ধারা

প্রশ্ন: 1 + 2 + 4 +................. ধারাটির প্রথম 5টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
ধারাটির ১ম পদ, a = 1 
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 2/1 = 2  
এখানে, r এর মান 1 থেকে বড়  তাই 
সমষ্টি, S_n = a.(rⁿ - 1)/r - 1 
= 1. (2⁵ - 1)/2 - 1 
= (32 - 1)/1 
= 31 

∴ 5 টি পদের সমষ্টি = 31

এখানে দুটি ধারা বিদ্যমান।
বিজোড় অবস্থানের ধারা = 4, 6, 8, 10
জোড় অবস্থানের ধারা = 9, 11, 13, 15

4 + 7 + 10 + 13 +........ ধারাটি একটি সমান্তর ধারা, যার
১ম পদ a=4
সাধারণ অন্তর, d = 7-4=3
মনে করি, n তম পদ= 301
n তম পদ= a+(n-1)d
সুতরাং, a+(n-1)d = 301
বা, 4+ (n-1)3 = 301
বা, (n-1) 3 = 301-4
বা, n-1 = 297/3
বা, n= 99+1 = 100

দেওয়া আছে, প্রদত্ত ধারার প্রথম পদ, a = 5
দ্বিতীয় পদ = x
তৃতীয় পদ = y
এবং চতুর্থ পদ = 135
মনে করি, ধারাটির সাধারণ অনুপাত, q
সুতরাং ধারাটির চতুর্থ পদ = aq^4-1
= 5. q³
= 5q³
প্রশ্নমতে, 5q³ = 135
বা, q³ = 135/5
বা, q³ = 27
বা, q³ = 3³
বা, q = 3
এখন, দ্বিতীয় পদ, x = aq^2-1
= aq¹
= aq
= 5.3
= 15

এবং তৃতীয় পদ, y = aq^3-1
= aq²
= 5.3²
= 5.9
= 45
এখন x এবং y যোগফল = 15+45
= 60

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে পঞ্চম পদটি 160 এবং অষ্টম পদটি 1280 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
গুণোত্তর অনুক্রমে প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r 

পঞ্চম পদ = 160
∴ ar^5-1 = 160
⇒ ar⁴ = 160 ......(1)

অষ্টম পদ = 1280
∴ ar⁷ = 1280 ......(2)

(2) নং কে (1) দ্বারা ভাগ করে পায়ী, 
ar⁷/ar⁴ = 1280/160
⇒ r^7-4 = 8
⇒ r³ = 2³
⇒ r = 2

(1) নং হতে পাই,
a . 2⁴ = 160
⇒ a = 160/16
⇒ a = 10

∴ প্রথম পদ হলো ১০

প্রশ্ন: 4x + 1, 18, 36 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে x = কত? 

সমাধান: 
অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ = ৩য় পদ/২য় পদ
⇒ 18/(4x + 1) = 36/18
⇒ 18/(4x + 1) = 2
⇒ 18 = {2 × (4x + 1)} 
⇒ 8x + 2 = 18
⇒ 8x = 18 - 2
⇒ 8x = 16
⇒ x = 16/8
∴ x = 2

a, b, c ও d সমান্তর ধারার চারটি ক্রমিক পদ হলে
a = a
b = a+1
c = a+2
d = a+3
এই মান গুলো প্রত্যেকটি অপশনে বসিয়ে দেখা যায়
c = (b+d)/2 এটা সত্য
= (a+1+a+3)/2
= (2a+4)/2
= 2(a+2)/2
= (a+2)
= c

প্রশ্ন: কোনো ধারার n তম পদ n . 2^{(n + 1)} হলে ধারাটির ১ম 5টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, n তম পদ = n . 2^{(n + 1)}
সুতরাং,
১ম পদ = 1 × 2^{(1 + 1)} = 1 × 2² = 1 × 4 = 4
২য় পদ = 2 × 2^{(2 + 1)} = 2 × 2³ = 2 × 8 = 16
৩য় পদ = 3 × 2^{(3 + 1)} = 3 × 2⁴ = 3 × 16 = 48
৪র্থ পদ = 4 × 2^{(4 + 1)} = 4 × 2⁵ = 4 × 32 = 128
৫ম পদ = 5 × 2^{(5 + 1)} = 5 × 2⁶ = 5 × 64 = 320

∴ ধারাটির প্রথম পাঁচটি পদের যোগফল = 4 + 16 + 48 + 128 + 320
= 516

প্রশ্ন: 12 থেকে 96 পর্যন্ত কয়টি সংখ্যা 4 দ্বারা বিভাজ্য?

