গাণিতিক যুক্তি

এখানে, x - y = m + n + 9
এবং     x + y = m - n - 3
'+' করে,   2x = 2m + 6
বা, x = m + 3
∴ x - m = 3

এখানে a = 27 এবং
r =9/ 27 = 1/3,
সুতরাং পঞ্চম পদ = ar^{n - 1}
= 27×(1/3) ^{5 - 1}
= 27 × (1/3)⁴ 
= 27/81
= 1/3

(0, 0) হতে (-5, 5)  এর দূরত্ব = √{(০+5)²+(0-5)²}
                                       = √50
আবার, (0, 0) হতে (5, k)  এর দূরত্ব = √{(0-5)²+(0-k)²}
                                               = √(k² + 25)

∴√(k² + 25) = √50
বা, k² = 25
বা, k = 5

বর্গাকার জমির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৯৮ = ৭√২ মিটার
তাহলে, কর্ণ = ১৪ মিটার
সুতরাং, আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য = (১৪ X ১.৫) = ২১ মিটার
আয়তাকার জমির প্রস্থ = ৭ মিটার
আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল = ১৪৭ বর্গমিটার

১৪৭ বর্গমিটার ৯৮ বর্গমিটারের ১৫০%

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৫ টাকা
১২০ টাকার ৩ বছরের সুদ = (৫ X ৩ X ১২০)/১০০ টাকা
= ১৮ টাকা
∴ সুদাসল = (১২০+ ১৮ ) টাকা = ১৩৮ টাকা।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ২১০ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ দৈর্ঘ্যের ২/৫ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ক মিটার
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ২ক/৫ মিটার

প্রশ্নমতে,
২(ক + ২ক/৫) = ২১০
বা, ২{(৫ক + ২ক)/৫} = ২১০
বা, ২ × ৭ক/৫ = ২১০
বা, ১৪ক/৫ = ২১০
বা, ১৪ক = ৫ × ২১০
বা, ১৪ক = ১০৫০
বা, ক = ১০৫০/১৪
∴ ক = ৭৫

∴ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = (২ × ৭৫)/৫ মিটার
= ১৫০/৫ মিটার
= ৩০ মিটার

প্রশ্ন: যদি log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) - 1 = log₁₀(x + 5) হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান: 
log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) - 1 = log₁₀(x + 5)
⇒ log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) - log₁₀10 = log₁₀(x + 5)
⇒ log₁₀{5 × (5x + 1)/10} = log₁₀(x + 5)
⇒ (5x + 1)/2 = x + 5
⇒ 5x + 1 = 2x + 10
⇒ 5x - 2x = 10 - 1
⇒ 3x = 9
⇒ x = 9/3
∴ x = 3

ধরি, প্রকৃত দূরত্ব = x কিমি
প্রশ্নমতে,
(x + 20)/14 = x/10
14x = 10x + 200
4x = 200
x = 50

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান: 
অমূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না সে সকল সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলে। পূর্ণবর্গ নয় এমন স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ সংখ্যা। যেমন, √2, √3, π ইত্যাদি। 

ক) √18 = অমূলদ সংখ্যা। কারণ 18 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। 
√18 = 3√2 যেখানে √2 অমূলদ।

খ) √12 = অমূলদ সংখ্যা। কারণ 12 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। 
√12 = 2√3 যেখানে √3 অমূলদ।

গ) e = 2.71828...... যা অমূলদ সংখ্যা। এটি কোনো ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায় না।

সুতরাং, সঠিক উত্তর: ঘ) সবগুলো

প্রশ্ন: (2, - 5) বিন্দুটি নিচের কোন সরল রেখার উপর অবস্থিত?

