সেট, ফাংশন ও ভেনচিত্র

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় ২০০ জন ছাত্রের মধ্যে ১৪০ জন গণিতে, ১২৫ জন বিজ্ঞানে এবং ৯০ জন উভয় বিষয়ে পাস করেছে। কতজন ছাত্র উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
শুধু গণিতে পাস = (১৪০ - ৯০) = ৫০ জন
শুধু বিজ্ঞানে পাস = (১২৫ - ৯০) = ৩৫ জন
উভয় বিষয়ে পাস = ৯০ জন
অতএব, অন্তত একটি বিষয়ে পাস = (৫০ + ৩৫ + ৯০) = ১৭৫ জন

মোট ছাত্র = ২০০ জন
∴ উভয় বিষয়ে ফেল = (২০০ - ১৭৫) = ২৫ জন

অতএব, উভয় বিষয়ে ২৫ জন ছাত্র ফেল করেছে।

প্রশ্ন: A = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 20}, B = {x : x, 6 এর গুণিতক এবং x ≤ 18} এবং C = {2, 4, 6, 8, 10} হয়, তাহলে A ∩ B ∩ C = ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
A = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 20}
∴ A = {4, 8, 12, 16, 20}

B = {x : x, 6 এর গুণিতক এবং x ≤ 18}
∴ B = {6, 12, 18}
এবং C = {2, 4, 6, 8, 10}

তাহলে,
A ∩ B = {4, 8, 12, 16, 20} ∩ {6, 12, 18} 
= {12}

প্রদত্ত রাশি, 
(A ∩ B) ∩ C = {12} ∩ {2, 4, 6, 8, 10}
= ∅
∴ A ∩ B ∩ C = ∅ 

এখনে,
A = {x : x জোড় মৌলিক সংখ্যা} = {2}
∴ n = 1
∴ প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1
= 2¹ - 1
= 2 - 1
= 1

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

প্রশ্ন: B = {p, q, r, s} সেটের উপসেট কয়টি?

সমাধান:
- কোনো সেটের উপাদান থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটি প্রদত্ত সেটের উপসেট।
- ফাঁকা সেট যেকোনো সেটের উপসেট।

দেওয়া আছে,
B = {p, q, r, s}
উপাদানের সংখ্যা, n = 4
∴ উপসেটের সংখ্যা = 2⁴ = 16

প্রশ্ন: P = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 10}, Q = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x < 10} হলে, P ∩ Q এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 10}
Q = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x < 10}

P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Q = {1, 3, 5, 7, 9} 

∴ P ∩ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {1, 3, 5, 7, 9}
= {1, 3, 5, 7, 9}

প্রশ্ন: P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4} এবং R = {x, y} হলে, (P ∪ Q) × R = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {1, 2, 3}
Q = {3, 4}
R = {x, y}

∴ P U Q = {1, 2, 3} ∪ {3, 4}
= {1, 2, 3, 4}

প্রদত্ত রাশি, 
(P ∪ Q) × R
= {1, 2, 3, 4} ×  {x, y}
= {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (3, x), (3, y), (4, x), (4, y)}

প্রশ্ন: C = {x ∈ N : x < 9 এবং x > 10} এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
C = {x ∈ N : x < 9 এবং x > 10} 

x < 9 এবং x > 10 শর্তে C সেটে কোনো উপাদান নেই অর্থাৎ ফাঁকা। 

∴ C = { }

প্রশ্ন: f(x) = (24x + 12)/(6x - 3) হলে, f(1/4) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
f(x) = (24x + 12)/(6x - 3)
∴ f(1/4) = {24 × (1/4) + 12}/{6 × (1/4) - 3}
= (6 + 12)/{(3/2) - 3)
= 18/(- 3/2)
= 18 × (- 2/3)
= - 12

প্রশ্ন: P = {x ∈ N : 5x < 40} হলে, P এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান: 
P = {x ∈ N : 5x < 40}
5x < 40
x < 8

অর্থাৎ 8 এর চেয়ে ছোট সকল স্বাভাবিক সংখ্যা হলো P সেটের উপাদান।
∴ P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

P সেটের উপসেট সংখ্যা = 2⁷ = 128
∴ প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 128 - 1 = 127 টি 