সমাধান:
প্রথম পদ 12, শেষ পদ 96, সাধারণ অন্তর 4

∴ পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/ সাধারণ অন্তর} + 1
= {(96 - 12)/4} + 1
= (84/4) + 1
= 21 + 1
= 22

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির প্রথম 22টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n(n + 1)

প্রথম 22টি পদের সমষ্টি = 22(22 + 1)
= 22 × 23
= 506

প্রশ্ন: ৯ + ১৩ + ১৭ + ২১ + ............. ধারাটির কোন পদ ১৬৫?

সমাধান:
এখানে,
ধারার ১ম পদ, a = ৯
সাধারণ অন্তর, d = ১৩ - ৯ = ৪
n তম পদ = ১৬৫

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১) × d

প্রশ্নমতে,
৯ + (n - ১) × ৪ = ১৬৫
⇒ ৯ + ৪n - ৪ = ১৬৫
⇒ ৪n + ৫ = ১৬৫
⇒ ৪n = ১৬০
⇒ n = ৪০

∴ ১৬৫ হলো ধারাটির ৪০তম পদ।

প্রশ্ন: ৭ + ১২ + ১৭ + ২২ + ............ধারাটির ৪৩ তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = ৭ 
সাধারণ অন্তর, d = ১২ - ৭ = ৫
এবং পদসংখ্যা, n = ৪৩ 

​আমরা জানি,
​সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - ১)d
∴ ধারাটির ৪৩ তম পদ = ৭ + (৪৩ - ১)৫
= ৭ + (৪২ × ৫)
= ৭ + ২১০
= ২১৭

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৫ম পদটি ৩১ এবং ১২তম পদটি ৭৩ হলে, ধারাটির ৪০তম পদটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1) × d

প্রশ্নমতে,
৫ম পদ = a + (৫ - ১) × d = ৩১
⇒ a + ৪d = ৩১ .........(i)

১২তম পদ = a + (১২ - ১) × d = ৭৩
⇒ a + ১১d = ৭৩ .........(ii)

(ii) - (i) করে পাই,
a + ১১d - (a + ৪d) = ৭৩ - ৩১
⇒ ৭d = ৪২
⇒ d = ৬

d এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
a + ৪ × ৬ = ৩১
⇒ a + ২৪ = ৩১
⇒ a = ৭

এখন, ৪০তম পদ = a + (৪০ - ১) × d
= ৭ + (৩৯ × ৬)
= ৭ + ২৩৪
= ২৪১

∴ ৪০তম পদটি হলো ২৪১

১ম পদ (a) = ৩,
সাধারণ অন্তর (d) = ৬ - ৩ = ৩,
শেষ পদ = ৯৬
∴ পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
= {(৯৬ - ৩)/৩} + ১
= ৩১ + ১
= ৩২

প্রশ্ন: রবিন তার বেতন থেকে প্রথম মাসে 1500 টাকা সঞ্চয় করেন এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় 150 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন, তিনি 20 তম মাসে কত টাকা সঞ্চয় করেন?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ a = 1500
সাধারণ অন্তর d = 150

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 20 তম পদ = a + (20 - 1)d
= 1500 + (19 × 150)
= 1500 + 2850
= 4350

∴ রবিন 20 তম মাসে সঞ্চয় করেন 4350 টাকা।

প্রশ্ন: একটি জ্যামিতিক সিরিজের তৃতীয় পদ 3 হলে প্রথম পাঁচটি পদের গুণফল কত?

সমাধান: 
ধরি,
১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
তৃতীয় পদ, ar² = 3

প্রথম পাঁচ পদের গুণফল S হলে,
S = a × ar × ar² × ar³ × ar⁴
= a⁵r¹⁰
= (ar²)⁵
= 3⁵
= 243

∴ প্রথম পাঁচ পদের গুণফল 243

মনে করি,
১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
∴ ২য় পদ ar = ২১,
৩য় পদ ar² =৬৩
∴ ar²/ar = ৬৩/২১
বা, r = ৩
∴ a = ২১/৩ = ৭
∴ ৪র্থ পদ = ar^৩
= ৭ × ২৭
= ১৮৯

