গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 50 বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 50 বর্গমিটার 
বর্গক্ষেত্রের বাহু = √50 মিটার 
= √(25 × 2) মিটার
= 5√2 মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য
= √2 × 5√2 মিটার
= 10 মিটার

মোট তাস = 52টি
ইস্কাপন = 13টি
∴ 2টি তাস নিলে তা ইস্কাপন হওয়ার সম্ভাবনা = ¹³c₂/⁵²c₂
= 78/1326
= 1/17

প্রশ্ন: log₂(64) + log₄(16) এর মান কত?

সমাধান:
log₂(64) + log₄(16)
= log₂(2⁶) + log₄(4²)
= 6 × log₂2 + 2 × log₄4
= 6 × 1 + 2 × 1
= 6 + 2 
= 8

প্রশ্ন: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + ......... ধারাটির কততম পদ 1458?

সমাধান:
প্রথম পদ a = 2,
সাধারণ অনুপাত r = 3

আমরা জানি,
n তম পদ a_n = ar^{n - 1}
⇒ a_n = 2 × 3^{n - 1}
⇒ 1458/2 = 3^{n - 1}
⇒ 729 = 3^{n - 1}
⇒ 3⁶ = 3^{n - 1}
⇒ 6 = n - 1
⇒ n = 7

∴ 7 তম পদ 1458

উপসেটের সংজ্ঞানুসারে x ∈ A ⇒ x ∈ B 
তবে A ⊂ B

প্রশ্ন: P সংখ্যক সংখ্যার গড় A এবং Q সংখ্যক সংখ্যার গড় B হলে, সবগুলো সংখ্যার গড় কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
P সংখ্যক সংখ্যার গড় = A 
∴ P সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = PA

আবার, 
Q সংখ্যক সংখ্যার গড় = B 
∴ Q সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = QB

মোট সংখ্যা = P + Q 
∴ তাদের সমষ্টি = PA + QB
∴ তাদের গড় = (PA + QB)/(P + Q)।

বর্গটির কর্ণের দৈর্ঘ্য = ১০ সে.মি
∴ এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ১০/√২
∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = (১০/√২)^২ = ১০০/২ = ৫০ বর্গসে.মি।

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √৩/৪ (বাহু)^২ বর্গমি.
= √৩/৪ (১৬)^২ বর্গমি.
= ৬৪√৩ বর্গমি.

১০০ নম্বরের মধ্যে পেয়েছে ৭৮ নম্বর।
∴ ১ নম্বরের মধ্যে পেয়েছে ৭৮/১০০ নম্বর।
∴ ৮০০ নম্বরের মধ্যে পেয়েছে (৭৮ × ৮০০)/১০০ = ৬২৪ নম্বর।

প্রশ্ন: একটি বর্গের ক্ষেত্রফল 16 বর্গ মিটার হলে ঐ বর্গটির কর্ণের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ কত?

সমাধান: 
ধরি, বর্গের একবাহু = a মি.
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ‍a² বর্গ মি.
প্রশ্নমতে,
a² = 16
বা, ‍a = √16
∴ a = 4 মি.

বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = (√2)a একক
= 4√2 মি.

বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ = (4√2) × 2 মি.
= 8√2 মি.

প্রশ্ন: একটি প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য ২০০ মিটার। ৩০০ মিটার লম্বা একটি ট্রেনকে ঐ প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে কত দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে?

সমাধান:
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৩০০ মিটার
প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ২০০ মিটার

∴ প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে ট্রেনকে অতিক্রম করতে হবে = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য
= ৩০০ + ২০০ = ৫০০ মিটার।

A = {x ∈ N : 6 < x < 11}
= {7, 8, 9, 10}
B ={x : x জোড় সংখ্যা}
= {2, 4 ,6, 8........}
∴ A - B
= {7, 9}

প্রশ্ন: একটি অর্ধবৃত্তাকার জানালার ব্যাসার্ধ 56 সেমি হলে জানালাটির পরিসীমা কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
ব্যাসার্ধ, r = 56 সেমি

আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = বৃত্তের অর্ধ পরিধি + ব্যাস

পরিসীমা = (2πr/2) + 2r
= πr + 2r
= (22/7) × 56 + 2 × 56
= 176 + 112
= 288 সে.মি.

