গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: ৪ + ৬ + ৮ + ...... + ৬০ ধারাটির পদসংখ্যা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ধারার প্রথম পদ, a = ৪ 
শেষ পদ = ৬০ 
সাধারণ অন্তর, d = (৬ - ৪) = ২

আমরা জানি, 
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১ 
= {(৬০ - ৪)/ ২} + ১ 
= (৫৬/২) + ১ 
= ২৮ + ১ 
= ২৯ । 

প্রশ্ন: যদি (2/3)^{2x - 1} × (3/2)^{x + 2} = (2/3)^{- 3} হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
(2/3)^{2x - 1} × (3/2)^{x + 2} = (2/3)^{- 3}
⇒ (2/3)^{2x - 1} × (2/3) ^{- (x + 2)} = (2/3)^{- 3}
⇒ 2x - 1 - x - 2 = - 3
⇒ x - 3 = - 3
⇒ x = 0

FREEDOM শব্দটিতে 7টি বর্ণ আছে যাদের 2টি E.
∴ সবগুলো বর্ণ নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2! = 2520
∴ পুনর্বিন্যাস সংখ্যা = 2520 - 1 = 2519

প্রশ্ন: যদি 5xy + 28x - 2 = 0 এবং y = - 4 হয়, তাহলে 4x - y = কত?

সমাধান:
5xy + 28x - 2 = 0
বা, 5x(- 4) + 28x - 2 = 0   [ y = - 4 ]
বা, - 20x + 28x - 2 = 0
বা, 8x - 2 = 0
বা, 8x = 2
বা, x = 2/8
∴ x = 1/4

∴ 4x - y = 4(1/4) - (- 4)
= 1 + 4
= 5

প্রশ্ন: ⁸P_r = 336 হলে, r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⁸P_r = 336
⇒ 8!/(8 - r)! = 6 × 7 × 8
⇒ (8 - r)! × 6 × 7 × 8 = 8!
⇒ (8 - r)! = (8 × 7 × 6 × 5!)/(6 × 7 × 8)
⇒ (8 - r)! = 5!
⇒ (8 - r) = 5
⇒ r = 8 - 5
∴ r = 3

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের পরিমাণ 60⁰
এবং ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরিত অন্তস্থ দুইটি কোণের সমষ্টির সমান।
সুতরাং,
 সমবাহু ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় এর মান হবে 60⁰ + 60⁰ = 120⁰

প্রশ্ন: যদি n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হয়, তবে নিচের কোনটি অবশ্যই বিজোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান:
যেহেতু n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, সুতরাং 2n অবশ্যই জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা হবে। 

∴ 2n + 1 হবে বিজোড় পূর্ণসংখ্যা। 

উদাহরণ:
2 × 3 + 1 = 6 + 1 = 7
2 × 4 + 1 = 8 + 1 = 9

প্রশ্ন: ৫ + ১১ + ১৭ + ২৩ +................... ধারাটির প্রথম ২২ টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = ৫
সাধারন অন্তর, d = ৬
n = ২২ 

∴ ধারাটির প্রথম ২২ পদের সমষ্টি = (n/২){২a + (n - ১)d}
= (২২/২){২ × ৫ + (২২ - ১)৬}
= ১১ × (১০ + ২১ × ৬)
= ১১ × (১০ + ১২৬)
= ১১ × ১৩৬
= ১৪৯৬ 

সুতরাং, ধারাটির প্রথম ২২ টি পদের সমষ্টি ১৪৯৬

মনে করি, সংখ্যাটি x
অর্থাৎ, x + 1/x = 2
এখানে, অংক সহজে করার জন্য, অপশন থেকে x এর মান বসিয়ে দেখা যেতে পারে।
x = -1 হলে x + 1/x ≠ 2
x = 1 হলে x + 1/x = 2
x = 2 হলে x + 1/x ≠ 2
x = -1/2 হলে x + 1/x ≠ 2
সুতরাং, সঠিক উত্তর হবে 1

ধরি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ‘ক’
বৃহত্তম সংখ্যা ‘ক+২’
ক×(ক+২)=২৪
ক^২+২ক=২৪
ক^২+২ক-২৪=০
(ক+৬)(ক-৪)=০
ক=৪;-৬

প্রশ্ন: a⁴ - 2a² + 1 = 0 হলে a এর মান কত?

সমাধান:
a⁴ - 2a² + 1 = 0
⇒ (a²)² - 2.a².1 + 1² = 0
⇒ (a² - 1)² = 0
⇒ a² - 1 = 0
⇒ a² = 1
∴ a = 1

প্রশ্ন: একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. ও ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গ সে.মি. হলে, রম্বসের অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

সমাধান:
ধরি,
অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = a সে.মি.

আমরা জানি,
∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, ৪৮ = (১/২) × a × ১২
বা, ৬a = ৪৮
∴ a = ৮

∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৮ সে.মি.

সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৪৮ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ১ কম।
এখন, ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ এর ল.সা.গু = ১৪৪
∴ লঘিষ্ট সংখ্যাটি হচ্ছে = ১৪৪ - ১ = ১৪৩

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি 42π। ঐ বৃত্তের ভিতরে অঙ্কিত একটি বর্গের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বৃত্তের পরিধি, 2πr = 42π
r = 42π/2π
⇒ r = 21

∴ বৃত্তের ব্যাস d = 2r
= 2 × 21
= 42

ধরি, বর্গের বাহু a এবং বর্গের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস।
d = a√2
⇒ a = d/√2
⇒ a = 42/√2
⇒ a = (42 × √2)/(√2 × √2)
⇒ a = (42 × √2)/2
∴ a = 21√2

∴ বর্গের পরিধি, 4a = 21√2 × 4
= 84√2

∴ বর্গের পরিধি 84√2

125(√5)^2x = 1
বা, (√5)^2x = 1/125
বা, (√5)^2x = 1/(5×5×5)
বা, (√5)^2x = 1/(√5)⁶
বা, (√5)^2x = (√5)^-6
বা, 2x = -6
বা, x = -3

প্রশ্ন: 12 + 17 + 22 + 27 + …...+ 207 = কত? 

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা। যার, 
প্রথম পদ, a = 12
সাধারণ অন্তর, d = 17 - 12 = 5

আমরা জানি,
n-তম পদ, an = a + (n - 1)d 
⇒ 12 + (n - 1)5 = 207
⇒ (n - 1)5 = 207 - 12
⇒ (n - 1)5 = 195
⇒ n - 1 = 195/5
⇒ n - 1 = 39
⇒ n = 39 + 1
∴ n = 40

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার সমষ্টি, S_n = (n/2) × (প্রথম পদ + শেষ পদ)
S₄₀ = (40/2) × (12 + 207)
= 20 × 219
= 4380

প্রশ্ন: মাতা ও দুই সন্তানের বয়সের গড় ২৮ বছর। দুই সন্তানের বয়সের গড় ২২ বছর হলে মাতার বয়স কত?

সমাধান:
মাতা ও দুই সন্তানের মোট বয়স = (৩ × ২৮) বছর
= ৮৪ বছর
দুই সন্তানের মোট বয়স = (২ × ২২) বছর
= ৪৪ বছর 
∴ মাতার বয়স (৮৪ – ৪৪) বছর = ৪০ বছর

প্রশ্ন: একটি সাইকেল ১০% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ৬৬০ টাকা বেশি হলে ১৪% লাভ হতো। সাইকেলটির ক্রয়মূল্য কত হবে?

সমাধান:
মনে করি,
সাইকেলটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য (১০০ - ১০) = ৯০ টাকা
১৪% লাভে বিক্রয়মূল্য (১০০ + ১৪) = ১১৪ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য বেশি = (১১৪ - ৯০) = ২৪ টাকা

বিক্রয়মূল্য ২৪ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ২৪ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য (১০০/২৪) টাকা
বিক্রয়মূল্য ৬৬০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য (১০০/২৪) × ৬৬০ টাকা
= ২৭৫০ টাকা

মোট অক্ষর 6 টি যাদের মধ্যে 2 টি O অর্থাৎ স্বরবর্ন বাকী 4 টি ব্যাঞ্জনবর্ণ
∴ সাজানোর উপায় 5! = 120

প্রশ্ন: X = {a, b, c}, Y = {c, d} এবং Z = X ∩ Y হলে, Z × Y = কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
X = {a, b, c}
Y = {c, d}

Z = X ∩ Y = {a, b, c} ∩ {c, d}
∴ Z = {c}

এখন,
Z × Y = {c} × {c, d}
∴ Z × Y = {(c, c), (c, d)}

৮০০ টাকার ১ বছরের সুদ = (২০ X ৮০০) / ১০০ = ১৬০ টাকা।
৫০০ টাকার ১ বছরের সুদ = (১০ X ৫০০) / ১০০ = ৫০ টাকা।
সুতরাং ১ বছরের মোট সুদ = ১৬০+৫০ = ২১০ টাকা।

এখানে, x + 1/x = √5 ও x - 1/x = √3

∴ 2(x² + 1/x²) 
= (x + 1/x)² + (x - 1/x)² [যেহেতু 2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²]
= (√5)² + (√3)²
= 5 + 3
= 8
অর্থাৎ, (x² + 1/x²) = 4

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার দশকের অঙ্কের সাথে ৩ যোগ করলে এবং এককের অঙ্ক থেকে ২ বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি মূল সংখ্যার তিন গুণ হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার এককের অঙ্ক = x এবং 
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার দশকের অঙ্ক = y 
∴ সংখ্যাটি = x + ১০y 

আবার, 
নতুন সংখ্যাটির এককের অঙ্ক = x - ২ 
নতুন সংখ্যাটির দশকের অঙ্ক = y + ৩ 

∴ নতুন সংখ্যাটি = x - ২ + ১০ (y + ৩) 
= x - ২ + ১০y + ৩০ 
= x + ১০y + ২৮

প্রশ্নমতে, 
৩ (x + ১০y) = x + ১০y + ২৮ 
বা, ৩x + ৩০y = x + ১০y + ২৮
বা, ৩x - x +৩০y - ১০y = ২৮ 
বা, ২x + ২০y = ২৮ 
বা, ২ (x + ১০y) = ২৮ 
বা, (x + ১০y) = ২৮/২ 
∴ (x + ১০y) = ১৪

