ধারা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৭-তম পদ ২০ এবং ১৩-তম পদ ৩৮ হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n-তম পদ, a_n = a + (n - ১)d

দেওয়া আছে,
৭ম পদ, a_৭ = ২০
⇒ a + (৭ - ১)d = ২০
⇒ a + ৬d = ২০  ………(১)

এবং
১৩ম পদ, a_১৩ = ৩৮
⇒ a + (১৩ - ১)d = ৩৮
⇒ a + ১২d = ৩৮  ………(২)

এখন সমীকরণ (২) থেকে সমীকরণ (১) বিয়োগ করে পাই,
(a + ১২d) - (a + ৬d) = ৩৮ - ২০
⇒ a + ১২d - a - ৬d = ১৮
⇒ ৬d = ১৮
⇒ d = ১৮/৬
∴ d = ৩

সুতরাং, সাধারণ অন্তর ৩। 

১ম পদ (a) = -3
সাধারণ অনুপাত (r) = 6/-3 = -2
∴ (১ম আটটি পদের) সমষ্টি (s) = a.{(1 - rⁿ)/(1 - r)}
= (-3){(1 - (-2)⁸)/(1 - (-2))}
= (-3){(1 - 256)/3}
= - (-255)
= 255

প্রশ্ন: log2+ log4 + log8 + .............. ধারাটির প্রথম বারোটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log2 + log4 + log8 + ............... + প্রথম বারোটি পদের সমষ্টি
= log2 + log4 + log8 + ............... + প্রথম বারোটি পদের সমষ্টি
= log2¹ + log2² + log2³ +............... + প্রথম বারোটি পদের সমষ্টি
= 1log2 + 2log2 + 3log2 +  ............... + প্রথম বারোটি পদের সমষ্টি
= log2(1 + 2 + 3 + 4 + ............... + 12)
= log2{12(12 + 1)/2}
= log2(6 × 13)
= log2 × 78
= 78log2

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 10 তম পদ 45 হলে, তার প্রথম 19 পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ধারাটির প্রথম পদ a
সাধারণ অন্তর d
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 10 তম পদ = a + (10 - 1)d
= a + 9d
প্রশ্নমতে,
a + 9d = 45
আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি, S_n = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 19টি পদের সমষ্টি, S₁₉ = (19/2){2a + (19 - 1)d}
= (19/2)(2a + 18d)
= (19/2) × 2(a + 9d)
= 19 × (a + 9d)
= 19 × 45
= 855

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের ৩য় পদটি 45 এবং ষষ্ঠ পদটি 1215 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = arⁿ⁻¹

প্রশ্ন অনুসারে,
৩য় পদ, ar² = 45..........(১)
৬ষ্ঠ পদ,  ar⁵= 1215..........(২)

এখন,
(২) ÷ (১)
⇒ ar⁵/ar² = 1215/45
⇒ r³ = 27
⇒ r³ = 3³
∴ r = 3
প্রথম পদ, ar²=45
⇒ a × 9 = 45
⇒ a = 45/9​ = 5

সুতরাং ১ম পদ 5

ধরি,
১ম পদ = a,
সাধারন অনুপাত = r
∴ ২য় পদ = ar = 48 ...... (1) এবং
৫ম পদ = ar⁴ = 3/4 …… (2)
(2)নং ÷ (1) নং থেকে পাই,
r³ = 3/4 × 1/48 = 1/64
বা, r = 1/4

মনে করি,
ধারাটি প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
সুতরাং 12 তম পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d
প্রশ্নমতে,
a + 11d = 77
আবার,
আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = n/2 {2a + (n - 1)d}
সুতরাং প্রথম 23টি পদের সমষ্টি = 23/2 {2a + (23-1)d}
= 23/2 (2a + 22d)
= 23/2 × 2 (a + 11d)
= 23 × (a + 10d)
= 23 × 77
= 1771

প্রশ্ন: 8 + 4√2 + 4 + 2√2+..................... ধারাটির কততম পদ √2?