প্রশ্ন: log_√55 - log_√327 + log_√216 এর মান কত?

সমাধান:
= log_√55 - log_√327 + log_√216
= log_√5(√5)² - log_√3(√3)⁶ + log_√2(√2)⁸
= 2log_√5√5 - 6log_√3√3 + 8log_√2√2
= 2 - 6 + 8
= 4

প্রশ্ন: একটি ছাগল ১১৪০ টাকায় বিক্রয় করায় ৬০ টাকা ক্ষতি হলো। শতকরা ক্ষতির হার কত?

সমাধান:

ছাগলটি ১১৪০ টাকায় বিক্রয় করায় ক্ষতি হয় ৬০ টাকা।

আমরা জানি,
ক্রয়মূল্য = বিক্রয়মূল্য + ক্ষতি
= (১১৪০ + ৬০) টাকা
= ১২০০ টাকা।

এখন,
 ১২০০ টাকায় ক্ষতি হয় ৬০ টাকা
১ টাকায় ক্ষতি হয় = ৬০/১২০০ টাকা
১০০ টাকায় ক্ষতি হয় = (৬০ × ১০০)/১২০০ টাকা
= ৫ টাকা।

সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষতির হার ৫%।

²ⁿc_r = ²ⁿc_r+2
বা, ²ⁿc_2n-r = ²ⁿc_r+2
∴ 2n - r = r + 2
বা, 2n = 2r + 2
∴ n = r + 1

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৫ : ২। ৩ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত ৭ : ৩ হবে। তাদের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৫ : ২

ধরি,
পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স যথাক্রমে = ৫ক ও ২ক
৩ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত ৭ : ৩

প্রশ্নমতে,
(৫ক + ৩) : (২ক + ৩) = ৭ : ৩
বা, (৫ক + ৩)/(২ক + ৩) = ৭/৩
বা, ৩(৫ক + ৩) = ৭(২ক + ৩)
বা, ১৫ক + ৯ = ১৪ক + ২১
বা, ১৫ক − ১৪ক = ২১ − ৯
∴ ক = ১২

∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৫ × ১২ = ৬০ বছর
∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = ২ × ১২ = ২৪ বছর

প্রশ্ন: 400 গ্রাম চিনির একটি মিশ্রণে 25% চিনি রয়েছে। ঐ দ্রবণে চিনির পরিমাণ 40% করতে অতিরিক্ত কতটুকু চিনি যোগ করতে হবে?

সমাধান:
দ্রবণে চিনি আছে = 400 এর 25%
= 400 × (25/100)
= 100 গ্রাম
এবং, ঐ দ্রবণে অন্য পদার্থ আছে = 400 - 100 = 300 গ্রাম (যা অপরিবর্তিত থাকবে)।

ধরি, অতিরিক্ত x গ্রাম চিনি যোগ করতে হবে।
∴ নতুন মিশ্রণের মোট পরিমাণ = (400 + x) গ্রাম
∴ নতুন চিনির পরিমাণ = (100 + x) গ্রাম

প্রশ্নানুযায়ী, নতুন মিশ্রণে চিনির পরিমাণ 40% হবে।
প্রশ্নমতে,
(100 + x)/(400 + x) = 40%
⇒ (100 + x)/(400 + x) = 40/100
⇒ (100 + x)/(400 + x) = 2/5
⇒ 5(100 + x) = 2(400 + x)
⇒ 500 + 5x = 800 + 2x
⇒ 5x - 2x = 800 - 500
⇒ 3x = 300
∴ x = 100 

∴ আরো 100 গ্রাম লবণ যোগ করতে হবে।

প্রশ্ন: যদি (49)^{x + 2} = 7^{3x + 4} হয়, তবে x-এর মান কত?

