ধারা

প্রশ্ন: ১ + ৫ + ৯ + ......... + ৮৫ = ?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা। 
 যার প্রথম পদ, a = ১
সাধারণ অন্তর, d = ৫ - ১ = ৪

আমরা জানি, 
n তম পদ = a + (n - ১)d
a + (n - ১)d = ৮৫
১ + (n - ১) × ৪ = ৮৫
(n - ১) × ৪ = ৮৪ 
n - ১ = ৮৪/৪ 
n - ১ = ২১ 
n = ২২ 

সমান্তর ধারার সমষ্টি, 
S_n = (n/২) × (প্রথম পদ + শেষ পদ)
= (২২/২) × (১ + ৮৫)
= ১১ × ৮৬
= ৯৪৬

১ম পদ = 1.3^1-1 = 1.3⁰ = 1.1 = 1
২য় পদ = 2.3^{2 - 1} = 2.3 = 6
৩য় পদ = 3.3^{3 - 1} = 3.3² = 27
৪র্থ পদ = 4.3^{4 - 1} = 4.3³ = 4.27 = 108
∴ সমষ্টি = 1 + 6 + 27 + 108 = 142

প্রশ্ন: 1 + (1/2) + (1/4) + ......... ১ম 6 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = (1/2)/1 = 1/2
∴ S₆ = {1 × (1 - rⁿ)/(1 - r)}
= [1 × {1 - (1/2)⁶}/{1 - (1/2)}]
= {1 - (1/64)}/{1 - (1/2)}
= (63/64)/(1/2)
= 63/32

5² + 10² + 15² + .  .  .  .  + 100² 
= 5² + 5²2² + 5²3² + .  .  .  + 5².20²
= 5²{1² + 2² + 3² + .  .  .  + 20²}
= 5² × 20(20 + 1)(2.20 + 1)/6
= 25 × 20×21×41 /6
= 71750

5 + 6 + 7 + 8 + .....+ 54
= (1 + 2 + 3 + 4 + 5 +6 + ..... + 54) - (1 + 2 + 3 + 4)
= {(54(54+1))/2} - 10
= 1475

প্রদত্ত সিরিজে দুইটি ধারা আছে।
প্রথম ধারাটিঃ 1, 3, 9, 27
দ্বিতীয় ধারাটিঃ 2, 6, 18, 54
সুতরাং, missing number টি হচ্ছে - 27

n তম পদ = ar^n-1
দ্বিতীয় পদ = -48
ar^{2 - 1} = -48 .........(1)
৫ম পদ = 3/4
ar⁴ = 3/4 .........(2)
r = -(1/4)

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল n(n + 1)। ধারাটির 15টি পদের যোগফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
S_n​ = n(n + 1)
তাহলে,
S₁₅ = 15 × (15 + 1)
= 15 × 16
= 240

∴ প্রথম 15 টি পদের যোগফল 240 

n তম পদ = n/2 × 2^{2n - 1}

∴ ১ম পদ = 1/2 × 2¹ = 1
২য় পদ = 2/2 × 2³ = 8
৩য় পদ = 3/2 × 2⁵= 3/2 × 32 = 48

∴ সমষ্টি = 1 + 8 + 48
= 57

ধারাটির ১ম পদ a = 7,
সাধারণ অন্তর d = 12 - 7 = 5
ধারাটি একটি সমান্তর ধারা। এখানে পদ সংখ্যা n = 30
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি S_n = n/2 × {2a + (n - 1)d}
তাহলে, 30 টি পদের সমষ্টি S₃₀ = (30/2) × {2 × 7 + (30 - 1)5}
= 15 × (14 + 29 × 5)
= 2385

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম 12টি পদের যোগফল 450। যদি প্রথম পদ 10 হয়, সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান: 
সমান্তর ধারার যোগফলের সূত্র:
S_n = n/2 [2a (n - 1)d]
⇒ 450 = 12/2 [2 × 10(12 - 1)×d]
⇒ 450 = 6 [20 × 11d]
⇒ 75 = 20 × 11d
⇒ 11d = 55
⇒ d = 5

∴ সাধারণ অন্তর 5

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদটি - 162 এবং পঞ্চম পদটি 3/4 হলে, প্রথম পদটি কত হবে? 

