সেট, ফাংশন ও ভেনচিত্র

প্রশ্ন: কোন পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীদের ৪০% ইংরেজিতে ,৩০% বাংলায় ফেল করেছে।যদি ২০% উভয় বিষয়ে ফেল করে থাকে তবে শতকরা কতজন উভয় বিষয়ে পাশ করেছে?
 
সমাধান:
শুধু ইংরেজিতে ফেল করে = ৪০ - ২০ = ২০ জন
শুধু বাংলায় ফেল করে = ৩০ - ২০ = ১০ জন
এবং উভয় বিষয়ে ফেল করে = ২০ জন

∴ মোট ফেল করে = ২০ + ১০ + ২০ = ৫০ জন
সুতরাং, উভয় বিষয়ে পাশ করে = ১০০ - ৫০ = ৫০ জন

প্রশ্ন: যদি A = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {4, 6, 7, 8} এবং C = {4, 8, 9} হয়, তবে (A - B) ∪ C = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
A = {4, 5, 6, 7, 8, 9},
B = {4, 6, 7, 8}
এবং C = {4, 8, 9} 

এখন, 
A - B = {4, 5, 6, 7, 8, 9} - {4, 6, 7, 8} 
= {5, 9} 

∴ (A - B) ∪ C 
= {5, 9} ∪ {4, 8, 9} 
= {4, 5, 8, 9} 

প্রশ্ন: {x ∈ N : x² > 15 এবং x³ < 100} তালিকা পদ্ধতির সেট কোনটি? 

সমাধান: 
স্বাভাবিক সংখ্যা = {1, 2, 3, 4, ...}
এখন, 
x = 1 হলে x² = 1² = 1 > 15 এবং x³ = 1³ = 1 < 100 ; যা শর্ত বিরোধী 
x = 2 হলে x² = 2² = 4 > 15 এবং x³ = 2³ = 8 < 100 ; যা শর্ত বিরোধী
x = 3 হলে x² = 3² = 9 > 15 এবং x³ = 3³ = 27 < 100 ; যা শর্ত বিরোধী
x = 4 হলে x² = 4² = 16 > 15 এবং x³ = 4³ = 64 < 100 ; যা শর্ত সিদ্ধ করে
x = 5 হলে x² = 5² = 25 > 15 এবং x³ = 5³ = 125 < 100 ; যা শর্ত বিরোধী

সুতরাং, নির্ণেয় সেট = {4} 

প্রশ্ন: f(x) = x³ + kx² - 4x - 4, k এর মান কত হলে f(2) = 0 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
f(2) = 0

এখন,
f(x) = x³ + kx² - 4x - 4

∴ f(2) = (2)³ + k(2)² - 4 × 2 - 4 = 0

বা, 8 + 4k - 8 - 4 = 0
বা, 4k - 4 = 0
বা, 4k = 4
বা, k = 4/4
∴ k = 1

প্রশ্ন: সার্বিক সেট U এর যে কোন উপসেট A ও B এর জন্য কোনটি সঠিক? 

সমাধান:
• De Morgan's Law (ডি মরগ্যানের সূত্র)
1. (A ∩ B)' = A' ∪ B'
2. (A ∪ B)' = A' ∩ B'

• অপশনসমূহ যাচাই:
ধরি,
U = {1,2,3,4,5}, A = {1,2,3}, B = {2,3,4}
ক) A\B = A ∪ B' 
A\B = {1}
B' = {1,5}, তাই A∪B' = {1,2,3,5}
{1} ≠ {1,2,3,5} ∴ ভুল

খ) (A ∪ B)' = A' ∪ B' 
A ∪ B = {1,2,3,4}, তাই (A ∪ B)' = {5}
A' = {4,5}, B' = {1,5}, তাই A' ∪ B' = {1,4,5}
{5} ≠ {1,4,5} ∴ ভুল

গ) (A ∩ B)' = A' ∪ B' 
A ∩ B = {2,3}, তাই (A ∩ B)' = {1,4,5}
A' = {4,5}, B' = {1,5}, তাই A' ∪ B' = {1,4,5}
{1,4,5} = {1,4,5} ∴ সঠিক 