সমাধান: 
x = 2, y = - 5 বসিয়ে,

অপশন (ক)- এ, 4x + 3y = 5
4(2) + 3(- 5) = 8 - 15 = - 7 ≠ 5

অপশন (খ)- এ, 2x - y + 1 = 0
2(2) - (- 5) + 1 = 4 + 5 + 1 = 10 ≠ 0

অপশন (গ)- এ, 2x + y = 1
2(2) + (- 5) = 4 - 5 = - 1 ≠ 1

অপশন (ঘ)- এ, 4x - 3y = 23
4(2) - 3(- 5) = 8 + 15 = 23
∴ 23 = 23 ;যা সত্য

অতএব, বিন্দুটি 4x - 3y = 23 রেখার উপর অবস্থিত।

ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3-1 = 2
মনে করি, n তম পদ = 383
∴ a + (n-1)d = 383
⇒ 1 + (n-1)2 = 383
⇒ 2n - 2 = 382
⇒ 2n = 384
∴ n = 192

প্রশ্ন: f(x) = x² - 7x + 12 এবং f(x) = 0 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
f(x) = x² - 7x + 12
এবং f(x) = 0

এখন,
x² - 7x + 12 = 0 
⇒ x² - 3x - 4x + 12 = 0
= x(x - 3) - 4(x - 3) = 0
= (x - 3)(x - 4) = 0

অর্থাৎ, (x - 3) = 0
∴ x = 3

অথবা, (x - 4) = 0
∴ x = 4

⇒ x = 3, 4

এখানে, r₁ = 2r
পরিধি = 2πr₁ = 4πr
ব্যাস = 2r₁ = 4r 
ক্ষেত্রফল =πr²₁ = 4πr²

প্রশ্ন: বার্ষিক ৬% সরল সুদে কত টাকা বিনিয়োগ করলে ৩ বছরে তা ৯৪৪ টাকা হবে?

সমাধান:
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৬ টাকা
∴ ১০০ টাকার ৩ বছরের সুদ = (৬ × ৩) = ১৮ টাকা

তাহলে সুদাসল = ১০০ + ১৮ = ১১৮ টাকা

সুদাসল ১১৮ টাকা হলে আসল = ১০০ টাকা
∴ সুদাসল ১ টাকা হলে আসল = ১০০/১১৮ টাকা
∴ সুদাসল ৯৪৪ টাকা হলে আসল = (১০০ × ৯৪৪)/১১৮ টাকা
= ৮০০ টাকা

∴ বিনিয়োগ = ৮০০ টাকা।

প্রশ্ন: cot(π + x) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছ,
cot(π + x)

আমরা জানি,
তৃতীয় চতুর্ভাগে tan, cot ধনাত্মক

এখানে,
cot(π + x) = cot(180° + x) [যার অবস্থান তৃতীয় চতুর্ভাগে]
= cotx

প্রশ্ন: সরল মুনাফার হার শতকরা কত হলে যে কোন আসল ২০ বছরে মুনাফা-আসলে পাঁচগুণ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল P = ১০০ টাকা
২০ বছরে মুনাফা-আসল A = ১০০ × ৫ টাকা
 = ৫০০ টাকা
 
∴ মুনাফা I = ৫০০ - ১০০ = ৪০০ টাকা

সময় n = ২০ বছর
মুনাফার হার r = ?

আমরা জানি,
I = Pnr/১০০
r = (I × ১০০)/Pn
r = (৪০০ × ১০০)/(১০০ × ২০)
∴ r = ২০%

∴ মুনাফার হার ২০% ।

প্রশ্ন: 7 থেকে 28 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
7 থেকে 28 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা হলো,
7, 11, 13, 17, 19, 23
মোট মৌলিক সংখ্যা = 6

7 থেকে 28 পর্যন্ত মোট সংখ্যা, 
= 28 - 7 + 1
= 22

∴ মৌলিক সংখ্যার সম্ভাবনা = 6/22 
= 3/11

∴ মৌলিক সংখ্যার সম্ভাবনা = 3/11 

• আমরা জানি, পরিসংখ্যানের উপাত্তগুলোর মানের ক্রমানুসারে সাজালে যেসকল উপাত্ত ঠিক মাঝখানে থাকে সেগুলোর মানই হবে উপাত্তগুলোর মধ্যক।
• যদি উপাত্তের সংখ্যা n হয় এবং n যদি বিজোড় সংখ্যা হয় তবে মধ্যক হবে (n + 1)/2 তম পদের মান।
• সেক্ষেত্রে ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০, ১১, ১২, ১৩ উপাত্তগুলোর মধ্যক হবে = (১১+১)/২ = ৬ তম পদের মান।
• সুতরাং উপাত্তগুলোর মধ্যক হবে = ৮।