সমাধান:
(49)^{x + 2} = 7 ^{3x + 4}
⇒ (7²)^{x + 2} = 7 ^{3x + 4}
⇒ 2x + 4 = 3x + 4
⇒ 2x - 3x = 4 - 4
⇒ - x = 0
⇒ x = 0

প্রশ্ন: 5log3 - log9 = ?

সমাধান:
5log3 - log9
= 5log3 - log3²
= 5log3 - 2log3
= 3log3
= log3³
= log27

প্রশ্ন: এক ক্লাসে ১০ জন শিক্ষার্থীর গড় বয়স ১৫ বছর। যদি আরও ৫ জন শিক্ষার্থী যোগ করা হয় এবং নতুন গড় হয় ১৬ বছর, নতুন যোগকৃত ৫ জনের গড় বয়স কত?

 সমাধান:
প্রথমে,
১০ জনের মোট বয়স = ১০ × ১৫ = ১৫০ বছর

আবার,
৫ জন শিক্ষার্থী যোগ করা হয় নতুন শিক্ষার্থী = ১০ + ৫ = ১৫ জন 
∴ ১৫ জনের মোট বয়স = ১৫ × ১৬ = ২৪০ বছর

∴ নতুন ৫ জনের মোট বয়স = ২৪০ - ১৫০ = ৯০ বছর

∴ নতুন ৫ জনের গড় বয়স = ৯০/৫ = ১৮ বছর

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি একটি আয়তাকার জমিতে কর্ণ বরাবর হেঁটে 7√5 মিটার দূরত্ব অতিক্রম করলে এবং জমির দৈর্ঘ্য এর প্রস্থের দ্বিগুণ হলে, জমির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার জমির প্রস্থ = x
∴ আয়তাকার জমির প্রস্থ দৈর্ঘ্য = 2x

প্রশ্নমতে,
কর্ণ = √(দৈর্ঘ্য² + প্রস্থ²)
⟹7√5 = √{(2x)² + x²}
⇒7√5 = √(4x² + x²)
⇒7√5 = √(5x²)
⇒7√5 = x√5
⇒ x = 7

∴জমির ক্ষেত্রফল = 2x ×x = 2x² = 2 × 7² = 98 বর্গমিটার

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ১২ এবং ল.সা.গু. ১৮০। একটি সংখ্যা ৬০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
অপর সংখ্যা = ক

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
প্রথম সংখ্যা × অপর সংখ্যা = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
⇒ ৬০ × ক = ১২ × ১৮০
⇒ ৬০ × ক = ২১৬০
⇒ ক = ২১৬০/৬০
∴ ক = ৩৬

অতএব, অপর সংখ্যাটি হলো ৩৬

বৃত্তের ব্যাস = ১০ cm
যা বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = ১০/√২
∴ বর্গের বাহুর ক্ষেত্রফল = (১০/√২)²
= ১০০/২
= ৫০ বর্গসেঃমিঃ

এখানে
রাশিগুলো ৩^২,৬^২,৯^২,১২^২,১৫^২, .......এভাবে দেওয়া আছে।
৩^২ = ৯
৬^২= ৩৬
৯^২ = ৮১
১২^২ = ১৪৪
১৫^২ = ২২৫

তাহলে খালি ঘরে হবে=১৫^২
                                =২২৫

প্রশ্ন: x + y = 6 হলে x²y⁴ এর বৃহত্তম মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x + y = 6

তাই,
x এর মান 1 হলে y এর মান 5 হয়।
∴ x²y⁴ = 625

x এর মান 2 হলে y এর মান 4 হয়।
∴ x²y⁴ = 4 × 256 = 1024

x এর মান 3 হলে y এর মান 3 হয়।
∴ x²y⁴ = 9 × 81 = 729

x এর মান 4 হলে y এর মান 2 হয়।
∴ x²y⁴ = 16 × 16 = 256

x এর মান 5 হলে y এর মান 1 হয়।
∴ x²y⁴ = 25 × 1 = 25

সুতরাং x²y⁴ এর বৃহত্তম মান 1024