গাণিতিক যুক্তি

 (2x + 3y)³
= (2x)³ + 3(2x)²3y + 3.2x(3y)² + (3y)³
= 8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³

ধরি, সংখ্যাদুটি x ও y
প্রশ্নমতে,
xy = 2250
বা, x/2250 = 1/y
এবং x/y = 9/10
বা, x.1/y = 9/10
বা, x.x/2250 = 9/10
বা, x^2 = (9×2250)/10
বা, x = 45
তাহলে 45.1/y = 9/10
বা, y = 50
সুতরাং y - x = 50 - 45 = 5.

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা যথাক্রমে ৬ মিনিট, ৯ মিনিট, ১২ মিনিট ও ১৫ মিনিট পরপর বাজে। যদি দুপুর ১২ : ৪০ টায় ঘণ্টাগুলো একবার একত্রে বাজে, তাহলে ঘণ্টাগুলো পুনরায় কখন একত্রে বাজবে?

সমাধান:
ঘণ্টাগুলো একবার একত্রে বাজার পর ৬, ৯, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু সমান সময়ের পর আবার একত্রে বাজবে।

সংখ্যাগুলোর মৌলিক উৎপাদক:
৬ = ২ × ৩
৯ = ৩ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৫ × ৩

∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫
= ১৮০ মিনিট = ৩ ঘণ্টা

সুতরাং, ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে = ১২ : ৪০ + ৩ ঘণ্টা = ৩ : ৪০ টায়

- সাধারণত পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা।
- যেহেতু √২৫ = ৫, √৬৪ = ৮, √৮১ = ৯, তাই এগুলো মূলদ সংখ্যা।
- কিন্তু √৯৯ পূর্ণবর্গ নয় তাই √৯৯ একটি অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: 3x² - 5x + 4 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো 3x² - 5x + 4 = 0।
এই সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 3
b = - 5
c = 4

এখন, সমীকরণের নিশ্চায়ক (D) নির্ণয় করি।
নিশ্চায়ক, D = b² - 4ac
= (-5)² - 4 × 3 × 4
= 25 - 48
= - 23 < 0

যেহেতু, নিশ্চায়ক (D) এর মান ঋণাত্মক (D < 0), তাই বাস্তব মূল নাই।
∴ মূলদ্বয়ের প্রকৃতি হলো কাল্পনিক।

• ধরি a, b, c মূলদ সংখ্যা। তাহলে-
1) b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
2) b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
3) b² - 4ac = 0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
4) b² - 4ac < 0 হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

প্রশ্ন: একটি দোকানের ৪২ টি পণ্য রয়েছে। প্রতিটি পণ্য বিক্রয় হলে ৫০০ টাকা কমিশন এবং প্রতিটি পণ্য বিক্রয় না হলে ২০০ টাকা বেতন কাটা যাবে এমন শর্তে যদি একজন সেলসম্যান একটি নির্দিষ্ট মাসে ১২৬০০ টাকা বেতন পান তবে তিনি কতটি পণ্য বিক্রয় করেছিলেন?

সমাধান:
ধরি,
বিক্রিত পণ্যসংখ্যা = ক টি 

প্রশ্নমতে,
৫০০ক - ২০০(৪২ - ক) = ১২৬০০
⇒ ৫০০ক - ৮৪০০ + ২০০ক = ১২৬০০
⇒ ৭০০ক = ১২৬০০ + ৮৪০০
⇒ ৭০০ক = ২১০০০
⇒ ক = ২১০০০/৭০০
⇒ ক = ৩০

∴ সেলসম্যানের বিক্রিত পণ্য = ৩০ টি 

প্রশ্ন: 36√6 এর 6 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
log₆36√6 = x
⇒ 6^x = 36√6
⇒ 6^x = 6² . 6^1/2
⇒ 6^x = 6^{2 + (1/2)}
⇒ 6^x = 6^5/2
⇒ x = 5/2

প্রশ্ন: x² - 7x + 12 এবং x³ - 6x² + 11x - 6 এর গ.সা.গু. কত?