আমরা জানি,
বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (n-২)×180° [এখানে n = সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা]
(6-2)×180° = 720°
= 720°/90° = 8 সমকোণ [যেহেতু 90° = 1 সমকোণ]

প্রশ্ন: 1 + 5 + 9 + 13 + ................ ধারাটির 15-তম পদ কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 5 - 1 = 4

সমান্তর ধারার n তম পদের সূত্র: 
a_n = a + (n - 1)d
a₁₅ = a + (15 - 1)d
= 1 + (15 - 1) × 4
= 1 + 14 × 4
= 1 + 56  
= 57 

∴ ধারাটির 15-তম পদ 57.

প্রশ্ন: পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৪৫ বছর। পিতা ও পুত্রের গড় ৪২ বছর। মাতার বয়স কত?

সমাধান:
মাতার বয়স:
৩ × ৪৫ - ২ × ৪২
= ১৩৫ - ৮৪
= ৫১

প্রশ্ন: 1, 4, 9, 16, 25 ............. সংখ্যাগুলোর পরবর্তী সংখ্যা নীচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া সংখ্যা সিরিজ: 1, 4, 9, 16, 25, ...

প্রতিটি সংখ্যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা:
1 = 1², 4 = 2², 9 = 3², 16 = 4², 25 = 5² 
তাই পরবর্তী সংখ্যা = 6² = 36

∴পরবর্তী সংখ্যা হলো 36

প্রশ্ন: A এবং B দুটি ঘটনা যেখানে P(A) = 3/8, P(B) = 1/2 এবং P(A ∩ B) = 1/4 হয়, তবে  P(A̅ ∩ B̅) = ?

সমাধান:
P(A) = 3/8
P(B) = 1/2
P(A ∩ B) = 1/4

আমরা জানি, 
P(A̅ ∩ B̅) = 1 - P(A ∪ B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

∴ P(A ∪ B) = (3/8) + (1/2) - (1/4)
⇒ P(A ∪ B) = (3 + 4 - 2)/8
⇒ P(A ∪ B) = 5/8

∴ P(A̅ ∩ B̅) = 1 - (5/8)
⇒ P(A̅ ∩ B̅) = (8 - 5)/8 = 3/8

প্রশ্ন: সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভুমি সংলগ্ন কোণের মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°

সমকোণী ত্রিভুজের ১ টি কোণ সমকোণ = ৯০°
বাকি ২টি কোণ সূক্ষ্মকোণ < ৯০°।
সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ ২টি পরস্পর সমান।

∴ সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণের মান = ৯০°
∴ সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভুমি সংলগ্ন কোণের মান = (১৮০° - ৯০°)/২ = ৪৫° 

-7, -9, -11, -13, -15, -17, -19, -21, -23

পঞ্চম পদ, a + (5 - 1)d = - 15
Therefore, a + 4d = - 15
সবগুলো সংখ্যার সমষ্টি
= 9/2{2a + (9 - 1)d}
= 9/2(2a + 8d)
= 9(a + 4d)
= 9*(- 15)
= - 135

প্রশ্ন: (x² - 8x + 15) ও (x² - 10x + 21) এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
প্রথম উৎপাদক, 
x² - 8x + 15
= x² - 5x - 3x + 15
= x(x - 5) - 3(x - 5)
= (x - 5)(x - 3)

দ্বিতীয় বহুপদী,
x² - 10x + 21
= x² - 7x - 3x + 21
= x(x - 7) - 3(x - 7)
= (x - 7)(x - 3)

সুতরাং, সাধারণ উৎপাদক: (x - 3)

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার 4/5 অংশ তার 2/3 অংশের চেয়ে 12 বেশি হলে সংখ্যাটি কত হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x

শর্তমতে,
(4x/5) - (2x/3) = 12
বা, (12x - 10x)/15 = 12
বা, 12x - 10x = 180
বা, 2x = 180
বা, x = 180/2
∴ x = 90

∴ সংখ্যাটি = 90  ।