প্রশ্ন: U = {3, 5, 6, 7, 9}, A = {x : x, 3 -এর গুণিতক এবং x < 12}; A - A^C নির্ণয় করুন?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
U = {3, 5, 6, 7, 9}, A = {x : x, 3 -এর গুণিতক এবং x < 12}
12 থেকে ছোট 3 এর সকল গুনিতকের সেট A = {3, 6, 9}

A^C = U - A
= {3, 5, 6, 7, 9} - {3, 6, 9}
= {5, 7}

∴ A\A^C = A - A^C
= {3, 6, 9} - {5, 7}
= {3, 6, 9}

প্রশ্ন: U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, P = {a, b, c, d, e}, Q = {b, d, f, h} হলে, P´ ∩ Q´ হবে?

সমাধান:
P´ = U - P
= {a, b, c, d, e, f, g, h} - {a, b, c, d, e}
= {f, g, h}

Q´ = U - Q
= {a, b, c, d, e, f, g, h} - {b, d, f, h}
= {a, c, e, g}

∴ P´ ∩ Q´ = {f, g, h} ∩ {a, c, e, g}
= {g}

প্রশ্ন: যদি P = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 9} এবং Q = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8} হয়, তবে P ∪ Q এর মান কত?

সমাধান:
P = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 9}
= {1, 3, 5, 7, 9}

Q = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8}

সুতরাং, P ∪ Q = {1, 3, 5, 7, 9} ∪ {3, 4, 5, 6, 7, 8} 
= {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

f(x) = (4x - 7)/(x - 2)
= (4.2 - 7)/(2 – 2)
= 1/0
= অসজ্ঞায়িত

প্রশ্ন: n(P) = 40, n(P ∩ Q) = 10 এবং n(P ∪ Q) = 50 হলে n(Q) = ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n(S) = 100,

n(P) = 40,
n(P ∩ Q) = 10
এবং n(P ∪ Q) = 50

আমরা জানি,
n(P ∪ Q) = n(P) + n(Q) - n(P ∩ Q)
⇒ 50 = 40 + n(Q) - 10
⇒ 50 = n(Q) + 30
⇒ n(Q) = 50 - 30
⇒ n(Q) = 20

প্রশ্ন: ৫০ জন লোকের মধ্যে ৩৫ জন ইংরেজি বলতে পারে, ২৫ জন ইংরেজি ও বাংলা উভয় ভাষা বলতে পারে এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তত একটি বলতে পারে। কেবলমাত্র বাংলা বলতে পারে কতজন?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট লোক = ৫০ জন
শুধু ইংরেজি বা বাংলা বা দুটোই বলতে পারে = ৫০ জন
ইংরেজি বলতে পারে = ৩৫ জন
ইংরেজি ও বাংলা দুটোই বলতে পারে = ২৫ জন

এখন, 
ইংরেজি বলতে পারে মোট = ৩৫ জন
এর মধ্যে দুটো ভাষাই বলতে পারে = ২৫ জন
∴ শুধু ইংরেজি বলতে পারে = ৩৫ − ২৫ = ১০ জন

মোট লোক = শুধু ইংরেজি + শুধু বাংলা + দুটোই
বা, ৫০ = ১০ + শুধু বাংলা + ২৫
∴ শুধু বাংলা = ৫০ - ১০ - ২৫ = ১৫ জন

সুতরাং, কেবলমাত্র বাংলা বলতে পারে ১৫ জন

প্রশ্ন: P সেটের প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা 63 হলে, P সেটের উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
উপাদানের সংখ্যা n হলে প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1

প্রশ্নমতে,
2ⁿ -1 = 63
⇒ 2ⁿ = 63 + 1
⇒ 2ⁿ = 64
⇒ 2ⁿ = 2⁶
∴ n = 6

∴ P সেটের উপাদান সংখ্যা = 6

উপসেট: কোন সেটের উপাদান থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটি প্রদত্ত সেটের উপসেট। ফাঁকা সেট যে কোনো সেটের উপসেট।

প্রকৃত উপসেট: কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেট গুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম তাদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে।

এখানে,
A = {1, 2, 3, 4},
B = {2, 3, 4},
C = {-5, 5}
∴ A ∪ B = {1, 2, 3, 4},
(A ∪ B) - C = {1, 2, 3, 4}

প্রশ্ন: A ও B যথাক্রমে 36 ও 45 এর গুণনীয়ক সেট হলে, (A ∩ B) এর মান কত?
 

