ধারা

প্রশ্ন:

সমাধান:
ধারাটির ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = (2/3)/2 = 1/3

∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
= 2/{1 - (1/3)}
= 2/{(3 - 1)/3}
= 2/(2/3)
= 2 × (3/2)
= 3

প্রশ্ন: একটি ক্লাবের সদস্য প্রথম মাসে ৩০০ টাকা চাঁদা দেন এবং প্রতি মাসে ৪০ টাকা বেশি দেন। প্রথম ১০ মাসে মোট কত টাকা চাঁদা দিবে?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর অনুক্রম।
যার, প্রথম পদ, a = ৩০০ টাকা
সাধারণ অন্তর, d = ৪০ টাকা

প্রথম ১০ মাসে মোট চাঁদা পরিমাণ,

আমরা জানি, 
প্রথম n পদের সমষ্টি,
S_n = (n/২) × [২a + (n - ১)d]
∴ S_১০ = ১০/২ × [২ × ৩০০ + (১০ - ১) × ৪০]
= ৫ × [৬০০ + ৯ × ৪০]
= ৫ × [৬০০ + ৩৬০]
= ৫ × ৯৬০
= ৪৮০০ টাকা

সুতরাং, প্রথম ১০ মাসে মোট চাঁদা দিবে ৪৮০০ টাকা। 

ধারাটি = 3 + 4 + 5 + 6 + ......+ 101
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ..... + 101 - (1 + 2)
= [{101 × (101 + 1)}/2] - 3
= 101 × 51 - 3
= 5148

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে,
n তম পদ = a + (n - 1)d।
এখন, n তম পদ ৩০২ হলে,
৫ + (n - ১) × ৩ = ৩০২
বা, (n - ১) × ৩ = ৩০২ - ৫
বা, n - ১ = ২৯৭/৩
বা, n - ১ = ৯৯
বা, n = ৯৯ + ১
বা, n = ১০০

১ম পদ a,
সাধারণ অন্তর d = ৮,

৭ম পদ = a + (৭ - ১)d = ৫২
বা, a + ৬ × ৮ = ৫২
বা, a = ৫২ - ৪৮ = ৪

∴ ২১ তম পদ = a + (২১ - ১)d
= ৪ + ২০ × ৮
= ৪ + ১৬০
= ১৬৪

প্রশ্ন: 15 + 30 + 60 + ........................ ধারাটির অষ্টম পদ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারাটির ১ম পদ, a = 15
সাধারণ অনুপাত, r = 30/15 =2
আমরা জানি ,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = a × r ^{n  - 1}
গুণোত্তর ধারার অষ্টম পদ =15 × 2 ^{8 - 1}
= 15  × 2⁷
= 15 × 128
= 1920 

প্রশ্ন: ৬৪ + ৩২ + ১৬ + ৮ + ....... ধারাটির অষ্টম পদের মান কত? 

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ a = ৬৪ 
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = ৩২/৬৪ 
= ১/২ 

আমরা জানি, 
ধারাটির n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ ধারাটির অষ্টম পদ = ar^{৮ - 1}
= ৬৪ × (১/২)^{৮ - ১} 
= ৬৪ × (১/২)^৭ 
= ৬৪ × (১/১২৮)
= ১/২

প্রশ্ন: ৫ + ৯ + ১৩ + ১৭ + ...... ধারার কোন পদ ১৭৩?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৯ - ৫ = ৪
n তম পদ = ১৭৩

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১) × d
⇒ ১৭৩ = ৫ + (n - ১) × ৪
⇒ ১৭৩ = ৫ + ৪n - ৪
⇒ ১৭৩ = ৪n + ১
⇒ ৪n = ১৭২
⇒ n = ১৭২/৪
∴ n = ৪৩

∴ ধারাটির ৪৩তম পদ হলো ১৭৩

প্রশ্ন: 2, 6, 10, 14,.....অনুক্রমটির কত তম পদ 102 হবে?