সমাধান:
প্রথম রাশি:
x² - 7x + 12
= x² - 4x - 3x + 12
= x(x - 4) - 3(x - 4)
= (x - 4)(x - 3)

দ্বিতীয় রাশি:
ধরি, f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6
f(3) = 3³ - 6(3)² + 11(3) - 6
= 27 - 54 + 33 - 6
= 0

যেহেতু f(3) = 0, তাই (x - 3) হবে f(x)-এর একটি উৎপাদক।

এখন,
f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6
= x³ - 3x² + 2x - 3x² + 9x - 6
= (x - 3)(x² - 3x + 2)
= (x - 3)(x - 2)(x - 1)

প্রথম রাশি = (x - 4)(x - 3)
এবং দ্বিতীয় রাশি = (x - 3)(x - 2)(x - 1)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. হলো উভয় রাশির সাধারণ উৎপাদক, যা হলো (x - 3)।

প্রশ্ন: 4x² - 12x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
4x² - 12x
= (2x)² - 2.2x.3 + 3² - 3²
= (2x - 2)² - 9
∴  4x² - 12x এর সাথে 9 যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: 24 মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:


ABCD বর্গের পরিসীমা = 24 মিটার
∴ ABCD বর্গের বাহু = 24/4 = 6 মিটার
এখন,
কর্ণ = ব্যাস = বাহু × √2 = 6√2
ব্যাসার্ধ = 6√2/2 = 3√2

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(3√2)²
= π × 9 × 2
= 18π

প্রশ্ন: যদি x - y = 3 হয়, তবে x³ - y³ - 9xy এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x - y = 3

প্রদত্ত রাশি = x³ - y³ - 9xy
= (x - y)³ + 3xy(x - y) - 9xy
= (3)³ + (3xy × 3) - 9xy
= 27 + 9xy - 9xy
= 27

প্রশ্ন: যদি 3x³ + 4x² - 5x + k = 0 এর একটি উৎপাদক (x - 2) হয়, তাহলে k এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = 3x³ + 4x² - 5x + k
∴ f(2) = 3(2)³ + 4(2)² - 5(2) + k
= 3 × 8 + 4 × 4 - 10 + k
= 24 + 16 - 10 + k
= 30 + k

এখন,
3x³ + 4x² - 5x + k এর একটি উৎপাদক x - 2 হলে, f(2) = 0 হবে।
∴ f(2) = 0
⇒ 30 + k = 0
⇒ k = - 30

সুতরাং, k এর মান - 30

2y/x - x/y
= (2y² - x²) / xy

মোট কলম = ৬ + ৮ + ১০ = ২৪,
কলো নয় এমন কলম = ৮ + ১০ = ১৮টি
∴ সম্ভাবনা = ১৮/২৪ = ৩/৪

প্রশ্ন: লবণের দাম ২৫% বৃদ্ধি পাওয়ায়, ৫০০ টাকায় একজন ব্যক্তি আগের চেয়ে ১০ কেজি লবণ কম পায়। পূর্বে লবণের দাম কেজি প্রতি কত ছিল?

সমাধান:
ধরি, লবণের পূর্বমূল্য = x টাকা/কেজি 
২৫% মূল্য বৃদ্ধিতে বর্তমান মূল্য = x + (x × ২৫%)  
= x + (২৫x/১০০)
= x + (x/৪)
= ৫x/৪

প্রশ্নমতে,
(৫০০/x) - {৫০০/(৫x/৪০} = ১০ 
⇒ (৫০০/x) - (৪০০/x) = ১০
⇒ (৫/x) - (৪/x) = ১০/১০০
⇒ (১/x) = ১/১০
∴ x = ১০ 

প্রথম শর্তমতে,
 (ক/২) + (খ/৩) = ৪৫
বা, (৩ক + ২খ)/৬ = ৪৫
বা, (৩ক + ২খ) = ২৭০………(১)

দ্বিতীয় শর্তমতে,
(খ/২) + (ক/৫) = ৪০
বা, (২ক + ৫খ)/১০ = ৪০
বা, ২ক + ৫খ = ৪০০…………(২)

(১) নং х ২ - (২) নং х ৩,
৬ক  + ৪খ - ৬ক - ১৫খ  = ৫৪০ - ১২০০
- ১১খ = - ৬৬০
 খ = ৬০

খ এর মান ১ নং এ বসিয়ে পাই,
৩ক + ১২০ = ২৭০
৩ক = ২৭০ - ১২০ 
৩ক = ১৫০ 
ক = ৫০

প্রশ্ন: ৩ - [৮ - {৫ + (- ৪ + ৭ - ৬)}]-এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
৩ - [৮ - {৫ + (- ৪ + ৭ - ৬)}]
= ৩ - [৮ - {৫ + (- ৩)}]
= ৩ - [৮ - {২}]
= ৩ - [৬]
= - ৩

৩, ৫, ৭, ৮ ও ১০ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ৮৪০
সুতরাং পাঁচটি ঘণ্টা ৮৪০ সেকেন্ড বা (৮৪০ ÷ ৬০) = ১৪ মিনিট পর পুনরায় একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য 6 হলে অন্য দুটি সদস্য কী কী?