সমাধান:
 এটি একটি গুণোত্তর ধারা। যার 
১ম পদ, a = 8
এবং সাধারণ অনুপাত, r = 4√2/8 = √2/2 = 1/√2

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে, 
ar^{n - 1} = √2
⇒ 8 × (1/√2)^{n - 1} = √2
⇒ (1/√2)^{n - 1} = √2/8
⇒ (1/√2)^{n - 1} = √2/(√2)⁶     ; [(√2)⁶ = 8]
⇒ (√2)^{- (n - 1)} = (√2)^{1 - 6}
⇒ - (n - 1) = - 5
⇒ - n + 1 = - 5
⇒ n = 1 + 5
∴ n = 6

অর্থাৎ ৬ষ্ঠ পদটি √2

১ম পদ a = ১
সাধারন অনুপাত r = (১/৩)/১ = ১/৩ < ১
পদ সংখ্যা = ৫
ধারাটির প্রথম ৫টি পদের সমষ্টি = ‍a(1-rⁿ)/(1-r)
= 1(1-(1/3)⁵)/(1-1/3)
= (1-1/243)/(2/3)
= 121/81

১ম পদ = a,
সাধারণ অন্তর = d
∴ ৫ম = a + (৫ - ১)d
= a + ৪d
এবং
১২ তম পদ = a + (১২ - ১)d
= a + ১১d
∴ ৫ম পদ এবং ১২তম পদের সমষ্টি = ২a + ১৫d = ৪৯

∴ ১ম ১৬টি পদের সমষ্টি = ১৬/২ × {২a + (১৬ - ১)d}
= ৮ × (২a + ১৫d)
= ৮ × ৪৯
= ৩৯২

প্রশ্ন: 29 + 25 + 21 +................ - 19 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 29
সাধারণ অন্তর, d = 25 - 29 = - 4
n-তম পদ = - 19

আমরা জানি,
n-তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
a + (n - 1)d = - 19
⇒ 29 + (n - 1)(- 4) = - 19
⇒ 29 - 4n + 4 = - 19
⇒ 33 - 4n = - 19
⇒ 4n = 33 + 19
⇒ 4n = 52
⇒ n = 52/4
⇒ n = 13

এখন, n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (13/2){(2 × 29) + (13 - 1)(- 4)}
= (13/2){58 + 12 × (- 4)}
= (13/2)(58 - 48)
= (13/2) × 10
= 65

৪, ৩৬, ১০০ ....
= ২^২, ৬^২, ১০^২, ১৪^২ .....
∴ ১৪^২ = ১৯৬

এখানে a = 3, d = 2
সুতরাং ধারাটির n তম পদ = a + (n - 1)d = 3 + (n - 1)×2 = 2n + 1

প্রশ্ন: প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 225 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n+1)/2}2

প্রশ্নানুসারে,
{n(n + 1)/2}² = 225
বা, {n(n + 1)/2}²  = (15)² 
বা, (n² + n)/2 = 15
বা, n² + n - 30 = 0
বা, n² + 6n - 5n - 30 = 0
বা, (n + 6) (n - 5) = 0

হয়, n + 6 = 0 ⇒ n = - 6 [ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়]
∴ n - 5 = 0 ⇒ n = 5

প্রশ্ন:

সমাধান:

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
এখানে, a = 5; d =7; n = 2p + 1
∴ (2p + 1) তম পদ =5 + (2p + 1 - 1) × 7
= 5 + 14p

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + 4 +..............+ 95 = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
1 + 2 + 3 + .......... + n = n(n + 1)/2

1 + 2 + 3 + .......... + 95 = 95(95 + 1)/2
= (95 × 96)/2
= 95 × 48
= 4560

প্রশ্ন: ৮৫ + ৮২ + ৭৯ + …… + ২৮ ধারাটির সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
এটি একটি সমান্তর ধারা।
যার, প্রথম পদ, a = ৮৫
সাধারণ অন্তর, d = ৮২ - ৮৫ = - ৩
শেষ পদ, l = ২৮

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n-তম, l = a + (n - 1)d
২৮ = ৮৫ + (n - ১)(- ৩)
⇒ ২৮ = ৮৫ - ৩(n - ১)
⇒ ৩(n - ১) = ৮৫ - ২৮
⇒ ৩(n - ১) = ৫৭
⇒ n - ১ = ৫৭/৩
⇒ n - ১ = ১৯
⇒ n = ১৯ + ১ 
∴ n = ২০
অর্থাৎ ধারায় মোট ২০টি পদ আছে।

আবার, 
সমান্তর ধারার সমষ্টি, Sₙ = (n/২) × (প্রথম পদ + শেষ পদ)
S_২০ = (২০/২) × (৮৫ + ২৮)
= ১০ × ১১৩
= ১১৩০

সুতরাং, ধারাটির সমষ্টি ১১৩০। 

১ম পদ, a = ১
সাধারণ অন্তর, d = ৩
nতম পদ = a + (n - ১)d = ৭৬
বা, ১ + (n - ১).৩ = ৭৬
বা, ৩(n - ১) = ৭৫
বা, n - ১ = ২৫
∴ n = ২৬
∴ সমষ্টি = (২৬/২){২ × ১ + (২৬ - ১)৩}
= ১৩(২ + ৭৫)
= ১০০১

