গাণিতিক যুক্তি

ধরি,
একটি সংখ্যা = x
এবং অপর সংখ্যাটি = y
১ম শর্তমতে,
x + y = 65 ------- (i)
২য় শর্তমতে,
x - y = 5 -------- (ii)
(i) + (ii) ⇒
2x = 70
∴ x = 35
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে -
y = 30

প্রশ্ন: cosecθ + cotθ = 4/3 হলে, cosecθ - cotθ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
cosecθ + cotθ = 4/3

আমরা জানি,
cosec⁡²θ - cot⁡²θ = 1
⇒ (cosec⁡θ + cot⁡θ)(cosec⁡θ - cot⁡θ) = 1
⇒ (4/3)(cosec⁡θ - cot⁡θ) = 1
⇒ (cosec⁡θ - cot⁡θ) = 1/(4/3)
∴ (cosec⁡θ - cot⁡θ) = 3/4

সুতরাং, cosecθ - cotθ এর মান 3/4। 

প্রশ্ন: log_√381 এর মান কত? 

সমাধান: 
log_√381
= log_√33⁴
= log_√3(√3)^{2 × 4}
= log_√3(√3)⁸
= 8log_√3√3
= 8 . 1
= 8

এখানে ১ম পদ a = 2000
সাধারণ অন্তর d =100
আমরা জানি, n সংখ্যক পদের সমষ্টি = {2a + (n - 1)d} × n/2
∴18 সংখ্যক পদের সমষ্টি = {2 × 2000 + (18 - 1) × 100} × 18/2 = 51300
∴তিনি প্রথম 18 মাসে মোট জমা করেন = 51300 টাকা

প্রশ্ন: একটি বিদ্যালয়ের অর্ধ-বার্ষিক পরীক্ষায় ৯০ জন ছাত্রের মধ্যে ৬০ জন ছাত্র ফেল করলে পাশের হার কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট ছাত্র = ৯০ জন
ফেল করে = ৬০ জন
∴ পাশ করে = ৯০ - ৬০ = ৩০ জন 

এখন,
৯০ জন ছাত্রের মধ্যে পাশ করে = ৩০ জন
∴ ১ জন ছাত্রের মধ্যে পাশ করে = (৩০/৯০) জন
∴ ১০০ জন ছাত্রের মধ্যে পাশ করে = (৩০ × ১০০)/৯০ = (১০০/৩)%
 
 ∴ পাশের হার = (১০০/৩)%

প্রশ্ন: যদি P(A) = 2/5, P(B) = 3/8 এবং A ও B স্বাধীন হয়, তাহলে P(B|A) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P(A) = 2/5
P(B) = 3/8
A ও B স্বাধীন ঘটনা।

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= (2/5) × (3/8)
= 3/20

P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A)
= (3/20)/(2/5)
= (3/20) × (5/2)
= 3/8
∴ P(B|A) এর মান = 3/8

Shortcut:
যেহেতু A ও B স্বাধীন ঘটনা, তাই একটি ঘটনার সম্ভাবনা অন্যটি ঘটার উপর নির্ভরশীল নয়।
তাই, A ঘটনা ঘটার সাপেক্ষে B ঘটনার সম্ভাবনা P(B|A) হলো শুধুমাত্র P(B) এর সমান।
∴ P(B|A) = P(B) = 3/8

x⁶ + 4x³ − 1
= (x²)³ + x³ + (-1)³ - 3x².x(-1)
= (x² + x - 1){(x²)² + x² + (-1)² - x²x - x(-1) - (-1)x²} [As, x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)]
= (x² + x - 1)(x⁴ - x³ + 2x² +x + 1)

x² > 8; এই শর্তে x এর মানের সেট P হলে, P = {3, 4, 5 .......}
x³ < 30; এই শর্তে x এর মানের সেট Q হলে, Q = {1, 2, 3}

উভয় শর্তে x এর মানের সেট, A = P ∩ Q
= {3, 4, 5 .......} ∩ {1, 2, 3}
= {3}

২m সংখ্যক জিনিস সমান দুই ভাগে বিভক্ত করলে সমাবেশ সংখ্যা = (২m)!/২!(m!)^২ ।
৮ বা (২X৪) জন খেলোয়াড়কে সমান সংখ্যক দুইটি দলে বিভক্ত করার উপায়= ৮!/ [২!(৪!)^২] = ৩৫ ।

বিকল্প সমাধানঃ

প্রতি দলে ৪ জন করে নিয়ে দল গঠিত হবে।
৮ জন থেকে ৪ জন করে নিয়ে মোট দল গঠনের উপায় = ^৮C_৪ = (৮)!/(৪!(৮-৪)!) = ৭০ ।
সমান সংখ্যক বা ৪ জন করে দুটি দলে বিভক্ত করার উপায় = ৭০/২ = ৩৫ ।

প্রশ্ন: cos(180° + θ) = ?