সমাধান:
আমরা জানি, কোন গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a,
সাধারণ অনুপাত q হলে n তম পদ = aq^{n - 1}
সুতরাং,
দ্বিতীয় পদ = aq^{2 - 1}
= aq
= - 162
∴ a = - 162/q ........ (1)

আবার,
পঞ্চম পদ = aq ^{5 - 1}
= aq⁴
= (- 162/q)q⁴
= - 162q³

প্রশ্নমতে,
- 162q³ = 3/4
⇒ q³ = - 3/648
⇒ q³ = - 1/216
⇒ q³ = (- 1/6)³
∴ q = - 1/6

সুতরাং, ১ম পদ = - 162/(-1/6)
= 972

প্রশ্ন: 2a + 2, 10, 20, .......... গুণোত্তর ধারাটিতে a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ = 2a + 2
দ্বিতীয় পদ = 10 
তৃতীয় পদ = 20

আমরা জানি,
সাধারণ অনুপাত = দ্বিতীয় পদ/প্রথম পদ = তৃতীয় পদ/দ্বিতীয় পদ 

প্রশ্নমতে,
10/(2a + 1) = 20/10
⇒ 10/(2a + 2) = 2
⇒ 10 = 2(2a + 2)
⇒ 10 = 4a + 4
⇒ 4a = 10 - 4
⇒ 4a = 6
⇒ a = 6/4
⇒ a = 3/2

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের তৃতীয় পদ 16 এবং ষষ্ঠ পদ 128 হলে, অনুক্রমের প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a,
সাধারণ অনুপাত q হলে
n তম পদ = aq^{n - 1}
সুতরাং, তৃতীয় পদ = aq^{3 - 1} = aq² = 16
∴ a = 16/q² ......... (i)

আবার, ষষ্ঠ পদ = aq^{6 - 1} = aq⁵ = (16/q²)q⁵ = 16q³

প্রশ্নমতে,
16q³ = 128
⇒ q³ = 128/16
⇒ q³ = 8
⇒ q³= 2³
∴ q = 2

সুতরাং, প্রথম পদ = 16/(2)²
= 16/4
= 4

d = 10,
a = ?
∴ ষষ্ঠ পদ = a + (6 - 1)d
বা, 72 = a + 5 × 10
বা, a + 50 = 72
∴ a = 22
∴ ষোড়শ পদ = a + (16 - 1)d
= 22 + (15) × 10
= 22 + 150
= 172

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 1 থেকে 99 পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
1 থেকে n পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল = n(n + 1)/2
∴ 1 থেকে 99 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল = {99 × (99 + 1)}/2 
= (99 × 100)/2 
= 99 × 50 
= 4950 

ধারার প্রথম পদ, a = 8
সাধারণ অন্তর, d = 16 - 8 = 8
পদ সংখ্যা n = 11
আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,
S_n = n/2 × {2a + (n – 1)d}
S₁₁ = 11/2 × {2 × 8 + (11 - 1)8} [n = 11 বসিয়ে]
= 11/2 (16 + 80)
= 11/2 × 96
= 528
∴ ধারাটির প্রথম 11টি পদের সমষ্টি 528

ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 4-1 =3
n তম পদ = a + (n-1)d
⇒ 73 = 1 + (n-1)3
⇒ 73 = 1 + 3n - 3
⇒ 3n = 75
∴ n = 25
∴ ধারাটির সমষ্টি, S = n/2{2a+(n-1)d}
= 25/2{2×1+(25-1)×3}
= 25/2 (2+72)
= 25/2 × 74
= 925

প্রশ্ন: (1/√5) + 1 + √5 + ......................... ধারাটির কোন পদ 625 হবে?

সমাধান:
ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এখানে, সাধারণ অনুপাত, r = দ্বিতীয় পদ/প্রথম পদ
= 1/(1/√5)
= √5
প্রথম পদ, a = 1/√5

আমরা জানি,
n তম পদ = a × r^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
a × r^{n - 1} = 625
⇒ (1/√5) × (√5)^{n - 1} = 625
⇒ (√5)^{- 1} × (√5)^{n - 1} = 625
⇒ (√5)^{n - 2} = 625
⇒ (√5)^{n - 2} = (√5)⁸
⇒ n - 2 = 8
⇒ n = 10

∴ ধারাটির 10 তম পদ 625

প্রশ্ন: একটি ধারার n তম পদ m^{(n + 2)}। যদি তৃতীয় পদ 243 হয়, তবে m এর মান কত?