সমাধান:
ধারাটি হলো: 2, 6, 10, 14, …
প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর, d = 4

আমরা জানি,
a_n​ = a + (n - 1)d
⇒ 102 = 2 + (n - 1) × 4
⇒ 102 - 2 = 4(n - 1)
⇒ 100 = 4n - 4
⇒ 4n = 104
⇒ n = 104/4
∴ n = 26

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর 5 এবং চতুর্থ পদ 32 হলে 15 তম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর, d = 5

আমরা জানি, কোনো সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d
সুতরাং, 4র্থ পদ = a + (4 - 1)d
বা, 32 = a + 3 × 5
বা, 32 = a + 15
বা, a = 32 - 15
∴ a = 17

এখন,15তম পদ = a + (15 - 1)d
= 17 + 14 × 5
= 17 + 70
= 87

সুতরাং, ধারাটির 15তম পদ হলো 87.

১ম পদ (a) = 1,
সাধারণ অনুপাত (r) = 2/1 = 2
∴ n-তম পদ = ar^n-1,
বা, 256 = 1.2^n-1
বা, 2⁸ = 2^n-1
বা, n - 1 = 8
∴ n = 9

{( শেষ পদ + ১ম পদ)/২} x {(শেষ পদ-১ম পদ)/পদের অন্তর}+১
= (১০০+১০)/২ x ((১০০-১০)/১) +১
= ৫৫ x ৯১
= ৫০০৫

প্রশ্ন: প্রথম 15 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
∴ প্রথম 15 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {15(15 + 1)/2}²
= {(15 × 16)/2}²
= (240/2)²
= (120)²
= 14400

প্রশ্ন: 1 + 2 + 4 +................. ধারার প্রথম 8টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধারাটির- 
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 2/1 = 2 এখানে, r এর মান 1 থেকে বড় তাই

∴ ধারাটির সমষ্টি, S_n = a.(rⁿ - 1)/r - 1
= 1. (2⁸ - 1)/2 - 1
= (256 - 1)/1 
= 255

∴ 8টি পদের সমষ্টি = 255 ।

৩৬, ৮১, ১৪৪, ২২৫.....
= ৬^২, ৯^২, ১২^২, ১৫^২
∴ পরবর্তী সংখ্যাটি = (১৮)^২
= ৩২৪

প্রশ্ন: 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 + ........... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান: 
এখানে, 
১ম পদ, a = 1

∴ সাধারণ অনুপাত, r = 0.5 ÷ 1 
= (5/10)/1 
= (1/2)/1 
= 1/2 
= 0.5 < 1

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার অসীমতক পদের সমষ্টি = a/(1 - r) [যখন r < 1]
= 1/(1 - 0.5) 
= 1/(0.5)
= 1/(1/2)
= 2

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার mতম পদ n এবং n তম পদ m হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?
 
সমাধান:
কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ = a 
সাধারণ অন্তর = d 

আমরা জানি,
m তম পদ = a + (m - 1)d
⇒ n  = a + md - d
∴ a + md - d = n .......................(1)

আবার,
n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ m  = a + nd - d
∴ a + nd - d = m...................(2)

(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই 
⇒ a + md - d - (a + nd - d)= n - m
⇒ a + md - d - a - nd + d = n - m
⇒ md - nd = n - m
⇒ d(m - n) = n - m
⇒ d = - 1(m - n)/(m - n)
∴ d =  - 1

সুতরাং, সাধারণ অন্তর - 1

এখানে প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার সাধারণ অনুপাত, r = ১২৮/২৫৬ = ১/২
প্রথম পদ, a = ২৫৬ এবং n-তম পদ = ar^(n-1)
শর্তমতে,
ar^(n-১) = ১/২
বা, ২৫৬ × (১/২)^{(n - ১)} = ১/২
বা, (১/২)^{(n - ১)} = ১/(২৫৬ × ২)
বা, (১/২)^{(n - ১)} = ১/৫১২
বা, (১/২)^{(n - ১)} = (১/২)^৯
বা, n - ১ = ৯
বা, n = ৯ + ১
বা, n = ১০