ঘ) (A ∩ B)' = A' ∩ B' 
(A ∩ B)' = {1,4,5}
A' ∩ B' = {5}
{1,4,5} ≠ {5} ∴ ভুল

অতএব, সঠিক উত্তর: গ) (A ∩ B)' = A' ∪ B'

দেওয়া আছে,
A = {1,2,3} B = ∅
∴ A∪B = {1,2,3} ∪ {∅} = {1,2,3}

(P ∩ Q) = {1, 2, 3} ∩ {3, 4} = {3}
(P ∩ Q) x R = {3} x {x, y}
= {(3, x) (3, y)}

A, B নিশ্ছেদ
∴ A ∩ B = Φ
ফলে n(A ∩ B) = 0
∴ n(A ∪ B) = n(A) + n(B)

প্রশ্ন: f(x) = x³ - 2x + 10 হলে f(0) কত?

সমাধান:
f(x) = x³ - 2x + 10
f(0) = 0³ - 2 × 0 + 10
f(0) = 0 - 0 + 10
f(0) = 10

বাংলায় ফেল ২৫%
গণিতে ফেল ৩৫%
উভয় বিষয়ে ফেল ১৫%
যেকোন একটি বিষয়ে ফেল = (২৫ + ৩৫ - ১৫)%
= ৪৫%
∴ সব বিষয়ে পাশ = (১০০ - ৪৫)%
= ৫৫%

x² = 9
∴ x = ±3
আবার, 2x = 4
∴ x = 2
শর্ত দুইটি পরস্পর সাংঘার্ষিক।
তাই তাদের উপাদান হবে = ∅

প্রশ্ন: n উপাদানবিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
n উপাদানবিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2ⁿ  । 

অর্থাৎ, 
যদি কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা, n = 3 হয়,  
তাহলে,  
প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2ⁿ 
= 2³ 
= 8 

12 - এর উৎপাদকসমূহ = 1, 2, 3, 4, 6, 12
∴ 12 এর গুণনীয়কের সেট = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 3 ≤ x < 9} এবং B = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x ≤ 10} হলে, (A - B) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x ∈ N : 3 ≤ x < 9}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8}

এবং
B = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x ≤ 10}
= {1, 3, 5, 7, 9}

∴ (A - B) = {3, 4, 5, 6, 7, 8} - {1, 3, 5, 7, 9}
= {4, 6, 8}

∴ নির্ণেয় সেট = {4, 6, 8}

সেটের উপাদান সংখ্যা n = 6
পাওয়ার সেটের উপাদান সংখ্যা = 2ⁿ = 2⁶ = 64

প্রশ্ন: U = {a, b, c, d, e, f}, A = {a, b, c}, B = {c, d, e} হলে (A ∪ B)^c = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
U = {a, b, c, d, e, f}
A = {a, b, c}
B = {c, d, e}

∴ A ∪ B = {a, b, c} ∪ {c, d, e}   
= {a, b, c, d, e}

প্রদত্ত রাশি, 
(A ∪ B)^c = U - (A ∪ B)   
= {a, b, c, d, e, f} - {a, b, c, d, e}   
= {f}

প্রশ্ন: n(X ∪ Y) = 70, n(X ∩ Y) = 20 এবং n(Y) = 40 হলে, n(X) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n(X ∪ Y) = 70
n(X ∩ Y) = 20
n(Y) = 40

আমরা জানি, 
n(X ∪ Y) = n(X) + n(Y) - n(X ∩ Y)
⇒ 70 = n(X) + 40 - 20
⇒ 70 = n(X) + 20
⇒ n(X) = 70 - 20
∴ n(X) = 50

∴ n(X) = 50

ভেনচিত্র অনুসারে,
n(A) = 82, n(B) = 79
n(c) = 64,
n(A∩B) = 21,
n(B∩C) = 15,
n(C∩A) = 16,
n(A∩B∩C) = 7
∴ n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(c) - n(A∩B) - n(B∩C) - n(C∩A) + n(A∩B∩C)
= 82 + 79 + 64 - 21 - 15 - 16 + 7
= 180

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : x ≤ 20 এবং x, 5 এর গুণিতক} হলে, A সেটের তালিকা পদ্ধতি কোনটি?