সমাধান:
পিথাগোরাস ত্রয়ী:
তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c > a, b) যদি c² = a² + b² শর্ত মানে তাহলে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।
আবার,
তিনটি সংখ্যা যদি 2m, m² - 1, m² + 1 [যেখানে m পূর্ণসংখ্যা] আকারে থাকে তাহলে তাদেরকে পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।
যেমন:
(৩, ৪, ৫) পিথাগোরাস ত্রয়ী 
(২)^২ - ১ = ৩
২ × ২ = ৪
(২)^২ + ১ = ৫

এখানে,
একটি ত্রয়ী 6
ধরি,
2m = 6
∴ m = 3
∴ অন্য ত্রয়ী দুটি হবে,
m² - 1 = 3² - 1 = 9 - 1 = 8
m² + 1 = 3² + 1 = 9 + 1 = 10

প্রশ্ন: ২০ থেকে ৪০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো হতে ইচ্ছেমত ১টি সংখ্যা নির্বাচন করা হলে সংখ্যাটি মৌলিক না হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
২০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = (৪০ - ২০) + ১ = ২১ টি
২০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭
∴ মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা = ৪/২১

∴ মৌলিক না হওয়ার সম্ভাবনা = {১ - (৪/২১)}
= {(২১ - ৪)/২১}
= ১৭/২১ 

প্রশ্ন: যদি sec(θ) = 2 হয়, তবে cot(θ) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sec(θ) = 2
⇒ cos(θ) = 1/2

আমরা জানি,
sin²(θ) + cos²(θ) = 1
⇒ sin²(θ) = 1 - (1/2)²
⇒ sin²(θ) = 1 - 1/4
⇒ sin²(θ) = 3/4
⇒ sin(θ) = √(3/4)
∴ sin(θ) = √3/2

এখন,
cot(θ) = cos(θ)/sin(θ)
= (1/2)/(√3/2)
= 1/√3 

∴ cot(θ) = 1/√3

প্রশ্ন: ০.৪ + ০.০৪ + ০.০০৪ + ...... অসীম ধারাটির সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = ০.৪ 
= ৪/১০ = ২/৫

ধারাটির সাধারণ অনুপাত r = ০.০৪/০.৪ = ১/১০

∴ সমষ্টি, S = a/(1 - r) 
= ০.৪/(১ - ১/১০)
= ০.৪/(৯/১০)
= ৪/৯

প্রশ্ন: sin(nπ/6) অনুক্রমটির পঞ্চম পদ কোনটি?

সমাধান:
sin(nπ/6) অনুক্রমটির পঞ্চম পদ = sin(5π/6) [এখানে n = 5]

এখন,
sin (5π/6)
= sin {(5 × 180°)/6}
= sin 150°
= sin (2 × 90° - 30°)
= sin30°
= 1/2
∴ sin (5π/6) = 1/2

১ম সমীকরণটির উভয়পক্ষে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,
4x + 2y = 24
২য় সমীকরণটি,
4x + 2y = 5
বিয়োগ করে পাই,
0 = 19, যা অসম্ভব।
কাজেই এরূপ সমীকরণ জোটের কোন সমাধান নেই।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ২ গুণ। যদি দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার হয়, তবে আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
দৈর্ঘ্য = ২৪ মিটার
দৈর্ঘ্য = প্রস্থের ২ গুণ
⇒ প্রস্থ = ২৪ ÷ ২ = ১২ মিটার

পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (২৪ + ১২)
= ২ × ৩৬ = ৭২ মিটার

log2 + log4 + log 8+.....  
= log2 + log 2² + log 2³+.....
= log2 + 2log 2+ 3log 2 +......
= (1+2+3 +......) log 2
ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।
সাধারণ অন্তর d= (2-1) log 2 = log 2

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ১৫ মিটার এবং উচ্চতা ৮ মিটার হলে, এর অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা কত মিটার বেশি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ১৫ মিটার
এবং,  উচ্চতা ৮ মিটার

আমরাজানি,
অতিভুজ^২ = ভূমি^২ + উচ্চতা^২
⇒ অতিভুজ^২ = ১৫^২ + ৮^২
⇒ অতিভুজ^২= ২২৫ + ৬৪
⇒ অতিভুজ^২= ২৮৯
⇒ অতিভুজ= √২৮৯
∴ অতিভুজ = ১৭ মিটার
 
∴ অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা বেশি = (১৭ - ১৫) = ২ মিটার