∴ সংখ্যাটি = ১৪ ।

ক এর বেতন ১৩৫ টাকা হলে খ এর বেতন ১০০ টাকা
অর্থাৎ, ১৩৫ টাকায় খ এর বেতন কম ৩৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় বেতন কম (৩৫×১০০)/১৩৫ = ২৫.৯৩ টাকা

0.3x = √0.009
বা, 0.09x² = 0.009
বা, 0.09x² = 0.009
বা, 90x² = 9 [1000 দ্বারা গুণ করে]
বা, x² = 9/90 = 1/10
বা, x = 1/√10
∴ 1/x = √10

x² + y²
= (x - y)² + 2xy
= 12 + 2 x 1
=14

মোট মার্বেল ২৫ টি
২টি মার্বেলই কালো হবার সম্ভাবনা ¹⁰C₂/²⁵C₂ = 3/20
২টি মার্বেলই লাল হবার সম্ভাবনা ¹⁵C₂/²⁵C₂ = 7/20
তাহলে মার্বেল দুটি একই রং হবার সম্ভাবনা 3/20 + 7/20 = 1/2

প্রশ্ন: ৫ + ৯ + ১৩ + ১৭ + ............ + ৮৫ ধারাটির পদসংখ্যা কত? 

সমাধান: 
২য় পদ - ১ম পদ = ৯ - ৪ = ৪
৩য় পদ - ২য় পদ = ১৩ - ৯ = ৪
∴ ইহা একটি সমান্তর ধারা। 

এখানে, 
প্রথম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৪ 
শেষপদ  = ৮৫

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n তম পদ = 

প্রশ্নমতে, 
a + (n - 1)d = ৮৫ 
বা, ৫ + (n - ১) × ৪ = ৮৫
বা, (n - ১) × ৪ = ৮৫ - ৫ 
বা, (n - ১) × ৪ = ৮০ 
বা, n - ১ = ৮০/৪ 
বা, n - ১ = ২০
বা, n = ২০ + ১ 
∴ n = ২১

∴ ধারাটির পদসংখ্যা = ২১ টি । 

প্রশ্ন: ৫০% নম্বর পেতে একজন শিক্ষার্থী ২০টি প্রশ্নের সঠিক উত্তর দিয়েছে। যদি সে ৮০% নম্বর পেতে চায়, তবে তাকে কয়টি প্রশ্ন ঠিক করতে হবে?

সমাধান: 
৫০% নম্বর পায় সঠিক উত্তর দিয়ে = ২০ টি প্রশ্নের  
∴ ১% নম্বর পায় সঠিক উত্তর দিয়ে = ২০/৫০ টি প্রশ্নের 
∴ ৮০% নম্বর পায় সঠিক উত্তর দিয়ে = (২০ × ৮০)/ ৫০ টি প্রশ্নের 
= ৩২ টি প্রশ্নের 

∴ ছাত্রটির প্রশ্নের উত্তর শুদ্ধ করতে হবে = ৩২ টি।

৩ কেজি মিষ্টির মূল্য ৩ × ৩৫০ = ১০৫০ টাকা
১০০ টাকায় ভ্যাট ৪ টাকা
∴ ১০৫০ টাকায় ভ্যাট ১০৫০ × (৪/১০০) = ৪২ টাকা

সুতরাং, মোট খরচ = ১০৫০ + ৪২ = ১০৯২ টাকা

প্রশ্ন: যদি ⁸P_r = 336 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
⁸P_r = 336
⇒ 8!/(8 - r)! = 336 [আমরা জানি, ⁿP_r = n!/(n - r)!]
⇒ 40320/(8 - r)! = 336
⇒ (8 - r)! = 40320/336 
⇒ (8 - r)! = 120
⇒ (8 - r)! = 5!  [5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120]
⇒ 8 - r = 5
⇒ r = 8 - 5 
∴ r = 3

মনে করি,
বৃহত্তম কোণ = ক
এবং ক্ষুদ্রতম কোণ = (90° - ক)
শর্তমতে,
ক - (90°- ক) = 12°
বা, ক - 90° + ক = 6°
বা, 2ক = 90° + 12°
বা, 2ক = 102°
বা, ক = 51°
সুতরাং ক্ষুদ্রতম কোণ = 90°- ক = 90°- 51° = 39°

cosec(180° + θ) = 2
বা, - cosecθ = 2
বা, cosecθ = -2
বা, sinθ = - 1/2
বা, sin²θ = 1/4
∴ cosθ = ±√(1-(1/4))
= -√(3/4)
= -((√3)/2)

সরল করুন: {(৯/১৮) ÷ (৪/৮)} × {(২৮/৭) ÷ (১৬/৪)}

সমাধান:
{(৯/১৮) ÷ (৪/৮)} × {(২৮/৭) ÷ (১৬/৪)}
= {(১/২) ÷ (১/২)} × (৪ ÷ ৪)
= {(১/২) × (২/১)} × ১
= ১ × ১
= ১