভাবে নির্ণয় করা সম্ভব নয়। 

ধরি,
নতুন সংখ্যা = a
∴ ৫৬ঃa = ৮ঃ৭
বা, ৫৬/a = ৮/৭
বা, ৮a = ৭ × ৫৬
∴ a = ৪৯

প্রশ্ন: ৬৫° কোণের সম্পূরক কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
যদি দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হয়, তবে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

∴ ৬৫° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৬৫)°
= ১১৫°

প্রশ্ন: (5,6) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত y-অক্ষকে স্পর্শ করলে, বৃত্তটির ব্যাস কত একক?

সমাধান: 
কেন্দ্র (5,6) বিশিষ্ট একটি বৃত্ত যদি y-অক্ষকে স্পর্শ করে (অর্থাৎ x = 0), তাহলে কেন্দ্র থেকে y-অক্ষ পর্যন্ত অনুভূমিক দূরত্বই বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

কেন্দ্রের X-সমন্বয় = 5 = দূরত্ব = |5| = 5 একক

তাহলে ব্যাসার্ধ = 5 একক
⇒ ব্যাস = 2 × 5 একক
⇒ ব্যাস = 10 একক

∴ বৃত্তটির ব্যাস = 10 একক

প্রশ্ন: যদি |x + ৩| ≤ ৮ হয়, তবে x এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
| x + ৩ | ≤ ৮
বা, - ৮ ≤ x + ৩ ≤ ৮
বা, - ৮ - ৩ ≤ x + ৩ - ৩ ≤ ৮ - ৩
বা, - ১১ ≤ x ≤ ৫
এখানে,
x এর সর্বনিম্ন মান = - ১১
এবং x এর সর্বোচ্চ মান = ৫

প্রশ্ন: লঞ্চ ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ঘণ্টায় ১৬ কি.মি. ও ৪ কি.মি.। নদীপথে ৬০ কি.মি. অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে আসতে কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
স্রোতের অনুকূলে লঞ্চের বেগ ঘন্টায় = লঞ্চের বেগ + স্রোতের বেগ 
​= (১৬ + ৪) কি.মি.
​= ২০ কি.মি.
∴ ৬০ কি.মি. যেতে সময় লাগবে = (৬০/২০) ঘণ্টা 
​= ৩ ঘণ্টা 

​​আবার, 
স্রোতের প্রতিকূলে লঞ্চের বেগ ঘণ্টায় = লঞ্চের বেগ - স্রোতের বেগ 
​= (১৬ - ৪) কি.মি. 
​= ১২ কি.মি.
∴ ৬০ কি.মি. যেতে সময় লাগবে = (৬০/১২) ঘণ্টা 
​ = ৫ ঘণ্টা 
​
∴ মোট সময় লাগবে = (৩ + ৫) ঘণ্টা 
​ = ৮ ঘণ্টা । 

প্রশ্ন: দিনাজপুর থেকে ঢাকার দূরত্ব ৩৩০ কিলোমিটার। একটি ট্রেন ৯ ঘণ্টায় ঢাকা থেকে দিনাজপুর চলে আসল। যাত্রা পথে ট্রেনটি ৩ ঘণ্টা বিরতি নেয়। ট্রেনটির গড় গতিবেগ কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
মোট দূরত্ব = ৩৩০ কিলোমিটার
∴ ট্রেনটি মোট (৯ - ৩) ঘণ্টা = ৬ ঘণ্টা যাত্রা করে

আমরা জানি, 
গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব/মোট সময় 
= ৩৩০/৬
= ৫৫ কিলোমিটার/ঘণ্টা 

প্রশ্ন: P = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8} এবং Q = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 9} হলে, P ∪ Q = কত?

সমাধান:
P = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8}

Q = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 9}
= {1, 3, 5, 7, 9}

সুতরাং, P ∪ Q = {3, 4, 5, 6, 7, 8} ∪ {1, 3, 5, 7, 9}
= {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

প্রশ্ন: রাহিম ও করিম আয়ের অনুপাত ৫ : ৪ এবং করিম : জাহিদ আয়ের অনুপাত ৬ : ৭। রাহিমের আয় ১৫০০ টাকা হলে, জাহিদের আয় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
রাহিম : করিম = ৫ : ৪
করিম : জাহিদ = ৬ : ৭
রাহিমের আয় = ১৫০০ টাকা

∴ রাহিম : করিম = ৫ : ৪ = (৫ × ৬) : (৪ × ৬) = ৩০ : ২৪ = ১৫ : ১২
∴ করিম : জাহিদ = ৬ : ৭ = (৬ × ৪) : (৭ × ৪) = ২৪ : ২৮ = ১২ : ১৪

∴ রাহিম : করিম : জাহিদ = ১৫ : ১২ : ১৪

∴ জাহিদের আয় = (১৪/১৫) × ১৫০০ = ১৪০০ টাকা

সুতরাং, জাহিদের আয় ১৪০০ টাকা। 

বহুভুজের কৌণিক বিন্দু = n
3টি কৌণিক বিন্দুর সমাবেশ থেকে একটি ত্রিভুজ গঠিত হয়
∴ মোট ত্রিভুজ সংখ্যা = ⁿc₃
= n!/3!(n - 3)!
=n(n - 1)(n - 2)(n - 3)!/6(n - 3)!
= n(n -1)(n - 2)/6

প্রশ্ন: যদি ১০ ফুট দীর্ঘ এবং ৮ ফুট প্রস্থের একটি মাদুর দিয়ে একটি রুমের মেঝের ২৫% জায়গা ঢেকে দেয়া যায় তবে ঐ মাদুরের  ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মাদুরের দৈর্ঘ্য ১০ ফুট এবং প্রস্থ ৮ ফুট
∴ মাদুরের ক্ষেত্রফল = ১০ × ৮ বর্গফুট 
= ৮০ বর্গফুট

প্রশ্ন: একটি জিনিস নির্মাতা ১৫% লাভে এবং খুচরা বিক্রেতা ২০% লাভে বিক্রি করে। নির্মাণ খরচ ২০০ টাকা হলে, খুচরা বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য কত?