সমাধান:
36 এর গুণনীয়ক = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
45 এর গুণনীয়ক = 1, 3, 5, 9, 15, 45
A = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
B = {1, 3, 5, 9, 15, 45}

∴ A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} ∩ {1, 3, 5, 9, 15, 45} 
= {1, 3, 9}

প্রশ্ন: A = {1, 3, 6, 8, 9} সেটের উপসেট সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {1, 3, 6, 8, 9}
সেটটির মোট উপাদান সংখ্যা, n = 5

আমরা জানি, 
উপসেটের সংখ্যা = 2ⁿ =  2⁵ = 32

∴উপসেট সংখ্যা = 32

ডি মরগানের সূত্রানুসারে,
(A ∪ B ∪ C)' = A' ∩ B' ∩ C'

A∩B = {3, 4, 5, 7, 9} ∩ {5, 6, 7, 8, 3, 10}
= {3, 5, 7}

প্রশ্ন: B = {1, 2, 3, 4, 5} হলে, B এর প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা হবে:

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A = {1, 2, 3, 4, 5}

আমরা জানি,
কোন সেটের প্রকৃত উপসেট = 2ⁿ - 1 
এখানে, 
n = সেটের উপাদান সংখ্যা = 3 

∴ প্রকৃত উপসেট = 2ⁿ - 1 
= 2⁵ - 1 
= 32 - 1 
= 31 

Given, f(x) = (3x+4) / (x−5)
= (3.1/3 + 4) / (1/3 - 5)
= (1 + 4) / {(1 - 15)/3}
= 5 / (-14 / 3)
= - 15/14

প্রশ্ন: সেট B = {x : x Fibonacci সংখ্যা এবং x² < 64} হলে, P(B) এর উপাদান কয়টি?

সমাধান: 
আমরা জানি,
Fibonacci সংখ্যা: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... পরপর দুটি সংখ্যার যােগফল পরবর্তী সংখ্যার সমান।
B = {x : x Fibonacci সংখ্যা এবং x² < 64} = {0, 1, 1, 2, 3, 5}    

∴ B এর উপাদান সেট = {0, 1, 2, 3, 5} [∵ সেটে একই উপাদান দুইবার নেয়া যায় না]
B সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, P(B) সেটের উপাদান সংখ্যা হবে 2ⁿ

এখানে, n = 5
∴ P(B) সেটের উপাদান সংখ্যা = 2⁵ = 32টি।

ডিমরগানের উপপাদ্য অনুসারে।

মোট খেলাধূলা করে (৩২ - ৬) = ২৬ জন।
ফুটবল খেলে = ১৬ জন ও ক্রিকেট খেলে = ১৪ জন।
∴ দুটি খেলাই খেলে এমন ছাত্র সংখ্যা = ১৬ + ১৪ - ২৬ = ৪ জন

প্রশ্ন: প্রদত্ত ভেনচিত্রে, যদি A ∩ B = B ∩ C হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {8, x}
B = {x, 6, 4}
C = {4, y}

তাহলে, 
A ∩ B = {8, x} ∩ {x, 6, 4} = x
B ∩ C = {x, 6, 4} ∩ {4, y} = 4

A ∩ B = B ∩ C

∴ x = 4

A এবং B দু'টি স্বাধীন ঘটনার ক্ষেত্রে P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

প্রশ্ন: কোন পরীক্ষায় ৫২% ছাত্র বিজ্ঞানে এবং ৪০% ছাত্র অঙ্কে ফেল করে। যদি উভয় বিষয়ে ২৭% ফেল করে তবে শতকরা কত জন ছাত্র পাস করে? 

x/4 + y = 6 ……..(1)
x - y = 4 …………(2)
(1) নং থেকে, y = 6 - x/4 ……..(3)
(2) নং থেকে x - 6 + x/4 = 4
⇒5x = 40
⇒x = 8
⇒y = 8 - 4 = 4
∴(x, y) = (8, 4)

i. A = {a, b}, B = {a, b, c}
A∪B = {a, b}∪ {a, b, c} = {a, b, c}
ii. A = {a, b, c}, B = {b, c}
A∪B = {a, b, c}∪ {b, c} = {a, b, c}
iii. A = {a, b}, B = {c}
A∪B = {a, b}∪ {c} = {a, b, c}