১ম ৫টি সংখ্যার গড় = ৫৬০/৫ = ১১২
তাহলে সংখ্যা ৫টি = ১১০, ১১১, ১১২, ১১৩, ১১৪
শেষ ৫ টি সংখ্যা হল = ১১৫, ১১৬, ১১৭, ১১৮, ১১৯
শেষ ৫ টির যোগফল = ১১৭ x ৫ = ৫৮৫

প্রশ্ন: 128 + 512 + 2048 + ...... ধারাটির পরবর্তী পদটি কত?

সমাধান:
ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 128
দ্বিতীয় পদ = 512
সাধারণ অনুপাত, r = 512 ÷ 128 = 4

∴ চতুর্থ পদ = a × r³
= 128 × 4³
= 128 × 64
= 8192

∴ ধারাটির পরবর্তী পদ হবে 8192

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 + ............. এই ধারাটির কোন পদের মান 256? 

সমাধান: 
2 + 4 + 8 + 16 + .............
ধারাটির ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2

∴ n তম পদ = ar^{n - 1}
বা, 2 . 2^{n - 1} = 256
বা, 2^{1 + n - 1} = 256
বা, 2ⁿ = 256
বা, 2ⁿ = 2⁸
∴ n = 8

∴ ধারাটির 8তম পদের মান 256.

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৩য় পদ ১৪ এবং প্রথম ৭টি পদের সমষ্টি ১১২ হলে, প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির ১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d 

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - ১)d
৩য় পদ = a + (৩ - ১)d
⇒ a + (৩ - ১)d = ১৪ 
∴ a + ২d = ১৪ ......(১)

আবার, 
৭টি পদের সমষ্টি = ১১২
⇒ (৭/২){২a + (৭ - ১)d = ১১২ 
⇒ (৭/২)(২a + ৬d) = ১১২
∴ a + ৩d = ১৬  ......(২)

এখন, (২) - (১) করে পাই, 
⇒ a + ৩d - a - ২d = ১৬ - ১৪ 
∴ d = ২ 

d এর মান (১) নং এ বসিয়ে পাই, 
a + ৪ = ১৪
∴ a = ১০ 

অতএব, ধারাটির প্রথম পদটি ১০

মনে করি, ধারাটি প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n-1)d
সুতরাং 12 তম পদ = a + (12-1)d
= a + 11d
প্রশ্নমতে, a + 11d = 77
আবার, আমরা জানি, n তম পদের সমষ্টি = n/2 {2a + (n-1)d}
সুতরাং প্রথম 23টি পদের সমষ্টি = 23/2 {2a + (23-1)d}
= 23/2 (2a + 22d)
= 23/2 × 2 (a + 11d)
= 23 × (a + 10d)
= 23 × 77
= 1771

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 27 এবং 9, তাহলে ধারাটির দশম পদ কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে
ধারাটির প্রথম পদ, a = 27
ধারাটির দ্বিতীয় পদ, ar^{2 - 1} = ar = 9

অতএব সাধারণ অনুপাত, r = 9/27 = 1/3

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ দশম পদ, ar^{10 - 1} = 27(1/3)⁹
= (3³ × 1)/(3³ × 3⁶)
= 1/3⁶
= 1/729

সুতরাং, ধারাটির দশম পদ 1/729

ধরি,
প্রথম পদ = a এবং
সাধারণ অন্তর, d = 10
∴ পঞ্চম পদটি = a + (5 - 1)×10
⇒ 42 = a + 40
∴ a = 2
∴ দ্বাদশ পদটি = 2 + (12 - 1)×10 = 112

কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি পদ ৯ ও ২৩ হলে, সাধারণত অন্তর = ২৩ - ৯ = ১৪।
সুতরাং তৃতীয় পদ = দ্বিতীয় পদ + সাধারণত অন্তর
= ২৩ + ১৪
= ৩৭

প্রশ্ন: 9 + p + q + 72 + ................. একটি গুণোত্তর ধারা হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
এখানে ৪র্থ পদ, ar^{4 - 1} = 72
⇒ ar³ = 72 ...........(1)
১ম পদ ,a = 9 .........(2)
(1) ÷ (2) ⇒
ar³/a = 72/9
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
∴ r = 2
সাধারণ অনুপাত r = 2
২য় পদ, p = 9 × 2 = 18