সমাধান:

cos(180° + θ) এর মানে হল cos তৃতীয় ভাগে।
তাই cos এর মান ঋণাত্নক হবে।
∴ cos(180° + θ) = - cosθ

আমরা জানি, ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6a² এবং আয়তন = a³
প্রশ্নানুসারে, 6a² = 216
বা, a² = 36
বা, a = 6
সুতরাং আয়তন = 6³
= 216 ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দুইটি নল আছে। ১ম নল দ্বারা ১৫ মিনিটে ও ২য় নল দ্বারা ৩০ মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে পারে। দুইটি নল খোলা থাকা অবস্থায় চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা ১৫ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১ অংশ
∴ ১ম নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/১৫ অংশ

২য় নল দ্বারা ৩০ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১ অংশ
∴ ২য় নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/৩০ অংশ

∴ উভয় নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার (১/১৫ + ১/৩০) অংশ
= (২ + ১)/৩০ অংশ
= ৩/৩০ অংশ
= ১/১০ অংশ

উভয় নল দ্বারা ১/১০ অংশ পূর্ণ হয় ১ মিনিটে
∴ উভয় নল দ্বারা ১ অংশ পূর্ণ হয় (১ × ১০) মিনিটে
= ১০ মিনিটে

log₁₀(1/70)
= log₁₀1 − log₁₀70
= − log₁₀(7×10) [যেহেতু, log₁₀1 = 0]
= − (log₁₀7 + log₁₀10)
= − (a + 1) [যেহেতু, log₁₀7 = a]

∴ log₁₀(1/70) = - (a + 1)

প্রশ্ন: যদি a = √5 + 2 এবং b = √5 - 2 হয়, তাহলে a³ + b³ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = √5 + 2 এবং b = √5 - 2

এখন,
a + b = √5 + 2 + √5 - 2 = 2√5
ab = (√5 + 2)(√5 - 2)
= (√5)² - (2)²
= 5 - 4
= 1

আমরা জানি,
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
= (2√5)³ - 3 × 1 × 2√5
= 8 × (√5)³ - 6√5
= 8 × 5√5 - 6√5
= 40√5 - 6√5
= 34√5

ধরি,
m = 5
n = 3
∴ m²n² = 25 × 9 = 225

প্রশ্ন: 20% ডিসকাউন্টের পরে একটি বইয়ের খরচ 400 টাকা দাড়ায়। তবে বইটির প্রকৃত মূল্য কত?

সমাধান:
20% ডিসকাউন্টে,
ক্রয়মূল্য দাড়ায় = (100 - 20) টাকা
= 80 টাকা

বইয়ের ক্রয়মূল্য 80 টাকা হলে প্রকৃত মূল্য = 100 টাকা
বইয়ের ক্রয়মূল্য 1 টাকা হলে প্রকৃত মূল্য = 100/80 টাকা
বইয়ের ক্রয়মূল্য 400 টাকা হলে প্রকৃত মূল্য = (100 × 400)/80 টাকা
= 500 টাকা

4 → 2²×1
18 → 3²×2
48 → 4²×3
100 → 5²×4
180 → 6²×5
294 → 7²×6

প্রশ্ন: (5, 4) এবং (2, 0) বিন্দু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।

সমাধান:

প্রশ্ন: পাঁচটি সংখ্যার গড় ৪৬। সংখ্যাগুলোর প্রথম চারটি সংখ্যার গড় ৪৫। পঞ্চম সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
পাঁচটি সংখ্যার গড় = ৪৬
পাঁচটি সংখ্যার সমষ্টি = (৫ × ৪৬) = ২৩০

চারটি সংখ্যার গড় = ৪৫
চারটি সংখ্যার সমষ্টি = (৪ × ৪৫) = ১৮০।
পঞ্চম সংখ্যাটি = ২৩০ - ১৮০ = ৫০

বৃত্তের পরিধি 2πr এবং ব্যাস 2r
∴ ব্যাস : পরিধি = 2r : 2πr = 2r/2πr = 1/π = 1/(22/7) = 7/22।
[বি:দ্র: বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত 22/7]

প্রশ্ন: P(X) = 2/5 এবং P(Y) = 1/3; X ও Y দুটি স্বাধীন ঘটনা হলে P(Y/X) = কত?

