গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০০ এর মধ্যে কতটি সংখ্যাকে দুইটি বর্গের যোগফল আকারে প্রকাশ করা যায়? 

সমাধান:
১০০ এর চেয়ে ক্ষুদ্র পূর্ণ বর্গ সংখ্যা ১, ৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১ 

একটি সংখ্যা ১ হলে অপরটি ৮ টির (৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১) যেকোন একটি হতে পারে।  
একটি সংখ্যা ৪ হলে অপরটি ৭ (৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১ ) টির যেকোন একটি হতে পারে। 
একটি সংখ্যা ৯ হলে অপরটি ৬ (১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১) টির যেকোন একটি হতে পারে।  
একটি সংখ্যা ১৬ হলে অপরটি ৫ (২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১) টির যেকোন একটি হতে পারে। 
একটি সংখ্যা ২৫ হলে অপরটি ৩ টির (৩৬, ৪৯, ৬৪) যেকোন একটি হতে পারে। 
একটি সংখ্যা ৩৬ হলে অপরটি ১ টি (৪৯) হতে পারে। 
আবার, (১ + ১), (৪ + ৪), (৯ + ৯), (১৬ + ১৬), (২৫ + ২৫), (৩৬ + ৩৬), (৪৯+৪৯) এই ৭ টি সংখ্যা ১০০ অপেক্ষা ছোট।  

মোট = ৮ + ৭ + ৬ + ৫ + ৩ + ১ + ৭ = ৩৭ টি

৩টি সংখ্যা ৫০,৬৫,৮৫ দুইবার গণনা করা হয়েছে। 
অতএব, সঠিক উত্তর ৩৭ - ৩ = ৩৪ টি। 

একজন ব্যক্তি একটি আয়তাকার জমিতে আড়াআড়িভাবে হেঁটে আয়াতাকার জমির কর্ণের সমান দূরত্ব 5√5 মিটার অতিক্রম করলেন।
ধরি, প্রস্থ = x
∴ দৈর্ঘ্য = 2x
প্রশ্নমতে,
কর্ণ = √(দৈর্ঘ্য² + প্রস্থ²)
⟹5√5 = √{(2x)² + x²}
⇒5√5 = √(4x² + x²)
⇒5√5 = √(5x²)
⇒5√5 = x√5
⇒ x = 5
∴জমির ক্ষেত্রফল = 2x ×x = 2x² = 2×5² = 50 বর্গমিটার

প্রশ্ন: |x + 7| ≤ 8 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
|x + 7| ≤ 8
⇒ - 8 ≤ x + 7 ≤ 8
⇒ - 8 - 7 ≤ x + 7 - 7 ≤ 8 - 7
⇒ - 15 ≤ x ≤ 1

∴ x এর সর্বনিম্ন মান = - 15

14x + x² = 0
বা, x² = -14x
∴ x = -14

n তম পদ
= a+(n-1)d
91 = 1+(n-1)3
বা, 91 = 1 + 3n - 3
বা, 3n = 91 + 2
n = 31
আবার n তম পদের যোগফল
= n/2{2a + (n - 1)d}
= 31/2{2.1 + (31 - 1)3}
= 15.5 × (2 + 90)
= 1426

প্রশ্ন: ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড় কত? 

সমাধান: 
৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যে বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৯৭
আবার, 
৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৪১
∴ ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার যোগফল = (৯৭ + ৪১)
= ১৩৮

∴ ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড় = ১৩৮/২
= ৬৯ ।

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 + …………… এই ধারাটির কোন পদের মান 768?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
ধারাটির ১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2

∴ n তম পদ = a r^{n - 1}

⇒ 3 × 2^{n -1} = 768
⇒ 2^{n -1} = 768/3
⇒ 2^{n -1}  = 256
⇒ 2^{n - 1}  = 2⁸
⇒ n - 1 = 8
∴ n = 9

∴ ধারাটির ৯ম পদের মান 768

মধ্যমার সংজ্ঞানুসারে।

প্রশ্ন: ৪/৯, ৬/১৫ ও ৮/২১ এর ল.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি, ভগ্নাংশের ল.সা.গু. = (লব গুলোর ল.সা.গু.)/(হর গুলোর গ.সা.গু.)