২য় পদ = ar^(2-1) = ar = 40 ........(1)
৪র্থ পদ = ar^(4-1) = ar³ = 160 .......(2)
সমীকরণ (2) কে (1) দ্বারা ভাগ করে পাই,
r² = 4
⇒ r = 2
(1) নং এ r এর মান বসিয়ে পাই,
a = 40/2 = 20
∴ প্রথম পদ = 20

এখানে ধারাটির পদগুলো ১, ৩, ৫, ৭, ......... ৪৯। এটি একটি সমান্তর ধারা।
সুতরাং ধারাটির নির্ণেয় গড় = (শেষ পদ + প্রথম পদ)/২
= (৪৯+১)/২
= ৫০/২
= ২৫

২১৩ - ৩৩ = ১৮০
১৮০ - ৩৪ = ১৪৬
১৪৬ - ৩৫ = ১১১
১১১ - ৩৬ = ৭৫

১ম পদ a, এবং সাধারণ অনুপাত r হলে,
২য় পদ ar = -3 .... (1)
৪র্থ পদ ar³ = - 3/16 .... (2)
∴ (2) নং ÷ (1) নং দ্বারা পাই,
ar³/ar = (-3/16)/(-3/1)
বা, r² = (-3/16) × {-(1/3)}
বা, r²  = 1/16
∴ r = ±(1/4)

(1)নং থেকে পাই,
a(±1/4) = -3
∴ a = ±12

আমরা জানি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n+1)/2}^২
সুতরাং, ১^৩ + ২^৩ + ৩^৩ + ......... + ১০^৩ = {১০(১০+১)/২}^৩
= (৫×১১)^২
= ৩০২৫

প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + 15 +......... ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 7 - 3 = 4

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
S_n = (n/2) [2a + (n - 1)d]
⇒ S_n = (n/2) [2 × 3 + (n - 1)4]
⇒ S_n = (n/2) [6 + 4n - 4]
⇒ S_n = (n/2) [4n + 2]
⇒ S_n = (n/2) × 2(2n + 1)
∴ S_n = n(2n + 1)

সুতরাং, ধারাটির n পদের সমষ্টি হলো n(2n + 1)

n + 1 তম পদ = (n + 1)2ⁿ
∴ n = 0, 1, 2, 3
১ম পদ = 1.2⁰ = 1.1 = 1
২য় পদ = (1 + 1)2¹ = 2.2 = 4
৩য় পদ = (2 + 1)2² = 3.4 = 12
৪র্থ পদ = (3 + 1)2³ = 4.8 = 32
∴ সমষ্টি = 1 + 4 + 12 + 32 = 49

212 - 179 = 33
179 - 146 = 33
146 - 113 = 33
ধারাটির অন্তর = 33
তাই শূন্যস্থানের সংখ্যাটি হবে = 113 - 33 = 80

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 9 এবং সাধারণ অনুপাত 1/3 হলে ধারাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 9 
সাধারণ অনুপাত, r = 1/3

আমরা জানি, 
a + ar + ar² + ar³ + .......
= 9 + 9 × (1/3) + 9 × (1/3)² + 9 × (1/3)³ + ....
= 9 + 3 + 1 + 1/3 + .....

∴ গুণোত্তর ধারা 9 + 3 + 1 + 1/3 + .....

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 10 এবং পঞ্চম পদটি 42 হলে দ্বাদশ পদটি কত হবে?