সমাধান:
x এর মান 20 অপেক্ষা ছোট বা সমান এবং 5 এর গুণিতক।
5 এর গুণিতক সমূহ:
1 × 5 = 5
2 × 5 = 10
3 × 5 = 15
4 × 5 = 20
5 × 5 = 25
∴ নির্ণেয় সেট = {5, 10, 15, 20}

দ্যা মরগানের সুত্রানুসারে (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

প্রশ্ন: Q = {x : x ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং x² ≤ 22}; Q সেটের উপাদানগুলো হবে-

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
C = {x : x ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং x² < 22}
এবং ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা মানে, …, - 4, - 3, - 2, - 1

এখন, 
Q সেটের উপাদানগুলো হবে সেইসব ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা (negative integers) যাদের বর্গ 22 এর চেয়ে ছোট বা সমান।
আমরা প্রতিটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার বর্গ করে দেখি,
(- 1)² = 1 (যা 22 এর চেয়ে ছোট)
(- 2)² = 4 (যা 22 এর চেয়ে ছোট)
(- 3)² = 9 (যা 22 এর চেয়ে ছোট)
(- 4)² = 16 (যা 22 এর চেয়ে ছোট)
(- 5)² = 25 (যা 22 এর চেয়ে বড়) ; যা গ্রহণযোগ্য নয় 
সুতরাং, যে ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলোর বর্গ 22 এর চেয়ে ছোট বা সমান, সেগুলো হলো - 1, - 2, - 3, এবং - 4।

অতএব, Q = {- 1, - 2, - 3, - 4}।

A = {1, 2}, B = {1, 3},
∴ A∩B = {1}
এখন, (A∩B)′
= U - (A∩B)
= (1, 2, 3, 4} - {1}
= {2, 4, 3}

প্রশ্ন: A = {x: x ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} এবং B = {x: x ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} হলে, A ∩ B = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
A = {x : x ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা}
∴ A = {1, 2, 3, 4, 5, …}
এবং 
B = {x : x ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা}
∴ B = {…, - 5, - 4, - 3, - 2, - 1}
অর্থাৎ A এবং B-এর মধ্যে কোনো সাধারণ উপাদান নেই।
সুতরাং, A ∩ B = ∅

প্রশ্ন: যদি f(n) = n³ + pn² - 4n - 8 হয়, তবে p এর কোন মানের জন্য f(- 2) = 0 হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
f(n) = n3 + pn2 - 4n - 8
f(- 2) = (- 2)3 + p(- 2)2 - 4(- 2) - 8
= - 8 + 4p + 8 - 8
∴ f(- 2) = 4p - 8

প্রশ্নমতে, 
4p - 8 = 0
⇒ 4p = 8
⇒ p = 8/4
∴ p = 2

সুতরাং,  p এর মান 2 হলে  f(- 2) = 0 হবে।

A × B = {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)}
B × A = {(2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}
∴ {A × B}∩(B × A) = {(2,2), (2,3), (3,2), (3,3)}

প্রশ্ন: একটি স্কুলের ৬০ জন ছাত্রের মধ্যে ২৫ জন ক্রিকেট খেলে কিন্তু ফুটবল খেলে না এবং ৪০ জন ক্রিকেট খেলে। কতজন ছাত্র ফুটবল খেলে কিন্তু ক্রিকেট খেলে না?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট ছাত্র = ৬০ জন
ক্রিকেট খেলে কিন্তু ফুটবল খেলে না = ২৫ জন
ক্রিকেট খেলে = ৪০ জন

ধরি,
শুধুমাত্র ফুটবল খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা = x

প্রশ্নানুসারে,
২৫ + x + (৪০ - ২৫) = ৬০
বা, ২৫ + x + ১৫ = ৬০
বা, x + ৪০ = ৬০
বা, x = ৬০ - ৪০
বা, x = ২০

∴ ২০ জন ছাত্র ফুটবল খেলে কিন্তু ক্রিকেট খেলে না।