সমাধান: 
এখানে,
n তম পদ m^{(n + 2)}
3য় পদ = 243
n = 3 হলে,
m₃ ​= m^{(3 + 2)} = m⁵

প্রশ্নমতে, 
m⁵ = 243
⇒ m⁵  = 3⁵
⇒ m = 3
∴ m এর মান = 3 

a = 4, d = 9 - 4 = 5
∴ n-তম পদ = a + (n - 1)d = 504
বা, 4 + (n - 1)5 = 504
বা, 4 + 5n - 5 = 504
বা, 5n = 505
∴ n = 101

প্রশ্ন:

সমাধান:

ধরি,
১ম পদ = a,
সাধারণ অন্তর = d

∴ পঞ্চম পদ = a + (5 - 1)d
বা, 18 = a + 4d...... (1)
আবার,
প্রথম পাঁচটি পদের সমষ্টি = (5/2){2a +(5 - 1)d}
বা, 75 = (5/2)(2a + 4d)
বা, 150 = 2 × 5(a + 2d)
বা, 15 = a + 2d.....(2)
বা, 30 = 2a + 4d
বা, 30 = a + (a + 4d)
বা, 30 = a + 18 [যেহেতু, a + 4d = 18]
∴ a = 12

১ + ৩ + ৫ + ৭ + ..... ৩১ ∴ ১ম পদ a = ১, সাধারন অন্তর d = ২
∴ পদ সংখ্যা = শেষ পদ - ১ম পদ / সাধারন অন্তর + ১ = ৩১-১/২ + ১ = ১৬
∴ সমষ্টি = n² = ১৬^২ = ২৫৬

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদটি ৫ এবং এর পরের প্রতিটি পদ ঠিক আগের পদ থেকে ৬ বেশি হলে ধারার ১৫০তম পদটি কত?

সমাধান:
১ম সংখ্যাটি = ১ম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৬

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ ১৫০ তম পদ = ৫ + (১৫০ - ১) × ৬
= ৫ + (১৪৯ × ৬)
= ৫ + ৮৯৪
= ৮৯৯

∴ ১৫০ তম পদ হলো ৮৯৯

প্রশ্ন: রিশাদ তার বেতন থেকে প্রথম মাসে 1200 টাকা সঞ্চয় করেন এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় 100 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। তিনি কত বছরে মোট 106200 টাকা সঞ্চয় করেন?

সমাধান: 
একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ(প্রথম মাস), a = 1200 টাকা
সাধারণ অন্তর(প্রতি মাসে বৃদ্ধি), d = 100 টাকা
n মাস পরে মোট সঞ্চয়, Sn = 106200 টাকা।

আমরা জানি, 
S_n = (n/2)[2a + (n - 1)d]
⇒ (n/2)[2 × 1200 + (n - 1)100] = 106200
⇒ (n/2)(2400 + 100n - 100) = 106200
⇒ (n/2)(100n + 2300) = 106200
⇒ n(100n + 2300) = 212400
⇒ 100n² + 2300n - 212400 = 0
⇒ n² + 23n - 2124 = 0
⇒ n² + 59n - 36n - 2124 = 0
⇒ n(n + 59) - 36(n + 59) = 0
⇒ (n + 59)(n - 36) = 0
হয়,
n + 59 = 0
∴ n = - 59  [মাস কখনো ঋণাত্মক হতে পারেনা] 

অথবা, 
n - 36 = 0
∴ n = 36

নির্ণেয় সময় 36 মাস বা 3 বছর।

প্রশ্ন: 3 + x + y + 81 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, xy এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 3