সমাধান: 
১৫% লাভে,
নির্মাতার বিক্রয়মূল্য = ২০০ + ২০০ এর ১৫% টাকা 
= (২০০ + ৩০) টাকা 
= ২৩০ টাকা

আবার,
২০% লাভে,
খুচরা বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য (২৩০ + ২৩০ এর ২০%)
= [২৩০ + {২৩০ এর (২০/১০০)}] টাকা
= (২৩০ + ৪৬) টাকা
= ২৭৬ টাকা

সুতরাং, খুচরা বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য ২৭৬ টাকা। 

২০% বৃদ্ধিতে চালের পূর্ব মূল্য ১০০ টাকা হলে বর্তমান মূল্য ১২০ টাকা।
১২০ টাকায় কমাতে হবে ২০ টাকা
∴ ১ টাকায় কমাতে হবে ২০/১২০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় কমাতে হবে (২০×১০০) / ১২০ টাকা
= ১৬.৬৭ টাকা

3^x+3^x+3^x
= 3.3^x
= 3^x.3
= 3^x+1

ধরি,
প্রথম পদ a এবং
সাধারন অন্তর d
a+3d+a+11d = 20
2a + 14d = 20
S₁₅=15/2{2a+(15-1)d}
= 15/2{2a+14d}
= 15×20/2
= 150

প্রশ্ন: একটি গ্রামের 10% বাসিন্দা কলেরায় আক্রান্ত হয়ে মারা যায়। আতঙ্ক সৃষ্টি হওয়ায়, বাকি বাসিন্দাদের 25% গ্রাম ছেড়ে চলে যান। ফলে জনসংখ্যা কমে হয় 4050, গ্রামের পূর্বের বাসিন্দা সংখ্যা কত ছিল? 

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 5 এবং সাধারণ অন্তর 3। 10টি পদের যোগফল কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 3
পদ সংখ্যা, n = 10

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n টি পদের যোগফল,
S₁₀= (10/2) [2 × 5 + (10 - 1) × 3]
= 5 [10 + 9 × 3]
= 5 [10 + 27]
= 5 × 37
= 185

∴ 10টি পদের যোগফল 185

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 17 মি. এবং প্রস্থ 8 মি. হলে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ধরি,
 
আয়তক্ষেত্র ABCD এর কর্ণের দৈর্ঘ্য AC = 17 মি. এবং প্রস্থ AB = 8 মি.
∴ দৈর্ঘ্য, BC = √(17² - 8²) মি.
=√(289 - 64) মি.
= √225 মি.
= 15 মি.

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 15 × 8 = 120 বর্গমিটার

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 31 হলে, সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা x
অপর সংখ্যাটি x + 1

প্রশ্নমতে,
(x + 1)² - x² = 31
⇒ (x + 1 + x)(x + 1 - x) = 31
⇒ 2x + 1 = 31 
⇒ 2x = 30
⇒ x = 15

∴ একটি সংখ্যা= 15 এবং অপর সংখ্যাটি = x + 1 = 15 + 1 = 16

শর্টকাট:
বড় সংখ্যাটি = (সংখ্যাদ্বয়ের বর্গের পার্থক্য + 1)/2
ছোট সংখ্যাটি = (সংখ্যাদ্বয়ের বর্গের পার্থক্য - 1)/2

∴ বড় সংখ্যাটি = (31 + 1)/2 = 16 এবং ছোট সংখ্যাটি = (31 - 1)/2 = 15

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার সাথে ৩ যোগ করলে যোগফল ২৪, ৩৬ ও ৪৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে? 

সমাধান: 
সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৪৮ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৩ কম। 
এখন, ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ এর ল.সা.গু = ১৪৪ 
∴ সংখ্যাটি = (১৪৪ - ৩)
= ১৪১ । 

x + 2y = 6.......(1)
এবং x/y = 4
বা, x/y = 4,
বা, x = 4y
বা, x - 4y = 0.....(2)
(1)নং - (2)নং হতে পাই
6y = 6
∴ y = 1
∴ (2) নং হতে পাই,
x - 4.1 = 0
বা, x = 4

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা এমন যে, এটি ৮৯০ থেকে যত ছোট, ৬৭০ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৬৭০ = ৮৯০ - ক
⇒ ক + ক = ৮৯০ + ৬৭০
⇒ ২ক = ১৫৬০
⇒ ক = ১৫৬০ ÷ ২
∴ ক = ৭৮০ 

প্রশ্ন: একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিটার। ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিটার

আমরা জানি, 
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল =  6a², [যেখানে a হলো ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য।]

প্রশনমতে, 
6a² = 48
⇒ a² = 48/6
⇒ a² = 8
⇒ a = √8 = 2√2 
∴ a = 2√2 মিটার

আবার,
আমরা জানি,
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√3
= (2√2) × √3  ; [a = 2√2]
= 2√(2 × 3)
= 2√6

সুতরাং, ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য 2√6 মিটার।