৪ + ৪ = ৮
৮+ ৫ = ১৩
১৩ + ৬ = ১৯
১৯ + ৭ = ২৬
২৬ + ৮ = ৩৪
৩৪ + ৯ = ৪৩
অর্থাৎ প্রতিটি পদের ব্যবধান পূর্ববর্তী ব্যবধান থেকে ১ করে বৃদ্ধি পেয়েছে।
∴ ৭ম পদ = ৪৩

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 5 এবং সপ্তম পদটি 55 হলে, দশম পদটি কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a
এবং সাধারণ অন্তর, d হলে
n তম পদ = a + (n - 1)d

এখানে,
পঞ্চম পদ = 55
∴ a + (7 - 1)5 = 55
⇒ a + 30 = 55
⇒ a = 55 - 30
⇒ a = 25

∴ নবম পদ = 25 + (10 - 1) × 5
= 25 + 45
= 70

n-তম পদ = ar^{n - 1}

এখানে,
a = 2
r = 4/2 = 2
n = 9

10তম পদ = 2 × 2^{9 - 1}
= 2 × 2⁸
= 512

প্রশ্ন: (1/√2) + 1 + √2 + ....... ধারাটির কোন পদ 16√2 হবে? 

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা। 
যার প্রথম পদ, a = 1/√2
সাধারণ অনুপাত, r = 1/(1/√2) = √2

আমরা জানি, 
n-তম পদ, an = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে, 
(1/√2)(√2)^{n - 1} = 16√2
⇒ (√2)^{n - 1} = 16√2 × √2
⇒ (√2)^{n - 1} = 32 = 2⁵
⇒ (√2)^{n - 1} = (√2)¹⁰
⇒ n - 1 = 10
⇒ n = 10 + 1
∴ n = 11

অতএব, ধারাটির 11 তম পদ 16√2 হবে। 

১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, .......... ধারাটি হতে দেখা যায় যে এই ধারাটি ফিবোনাক্কি ধারা।
১ + ১ = ২
১ + ২ = ৩
২ + ৩ = ৫
৩ + ৫ = ৮
৫ + ৮ = ১৩
∴ পরবর্তী সংখ্যাটি = ৮ + ১৩ = ২১

প্রশ্ন: ৭ + ১২ + ১৭ + ২২ + …… ধারাটির কত তম পদ ৫০২?

সমাধান:
এখানে, ৭ + ১২ + ১৭ + ২২ + ……
এটি একটি সমান্তর ধারা,
যার প্রথম পদ, a = ৭
সাধারণ অন্তর, d = ১২ - ৭ = ৫

ধরি,
ধারাটির n তম পদ ৫০২

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১)d
⇒ ৫০২ = ৭ + (n - ১)৫
⇒ ৫০২ = ৭ + ৫n - ৫
⇒ ৫০২ = ৫n + ২
⇒ ৫n = ৫০২ - ২
⇒ ৫n = ৫০০
⇒ n = ৫০০/৫
∴ n = ১০০

∴ ধারাটির ১০০ তম পদ ৫০২

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 2 এবং চতুর্থ পদ 54। ধারাটির কততম পদ 4374?

১ম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
বা, -144 = (n/2){2a + (n - 1)d}
বা, -144 = (n/2){2×9 + (n - 1)×(-2)}
বা, -144 = 9n -n² + n
বা, n² -10n -144 = 0
∴ n = 18 or -8

a = ৮, d = ৩
ধরি, n তম পদ = ৩৯২
বা, a + (n - ১) × ৩ = ৩৯২
বা, ৮ + (n - ১) × ৩ = ৩৯২
বা, (n - ১)৩ = ৩৯২ - ৮ = ৩৮৪
বা, n - ১ = ৩৮৪/৩ = ১২৮
∴ n = ১২৯

সমষ্টি = {(শেষ পদ + ১ম পদ)/২} × পদ সংখ্যা
বা, 2500 = (99 + 1)/2 × পদ সংখ্যা
বা, 2500 = 50 × পদ সংখ্যা
∴ পদ সংখ্যা = 50
এখন,
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর)) + ১
বা, 50 = {(99 - 1)/সাধারণ অন্তর} + ১
বা, 49 = 98/সাধারণ অন্তর
বা, সাধারণ অন্তর = 98/49 = 2

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 + … ধারাটির প্রথম n পদের যোগফল 765 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ a = 3,
সাধারণ অনুপাত r = 6/3 = 2
প্রথম n পদের যোগফল, S_n = 765