সমাধান: 
ধরি, 
প্রথম পদ = a
এবং
সাধারণ অন্তর, d = 10 

∴ পঞ্চম পদটি = a + (5 - 1) × 10
বা, 42 = a + 40
বা, a = 42 - 40
∴ a = 2

∴ দ্বাদশ পদটি = a + (12 - 1) × 10
= 2 + (12 - 1) × 10
= 2 + (11 × 10)
= 2 + 110
= 112

প্রশ্ন: 0.18 + 0.0018 + 0.000018 + ......... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 0.18
সাধারণ অনুপাত, r = (0.0018)/(0.18)
= 0.01

∴ সমষ্টি = a/(1 - r)
= 0.18/(1 - 0.01)
= (0.18)/(0.99)
= 18/99
= 2/11

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদটি 80 এবং অষ্টম পদটি 640 হলে, সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির ১ম পদ = a এবং সাধারণ অনুপাত = r

আমরা জানি,
একটি গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = a × r^{n - 1}

∴ পঞ্চম পদ = a × r^{5 - 1} = a × r⁴ = 80 .............(1)
অষ্টম পদ = a × r^{8 - 1} = a × r⁷ = 640  ............(2)

(2) নং সমীকরণকে (1) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই,
ar⁷/ar⁴ = 640/80
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
⇒ r = 2

∴ সাধারণ অনুপাত হলো 2

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 +................ ধারাটির 6তম পদ কত?

সমধান:
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3
= 2

আমরা জানি 
nতম পদ = ar^{n - 1}
6তম পদ = a × r ^{6 - 1}
= 3 × 2⁵
= 96

১৩ + ৪ = ১৭
১৭ + ৮ = ২৫
২৫ + ১৬ = ৪১
৪১ + ৩২ = ৭৩
৭৩ + ৬৪ = ১৩৭
সুতরাং ৪, ৮, ১৬, ৩২, ৬৪ ক্রম ঠিক রাখতে উত্তর ১৩৭ হবে।

প্রশ্ন: কোনো ধারার n তম পদ n . 3^{n - 1} হলে ধারাটির ১ম পাচটি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
n তম পদ = n . 3^{n - 1} 

সুতরাং,
⇒ ১ম পদ = 1 . 3^{1 - 1}
= 1 × 3⁰ = 1
⇒ ২য় পদ = 2 . 3^{2 - 1}
= 2 × 3 = 6
⇒৩য় পদ = 3 . 3^{3 - 1}
= 3 × 3² = 27
⇒৪র্থ পদ = 4 . 3^{4 - 1}
= 4 × 3³ = 108
⇒৫ম পদ = 5 . 3^{5 - 1}
= 5 × 3⁴ = 405

১ম পাচটি পদের সমষ্টি = (1 + 6 + 27 + 108 + 405) = 547

প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r হলে n তম পদ = arⁿ⁻¹
∴ তৃতীয় পদ ar³⁻¹ = ar² = 20 ...... (i)
∴ ষষ্ঠ পদ ar⁶⁻¹ = ar⁵ = 160 ...... (ii)
এখন, (ii) ÷ (i)
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
∴ r = 2
r এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই -
a.2² = 20
∴ a = 5
সুতরাং, প্রথম পদ = 5

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 16 এবং সাধারণ অনুপাত 1/2 হলে, ধারাটির প্রথম 5টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 16
সাধারণ অনুপাত, r = 1/2
পদ সংখ্যা, n = 5

যেহেতু |r| < 1,
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r)
∴ প্রথম 5টি পদের সমষ্টি = 16{1 - (1/2)⁵}/{1 - (1/2)}
= 16{1 - (1/32)}/(1/2)
= 16(31/32)/(1/2)
= (16 × 31/32) × 2
= (31/2) × 2
= 31

∴ প্রথম 5টি পদের সমষ্টি 31

প্রশ্ন: ১ + ৫ + ৯ + ........ + ৮১ = কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ a = ১,
সাধারণ অন্তর d= ৫ - ১ = ৪

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = ৮১
⇒ a + (n - )d = ৮১
⇒ ১ + (n - ১) × ৪ = ৮১
⇒ (n - ১) × ৪ = ৮০
⇒ (n - ১) = ৮০/৪
⇒ (n - ১) = ২০
⇒ n = ২১

∴ সমষ্টি S_n = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (২১/২){(২ × ১) + (২১ - ১) × ৪}
= (২১/২) × (২ + ৮০)
= (২১/২) × ৮২
= ২১ × ৪১
= ৮৬১