সমাধান:
X ও Y স্বাধীন ঘটনা,
∴ P(X ∩ Y) = P(X) × P(Y)
= (2/5) × (1/3)
= 2/15

∴ P(Y/X) = P(X ∩ Y)/P(X)
= (2/15)/(2/5)
= (2/15) × (5/2)
= 1/3

প্রশ্ন: a + b = 9 এবং ab = 20 হলে, a³ + b³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 9
এবং ab = 20

আমরা জানি,
a³ + b³
= (a + b)³ - 3ab(a + b)
= (9)³ - 3 × 20 × 9
= 729 - 540
= 189

সুতরাং, a³ + b³ এর মান হলো 189 ।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x/6, x/6 এবং 8x/6 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = দুই সমকোণ = 180°
বা, x/6 + x/6 + 8x/6 = 180°
বা, (x + x + 8x)/6 = 180°
বা, 10x/6 = 180°
বা, 5x/3 = 180°
বা, 5x = 180° × 3
বা, x = (180° × 3)/5
∴ x = 108° 

∴ বৃহত্তম কোণটির পরিমাণ হবে = 8x/6
= {(8 × 108)/6}°
= 144°

প্রশ্ন: একটি ঘড়ি ১০% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ৬০ টাকা বেশি হলে ৫% লাভ হতো। ঘড়িটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
ঘড়িটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।

১০% ক্ষতিতে, বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা = ৯০ টাকা।
এবং ৫% লাভে, বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ৫) টাকা = ১০৫ টাকা।

সুতরাং বিক্রয়মূল্য বেশি হয় = (১০৫ - ৯০) = ১৫ টাকা।

বিক্রয়মূল্য ১৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৬০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৬০)/১৫ টাকা
= ৪০০ টাকা।

∴ ঘড়িটির ক্রয়মূল্য ৪০০ টাকা।

চিত্রে, EF||BC
∴ EBCF চর্তুভূজটি ট্রাপিজিয়াম

প্রশ্ন: C = {x : x ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং x² < 18} হলে, সেটের উপাদানগুলো হবে?

সমাধান:
x এর মান ঋণাত্মক হতে হবে এবং বর্গ করলে যেন উহা 18 এর ছোট হয়। এরূপ সংখ্যা-

(- 1)² = 1 < 18; যা 18 এর চেয়ে ছোট
(- 2)² = 4 < 18; যা 18 এর চেয়ে ছোট
(- 3)² = 9 < 18; যা 18 এর চেয়ে ছোট
(- 4)² = 16 < 18; যা 18 এর চেয়ে ছোট

∴ C = {- 1, - 2, - 3, - 4}

প্রশ্ন: (3, - 2) এবং (7, 6) বিন্দুগামী একটি সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি বিন্দু (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂) দিয়ে অতিক্রমকারী একটি সরলরেখার ঢাল (m) নির্ণয়ের সূত্র হলো:
m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

এখানে,
(x₁, y₁) = (3, - 2) এবং (x₂, y₂) = (7, 6)

∴ ঢাল, m = {6 - (- 2)}/(7 - 3)
= (6 + 2)/(7 - 3)
= 8/4
= 2

∴ সরলরেখার ঢাল = 2

প্রশ্ন: 4 + 12 + 36 + ....... এই ধারার প্রথম ৭টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
এই ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 3
এবং পদ সংখ্যা n = 7

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার প্রথম n টি পদের সমষ্টি, 
Sn = a × [(rⁿ - 1)/(r - 1)]
S₇ = 4 × [(3⁷ - 1)/(3 - 1)]
= 4 × [(3⁷ - 1)/2]
= 4 × [(2187 - 1)/2]
= 4 × [2186/2]
= 4 × 1093
= 4372

∴ 7 টি পদের যোগফল 4372

আমরা জানি,
সুদাসল C, মুলধন P, সুদের হার r, এবং সময় n হলে

C = P (১ + nr/১০০)
⇒ ৫৫৮ = ৪৫০ (১ + n × ৬ ∕ ১০০)
⇒ ৫৫৮ = ৪৫০ (১০০ + ৬n ∕ ১০০)
⇒ ৫৫৮০০ ∕ ৪৫০ = ১০০ + ৬n
⇒ ৬n = ১২৪ - ১০০
⇒ n = ২৪ ∕ ৬

∴ n = ৪ বছর

প্রশ্ন: একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য 8√2 একক হলে এর পরিসীমার অর্ধেকের এক-চতুর্থাংশের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 [এখানে, a = বাহু]
⇒ 8√2 = a√2
∴ a = 8

∴ পরিসীমা = 4a = 4 × 8 = 32
পরিসীমার অর্ধেক = 32/2 = 16
অতএব, পরিসীমার অর্ধেকের এক-চতুর্থাংশের মান = 16/4 = 4 একক