এখানে, লব ৪, ৬ ও ৮ এর ল.সা.গু. = ২৪
এবং হর ৯, ১৫ ও ২১ এর গ.সা.গু. = ৩

∴ ল.সা.গু. = ২৪/৩ = ৮

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ সংলগ্ন কোণ দু’টি সর্বদা সূক্ষকোণ।

প্রশ্ন: p³ + ap + 5 = 0 এর একটি সমাধান যদি 1 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, p³ + ap + 5 = 0
যেহেতু সমীকরণটির একটি সমাধান 1, সেহেতু p = 1 দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।

এখন, p = 1 বসিয়ে পাই,
(1)³ + a(1) + 5 = 0
⇒ 1 + a + 5 = 0
⇒ a + 6 = 0
∴ a = - 6
অতএব, a এর মান - 6

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা সংখ্যা কয়টি?
​
​​সমাধান:
​একটি মুদ্রা ফলাফল ২টি (H বা T)

একটি ছক্কা ফলাফল ৬টি (1, 2, 3, 4, 5, 6)
​
∴ ​মোট ঘটনা সংখ্যা = মুদ্রা × ছক্কা = 2 × 6 = 12

প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার বর্গের অন্তর 36 হলে, সংখ্যাদ্বয় কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম জোড় সংখ্যা = x
∴ পরবর্তী জোড় সংখ্যা = x + 2

প্রশ্নমতে,
(x + 2)² − x² = 36
⇒ x² + 4x + 4 − x² = 36
⇒ 4x + 4 = 36
⇒ 4x = 32
⇒ x = 8

∴ সংখ্যাদ্বয় = 8 এবং 10

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদ 3, শেষ পদ 243 এবং সাধারণ অনুপাত 3 হলে ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারাটির দ্বিতীয় পদ = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 3
প্রথম পদ, a = 3/3 = 1
n তম পদ = ar^{n - 1} 
⇒ 243 = 1 × 3^{n - 1}
⇒ 3⁵ = 3^{n - 1}
⇒ n - 1 = 5
⇒ n = 5 + 1 = 6

গুণোত্তর ধারার n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a × (rⁿ - 1)/(r - 1) [যেখানে, r > 1]

∴ ধারাটির 6 টি পদের সমষ্টি = 1 × {(3⁶ - 1)/(3 -1)}
= (729 - 1)/2
= 728/2
= 364

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং গ.সা.গু ৮ হলে, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = সংখ্যা দুইটির অনুপাতের গুণফল × গ.সা.গু 
= (৫ × ৬) × ৮ 
= ৩০ × ৮ 
= ২৪০ 

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ২৪০ ।

প্রশ্ন: x + (1/x) = 2 হলে, x⁴⁹⁹⁹ + x⁵⁰⁰⁰ এর মান কত ?

সমাধান:
দেয়া আছে, x + (1/x) = 2
⇒ (x² + 1)/x = 2
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x² - 2x + 1 = 0
⇒ (x - 1)² = 0 
⇒ x - 1 = 0
∴ x = 1

এখন, x⁴⁹⁹⁹ + x⁵⁰⁰⁰
= 1⁴⁹⁹⁹ + 1⁵⁰⁰⁰
= 1 + 1
= 2

ধরি, সংখ্যা দুইটি ৪x ও ৯x।
প্রশ্নমতে,
(৪x+২) : (৯x+২) = ১:২
বা, (৪x+২)/(৯x+২) = ১/২
বা, ৮x + ৪ = ৯x + ২
∴ x = ২
সুতরাং সংখ্যা দুইটি (৪×২) = ৮ এবং (৯×২) = ১৮।

x² -11x - 126 = x² -18x + 7x - 126 = x(x - 18) + 7(x - 18) = (x - 18)(x + 7)
x² -11x - 126 > 0 অসমতাটি সত্য হবে যদি (x - 18) ও (x + 7) উভয়ই ধনাত্মক হয় বা উভয়ই ঋনাত্মক হয়।
(x - 18) ও (x + 7) উভয়ই ধনাত্মক হলে, (x - 18) > 0 বা, x > 18 এবং (x + 7) > 0 বা, x > - 7
সুতরাং, (x - 18) ও (x + 7) উভয়ই ধনাত্মক হলে, x > 18 এবং x > - 7
x > 18 হলে, (x - 18) ও (x + 7) উভয়ই ধনাত্মক হবে কিন্তু x > - 7 হলে, উভয়ই ধনাত্মক হবে না।
আবার, (x - 18) ও (x + 7) উভয়ই ঋনাত্মক হলে, (x - 18) < 0 বা, x < 18 এবং (x + 7) < 0 বা, x < -7
সুতরাং, (x - 18) ও (x + 7) উভয়ই ঋনাত্মক হলে, x < 18 এবং x < - 7
x < 18 হলে, (x - 18) ও (x + 7) উভয়ই ধনাত্মক হবে না কিন্তু x < - 7 হলে, উভয়ই ধনাত্মক হবে।
সুতরাং (x - 18) ও (x + 7) উভয়ই ধনাত্মক হবে যদি ও কেবল যদি x > 18 ও x < - 7 হয়।
অর্থাৎ (- ∞, -7)∪(18, ∞) হয়।