ধরি,
সাধারণ অনুপাত = r

প্রশ্নমতে,
ar^4-1 = 81
⇒ ar³ = 81
⇒ 3 . r³ = 81
⇒ r³ = 27
∴ r = 3

∴ ধারাটির দ্বিতীয় পদ,
x = ar^{2 - 1}
= 3 × 3^{2 - 1}
∴ x = 9

∴ ধারাটির তৃতীয় পদ,
y = 3 × 3^{3 - 1}
= 3 × 3²
∴ y = 27

∴ xy = 9 × 27
= 243

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 90 এবং পঞ্চম পদটি 810 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি, গুণোত্তর অনুক্রমে প্রথম পদ = a
এবং সাধারণ অনুপাত = r
∴ তৃতীয় পদ, T₃ = ar² = 90 ...... (1)
আবার, পঞ্চম পদ, T₅ = ar⁴ = 810 ...... (2)
(2) ÷ (1) নং হতে পাই,
(ar⁴/ar²) = 810/90
⇒ r² = 9
⇒ r = √9
∴ r = 3

(1) নং সমীকরণে r-এর মান বসিয়ে পাই,
a × (3)² = 90
⇒ 9a = 90
⇒ a = 90/9
∴ a = 10

∴ গুণোত্তর অনুক্রমের প্রথম পদ = 10

৩৬, ৮১, ১৪৪ ....... = ৬^২, ৯^২, ১২^২, ১৫^২ এখানে, ১৫^২ = ২২৫

a = ৩৭,
d = -৪,
∴ পদ সংখ্যা n = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
= {(-২৩ - ৩৭)/-৪} + ১
= {-৬০/-৪} + ১
= ১৫ + ১
= ১৬

∴ সমষ্টি = n/২{২a + (n - ১)d}
= ১৬/২{২.৩৭ + (১৬ - ১)(-৪)}
= ৮ × (৭৪ - ৬০)
= (৮ × ১৪)
= ১১২

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে n তম পদ = a + (n-1)d।
এখন, n তম পদ ৩০২ হলে, ৫ + (n-১) × ৩ = ৩০২
বা, (n - ১) × ৩ = ৩০২ - ৫
বা, n - ১ = ২৯৭/৩
বা, n - ১ = ৯৯
বা, n = ৯৯ + ১
বা, n = ১০০

প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার m তম পদ n ও n তম পদ m হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান: 
মনে করি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d

১ম শর্তমতে,
m তম পদ a + (m - 1)d = n
বা, ‍a + md - d = n .......................(1)
২য় শর্তমতে,
n তম পদ a + (n - 1)d = m
বা, a + nd - d = m ........................ (2)

(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই,
a + md - d = n
 a + nd - d = m
md - nd = n - m
বা, d (m - n) = n - m
বা,  d = - (m - n)/(m - n)
∴ d = - 1

∴ ধারাটির সাধারণ অন্তর = - 1

S_n = S_p + n² = 36 + 3² = 45

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে n তম পদ = a + (n-1)d।
এখন, n তম পদ ৩১১ হলে, ৫ + (n-১) × ৩ = ৩১১
বা, (n-১) × ৩ = ৩১১ - ৫
বা, n-১ = ৩০৬/৩
বা, n-১ = ১০২
বা, n = ১০২ + ১
বা, n = ১০৩

প্রশ্ন: রহিম প্রথম মাসে 1200 টাকা সঞ্চয় করেন এবং প্রতি মাসে আগের মাসের তুলনায় 200 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। তিনি 15 তম মাসে কত টাকা সঞ্চয় করেন?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1200
সাধারণ অন্তর, d = 200

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d

∴ 15 তম পদ = a + (15 - 1) × d
= 1200 + (14 × 200)
= 1200 + 2800
= 4000

∴ রহিম 15 তম মাসে সঞ্চয় করেন 4000 টাকা।

ধারাটির প্রথম পদ a=8, সাধারণ অন্তর, d=11-8=3, 14-11=3
ইহা একটি সমান্তর ধারা
মনেকরি, ধারাটির n তম পদ 392
আমরা জানি, সমান্তর ধারার nতম পদ= a + (n - 1)d
a + (n - 1)d = 392
বা, 8 + (n - 1)3 = 392
বা, 8 + 3n - 3 = 392
বা, 3n + 5 = 392
বা, 3n = 392 - 5
বা, 3n = 387
বা, n = 129