অতএব, অতিভুজ ভূমির চেয়ে ২ মিটার বেশি। 

আসল + ৫ বছরের সুদ = ৫৪০ টাকা
আসল + ৩ বছরের সুদ = ৪৮৪ টাকা
(-) করে, ∴ ২ বছরের সুদ = ৫৬ টাকা
∴ ৩ বছরের সুদ = (৫৬ × ৩)/২
= ৮৪ টাকা
∴ আসল = ৪৮৪ - ৮৪ = ৪০০ টাকা
∴ সুদের হার = (৮৪ × ১০০)/(৪০০ × ৩)
= ৭

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি কোণ ১৬৮° হলে এর বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৬৮°।
সুতরাং সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ = ১৮০° - ১৬৮° = ১২°

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণের সমষ্টি = ৩৬০°
সুতরাং বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/১২°
= ৩০টি

প্রশ্ন: রেখার প্রান্তবিন্দু কয়টি থাকে? 

সমাধান:
 - রেখা অসীম এবং রেখার কোনো প্রান্ত বিন্দু নাই। 
- একটি রেখার যদি একদিকে একটি প্রান্ত বিন্দু থাকে এবং অন্যদিকে অসীম হয়, তবে তাকে রশ্মি বলে। 
- রেখাংশের প্রান্তবিন্দু দুইটি। 
- রশ্মির ১ টি প্রান্তবিন্দু থাকে। 

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 16 ও 8 হলে, ধারাটির অষ্টম পদ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 16
দ্বিতীয় পদ = 8

∴ অনুপাত, r = 8/16
= 1/2

∴ অষ্টম পদ = ar^{8 - 1} = ar⁷
= 16 × (1/2)⁷
= 16/128
= 1/8

ধরি, বইয়ের মূল্য x টাকা। তাহলে কলমের মূল্য x-17 টাকা।
প্রশ্নমতে,
x + x - 17 = 103
⇒ 2x = 120
∴ x = 60

প্রশ্ন:
 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x পূর্ণসংখ্যা এবং
⇒ - 1 ≤ (3x - 4)/7 ≤ 5 
⇒ - 7 ≤ (3x - 4) ≤ 35  ; [7 দ্বারা গুণ করে]
⇒ - 7 + 4 ≤ 3x ≤ 35 + 4 ; [4 যোগ করে]
⇒ - 3 ≤ 3x ≤ 39
⇒ - 1 ≤ x ≤ 13  ; [3 দ্বারা ভাগ করে]

যেহেতু x পূর্ণসংখ্যা,x = - 1, 0, 1, 2, …,13 

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম মান = - 1 এবং বৃহত্তম মান = 13​

প্রশ্ন: একজন শিক্ষক প্রতিদিন ক্লাস নিলে ৮০০ টাকা পান। যদি কোনো দিন অনুপস্থিত থাকেন তবে সেই দিনের জন্য ২০০ টাকা করে মোট বেতন থেকে কেটে নেওয়া হয়। ২০২৫ সালের আগস্ট মাসে তিনি মোট ২০,৮০০ টাকা বেতন পেলেন। তিনি কতদিন ক্লাস নিয়েছিলেন?

সমাধান:
মনে করি,
উপস্থিত ছিলেন = ক দিন
অনুপস্থিত ছিলেন = (৩১ - ক) দিন [আগস্ট মাস = ৩১ দিন]

প্রশ্নমতে,
৮০০ক - ২০০(৩১ - ক) = ২০৮০০
⇒ ৮০০ক - ৬২০০ + ২০০ক = ২০৮০০
⇒ ১০০০ক = ২০৮০০ + ৬২০০
⇒ ১০০০ক = ২৭০০০
⇒ ক = ২৭০০০/১০০০
⇒ ক = ২৭

অর্থাৎ তিনি ঐ মাসে ২৭ দিন উপস্থিত ছিলেন। 

প্রশ্ন: একটা থলেতে 5 টি লাল, 6 টি সাদা ও 7 টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটা বল নেয়া হলো। বলটি কালো না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
থলেতে লাল বলের সংখ্যা = 5 টি
থলেতে সাদা বলের সংখ্যা = 6 টি
থলেতে কালো বলের সংখ্যা = 7 টি

∴ থলেতে মোট বলের সংখ্যা (5 + 6 + 7) = 18 টি।
দৈবভাবে একটা বল নেয়া হলে 18 টি বলের যেকোনো একটি আসতে পারে।
সুতরাং মোট সম্ভাব্য ফলাফল = 18।

∴ দৈবভাবে নেয়া বলটি কালো হওয়ার সম্ভাবনা = 7/18 

∴ দৈবভাবে নেয়া বলটি কালো না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (7/18) = (18 - 7)/18
= 11/18