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদের যোগফল,
S_n = {a × (rⁿ - 1)}/(r - 1) 
⇒ 765 = (3 × 2ⁿ - 1)/(2 - 1)
⇒ 765 = 3 × 2ⁿ - 1
⇒ 765/3 = 2ⁿ - 1 
⇒ 255 = 2ⁿ - 1
⇒ 256 = 2ⁿ
⇒ 2ⁿ = 2⁸
∴ n = 8 

∴ n এর মান 8

দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 7
সাধারণ অনুপাত = r

আমরা জানি,
n তম পদ = ar^{n - 1}
২য় পদ = ar^{2 - 1} = 7r = x
৩য় পদ = ar^{3 - 1} = 7r² = y
৪র্থ পদ = ar^{4 - 1} = ar³

প্রশ্নমতে,
ar³ = 2401
বা, 7r³ = 2401
বা, r³ = 2401/7
বা, r³ = 343
বা, r³ = 7³
বা, r = 7

∴ x = 7 × 7
= 49

∴ x এর মান 49.

প্রশ্ন: ৫ + ৯ + ১৩ + ১৭ + ...... ধারার কোন পদ ১৭৩?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৯ - ৫ = ৪
n তম পদ = ১৭৩

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১) × d
⇒ ১৭৩ = ৫ + (n - ১) × ৪
⇒ ১৭৩ = ৫ + ৪n - ৪
⇒ ১৭৩ = ৪n + ১
⇒ ৪n = ১৭২
⇒ n = ১৭২/৪
∴ n = ৪৩

∴ ধারাটির ৪৩তম পদ হলো ১৭৩

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদটি ৮ এবং পরের প্রতিটি পদ ঠিক আগের পদ থেকে ৬ বেশি হলে ধারাটির ১০০তম পদ কত?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = ৮
সাধারণ অন্তর, d = ৬
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - ১) × d
∴ ১০০তম পদ = ৮ + (১০০ - ১) × ৬
= ৮ + (৯৯ × ৬)
= ৮ + ৫৯৪
= ৬০২

∴ ১০০তম পদটি হলো ৬০২

প্রশ্ন: প্রথম 10টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
∴ প্রথম 10টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {10(10 + 1)/2}²
= {(10 × 11)/2}²
= (110/2)²
= (55)²
= 3025

প্রশ্নোক্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এখানে,
প্রথম পদ (a) = ১,
সাধারণ অনুপাত (r) = ২,
n = ১৫
∴ সমষ্টি (s) = ১ × {(২^১৫ - ১)/(২ - ১)}
= ২^১৫ - ১
= ৩২৭৬৭

প্রশ্ন: ১ - ১ + ১ - ১ + ......... এই ধারাটির (২n + ১) পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা ।
যারা প্রথম পদ a = ১
সাধারণ অনুপাত, r = - ১/১ = - ১ < ১ 

আমরা জানি,
কোনো গুণোত্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি, S_n = a(১ - rⁿ)/(১ - r)  ; r < - ১
সমষ্টি = ১(১ - (- ১)^{২n + ১})/{১ - (- ১)}
= [১ - (- ১)^২n × (- ১)^১]/(১ + ১)
= (১ + ১)/২  ; [(- ১)^২n = ১]
= ২/২ 
= ১ 

সুতরাং, (২n + ১) পদের সমষ্টি ১ । 

এখানে প্রথমপদ, a = 1/√2
সাধারণ অনুপাত, r = √2
ধরি r তম পদ হবে = 8√2

প্রশ্নমতে,
arⁿ⁻¹ = 8√2
বা, 1/√2 × (√2)ⁿ⁻¹ = 8√2
বা, (√2)ⁿ⁻¹ = 8√2 × √2
বা, (√2)ⁿ⁻¹ = (√2)⁶ × √2 × √2
বা, (√2)ⁿ⁻¹ = (√2)⁸
বা, n−1 = 8
∴ n = 9

n = 3 হলে,
৩য় পদ = Sin{(2.3 + 1) π/2}
= Sin(7 × 90°)
= Sin630°
= -1

প্রশ্ন: s + (s + 1) + (s + 2) + ............ ধারাটির প্রথম 18 টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
s + (s + 1) + (s + 2) + ............
ধারাটির,
প্রথম পদ, a = s
সাধারন অন্তর, d = s + 1 - s = 1

প্রথম 18 টি পদের সমষ্টি, Sn = n/2{2a + (n - 1)d}
= 18/2 {2s + (18 - 1)1}
= 9(2s + 17)
= 18s + 153