যেহেতু x²+7x+p যদি x-5 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে x = 5 বসালে x²+7x+p = 0 হবে।
এখন,
5² + 7 X 5 + p = 0
⇒ 25 + 35 + p = 0
∴ p = -60

ক্ষতি= (২০-১৮) টাকা = ২ টাকা
ক্ষতির হার = (২×১০০)/২০ = ১০%

প্রশ্ন: 1° সমান কত রেডিয়ান? 

সমাধান: 
রেডিয়ান: 
কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ ঐ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণকে এক রেডিয়ান বলে। 

আমরা জানি, 
180° = π রেডিয়ান 
∴ 1° = π/180 রেডিয়ান ।

প্রশ্ন: কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
• মূলদ সংখ্যা: p/q আকারে প্রকাশযোগ্য সংখ্যা যা p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0। উদাহরণ: √25 = 5, 5/1 = 5, 5/6, 1/2 ইত্যাদি।

• অমূলদ সংখ্যা: এমন সংখ্যা যা p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না (p ও q পূর্ণসংখ্যা ও q ≠ 0)। উদাহরণ: √2 ≈ 1.414213......,  √3 ≈ 1.732...... ইত্যাদি।

এখানে,
ক) e = 2.71828...
এটি একটি অমূলদ ধ্রুবক।
∴ অমূলদ সংখ্যা।

খ) π = 3.14159...
এটি একটি অমূলদ ধ্রুবক।
∴ অমূলদ সংখ্যা।

গ) 1/√5
√5 অমূলদ, ফলে 1/√5 ও অমূলদ।
∴ অমূলদ সংখ্যা।

ঘ) √3/√108 = √3/√(36 × 3)
= √3/(6√3) = 1/6
এটি p/q আকারে আছে, যেখানে p = 1, q = 6।
∴ এটি মূলদ সংখ্যা।

উত্তর: ঘ) √3/√108

প্রশ্ন: 2x³ + 3x² - 11x - 6 রাশিটির উৎপাদক বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি, f(x) = 2x³ + 3x² - 11x - 6
f(2) নির্ণয় করি,
f(2) = 2(2)³ + 3(2)² - 11(2) - 6
= 16 + 12 - 22 - 6
= 0
∴ (x - 2) হলো f(x) এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: একটি ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 6 মি.

আমরা জানি, 
ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল, A = (3√3/2) × a²
= (3√3/2) × 6²
= (3√3/2)  × 36
= 54√3
= 54√3 বর্গ মি.

সুতরাং, ষড়ভুজটির ক্ষেত্রফল 54√3 বর্গ মি.

মোট লোকসংখ্যা = (৯+৩) = ১২ জন।
এখন,
৯ জন করতে পারে ১৫ দিনে
১ জন করতে পারে = (১৫ X ৯) দিনে
∴ ১২ জন করতে পারে (১৫ X ৯)/ ১২
= ১১(১/৪) দিনে

প্রশ্ন: কোনো ঘনকের আয়তন 512 ঘন সে.মি.   হলে ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ঘনকের ধার a হলে,
​ঘনকের আয়তন = a³
এবং 
​এর পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 

​প্রশ্নমতে,
​a³ = 512
​⇒ a = 8

∴ ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 = 8√2 সে.মি.

3x – 7y + 10 = 0 ………….. (1)
y – 2x – 3 = 0 …………….. (2)
(1) × 1 এবং (2) × 7 করে যোগ করে পাই,
অতএব, x = -1
এখন, x এর মান (1) এ বসিয়ে পাই,
y = 1
(x, y) = (-1, 1)

প্রশ্ন: যদি sin θ = √3/2 হয়, তবে cos θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, sin θ = √3/2
⇒ sin θ = sin 60°
∴ θ = 60°

এখন, cos θ
= cos 60°
= 1/2