প্রশ্ন: চার বছর পূর্বে কন্যার বয়স ছিলো মাতার বয়সের এক-সপ্তমাংশ। চার বছর পর মাতার বয়স কন্যার বয়সের তিনগুণ হলে মাতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
মাতার বর্তমান বয়স = ক বছর 
কন্যার বর্তমান বয়স = খ বছর

প্রশ্নমতে,
(খ - ৪) = (ক - ৪)/৭
⇒ ৭(খ - ৪) = ক - ৪
⇒ ৭খ - ২৮ = ক - ৪
⇒ ক - ৭খ = - ২৮ + ৪
⇒ ক - ৭খ =  - ২৪ ....................... (১)

আবার,
৪ বছর পরে,
(ক + ৪) = ৩(খ + ৪)
⇒ ক + ৪ = ৩খ + ১২
⇒ ক - ৩খ =  ১২ - ৪
⇒ ক - ৩খ = ৮ ............ (২)

(১) নং সমীকরণ থেকে (২) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
(ক - ৭খ) - (ক - ৩খ) = - ২৪ - ৮
⇒ ক - ৭খ - ক + ৩খ = - ৩২
⇒ - ৪খ = - ৩২
⇒ খ = (- ৩২)/(- ৪)
⇒ খ = ৮

খ এর মান (২) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
ক - (৩ × ৮) = ৮
⇒ ক - ২৪ = ৮ 
⇒ ক = ৮ + ২৪
⇒ ক = ৩২

∴ মাতার বর্তমান বয়স = ৩২ বছর 

প্রশ্ন: একজন দোকানদার একটি পণ্য 20% লাভে বিক্রি করে। যদি সে পণ্যটি 10% কম মূল্যে ক্রয় করত এবং 21 টাকা কম মূল্যে বিক্রি করত, তবে তার 30% লাভ হত। পণ্যটির আসল ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান: 
ধরি,
 পণ্যটির আসল ক্রয়মূল্য হলো x টাকা।

এখন, 
দোকানদার পণ্যটি 20% লাভে বিক্রি করে।
∴ আসল বিক্রয়মূল্য = ক্রয়মূল্য + 20% লাভ
= x + x এর 20% = x + x(20/100) = 6x/5
∴ আসল বিক্রয়মূল্য = 6x/5

আবার, 
যদি সে পণ্যটি ১০% কম মূল্যে ক্রয় করত, তাহলে
নতুন ক্রয়মূল্য = আসল ক্রয়মূল্য - 10% কম
= x - x এর 20% = x - x(10/100) = 9x/10
∴ নতুন ক্রয়মূল্য = 9x/10

যদি সে পণ্যটি 21 টাকা কম মূল্যে বিক্রি করত তাহলে,
∴ নতুন বিক্রয়মূল্য = আসল বিক্রয়মূল্য - 21 টাকা
= (6x/5) - 21 টাকা 

এবং, 
নতুন ক্রয়মূল্য এবং নতুন বিক্রয়মূল্যে তার 30% লাভ হত। লাভ সবসময় ক্রয়মূল্যের উপর হিসাব করা হয়।
∴ নতুন লাভ = নতুন ক্রয়মূল্যের 30%
 = (9x/10) × (30/100) = 27x/100

আমরা জানি,
নতুন লাভ = নতুন বিক্রয়মূল্য - নতুন ক্রয়মূল্য
27x/100 = {(6x/5) - 21} - (9x/10)
⇒ 27x/100 = (12x - 210 - 9x)/10
⇒ 27x/100 = (3x - 210)/10
⇒ 27x = 10(3x - 210)
⇒ 27x = 30x - 2100
⇒ 3x = 2100
∴ x = 700

∴ পণ্যটির আসল ক্রয়মূল্য হলো 700 টাকা।

3x + 2y = 7
বা, 3x + 2.2x = 7
বা, 7x = 7
∴ x = 1
∴ y = 2x = 2.1
∴ y = 2

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা 27 সে.মি. হলে, শীর্ষবিন্দু থেকে ভরকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব কত?

সমাধান:
​
​
দেওয়া আছে,
মধ্যমা, AE = 27
ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।

∴ শীর্ষবিন্দু থেকে ভরকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব, AD = (2/3) × 27 = 18 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার সাথে আর একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দু মিলিত হয়ে যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি হবে-

সমাধান:
 
AB সরলরেখার সাথে OC রশ্মির প্রান্তবিন্দু মিলিত হয়ে ∠AOC ও ∠BOC দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয়। 
∠AOC + ∠BOC = 180°