সেট, ফাংশন ও ভেনচিত্র

শুধু পদার্থবিদ্যায় পাস করে = (৮৫ - ৭৬)%
= ৯%
শুধু রসায়নশাস্ত্রে পাস করে = (৮১ - ৭৬)%
= ৫%
পদার্থবিদ্যা, রসায়নশাস্ত্র এবং উভয় বিষয়ে পাস করে = (৯ + ৫ + ৭৬)%
= ৯০%
∴ উভয় বিষয়ে ফেল করে = (১০০ - ৯০)%
= ১০%

প্রশ্ন: যদি C = {x ∈ N, x হলো 3 এর গুণিতক এবং 3 ≤ x ≤ 15} হয়, তবে P(C) এর সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, C = {x ∈ N, x হলো 3 এর গুণিতক এবং 3 ≤ x ≤ 15}
∴ C = {3, 6, 9, 12, 15}
∴ n(C) = 5

∴ P(C) এর সদস্য সংখ্যা = 2⁵
= 32

প্রশ্ন: কোন পরীক্ষায় ৭৫% গণিতে এবং ৬৫% বাংলায় পাশ করল। উভয় বিষয়ে পাশ করল ৫৫%। উভয় বিষয়ে শতকরা কতজন ফেল করল?

সমাধান:
গণিতে পাশ = n(M) = ৭৫%
বাংলায় পাশ = n(B) = ৬৫%
উভয় বিষয়ে পাশ = n(M ∩ B) = ৫৫%

যে কোনো এক বিষয় বা উভয় বিষয়ে পাশ = n(M ∪ B)

n(M ∪ B) = n(M) + n(B) - n(M ∩ B)
= ৭৫% + ৬৫% - ৫৫%
= ১৪০% - ৫৫%
= ৮৫%

∴ উভয় বিষয়ে ফেল করল = ১০০% - ৮৫%
= ১৫%

প্রশ্ন: A = {x : x, 20 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং B = {x : x, 2 এর গুণিতক এবং x ≤ 20} হলে, A\B কত?

সমাধান:
A = {x : x, 20 এর গুণনীয়কসমূহ}
= {1, 2, 4, 5, 10, 20}

B = {x : x, 2 এর গুণিতক এবং x ≤ 20}
= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}

∴ A\B = {1, 2, 4, 5, 10, 20}\{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
= {1, 5}

x ∈ A ∪ B হলে,
x ∈ A অথবা x ∈ B

উভয় বিষয়ে ফেল x হলে,
১০০% = ৭০% + ৫০% - ৪০% + x
=> x = ১৪০% - ১২০%
∴ x = ২০%

প্রশ্ন: যদি M = {a, b, 1, 2} এবং N = {1, 2} হয়, তবে N - M এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
M = {a, b, 1, 2} এবং N = {1, 2}

প্রদত্ত রাশি, 
N - M = {1, 2} - {a, b, 1, 2} = {}
N - M = {}

অথবা, 
যদি M = {a, b, 1, 2} এবং N = {1, 2} হয়, তবে N - M এর মান হলো একটি খালি সেট, অর্থাৎ ∅ বা {}। এর কারণ হলো N সেটের সকল উপাদান (1 এবং 2) M সেটে উপস্থিত রয়েছে। N - M মানে হলো N সেটের এমন সকল উপাদান যা M সেটে নেই, এবং এই ক্ষেত্রে এমন কোনো উপাদান নেই। 

সুতরাং, N - M = ∅ বা  {}

প্রশ্ন: P(X) = 2/5 এবং P(Y) = 4/7; X ও Y দুটি স্বাধীন ঘটনা হলে P(Y/X) = কত? 

সমাধান: 
X ও Y স্বাধীন ঘটনা, 
∴ P(X ∩ Y) = P(X) × P(Y) 
= (2/5) × (4/7) 
= 8/35 

∴ P(Y/X) = P(X ∩ Y)/P(X) 
= (8/35)/(2/5) 
= 4/7

প্রশ্ন: একটি স্কুলে 150 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে 80 জন ইংরেজি পছন্দ করে, 60 জন গণিত পছন্দ করে এবং 25 জন উভয় বিষয়ই পছন্দ করে। কতজন শিক্ষার্থী কোনো বিষয়ই পছন্দ করে না?

সমাধান:
মোট শিক্ষার্থী = 150
ইংরেজি পছন্দ করে = 80
গণিত পছন্দ করে = 60
উভয় বিষয়ই পছন্দ করে = 25
n(E∪M) = n(E) + n(M) - n(E∩M)
= 80 + 60 - 25
= 115
কোনো বিষয়ই পছন্দ করে না = 150 - 115 = 35 জন।

প্রশ্ন: B = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 18} হলে, B এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
B = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 18}
∴ B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}

এখানে,
B সেটের উপাদান সংখ্যা, n(B) = 6
কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, তার প্রকৃত উপসেট সংখ্যা হলো 2ⁿ - 1.
∴ B এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2⁶ - 1
= 64 - 1
= 63

প্রশ্ন:  f(x) = (2x + 5)/(x - 3) হলে f(4) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে 
f(x) = (2x + 5)/(x - 3)
f(4) = (2 × 4 + 5)/(4 - 3)
f(4) = (8 + 5)/1
∴ f(4) = 13

A = {1, 2, 3, 4, 5},
B = {2, 3},
C = {-5, 5}
∴ A ∩ B = {2, 3}
∴ (A ∩ B) ∪ C = {2,3} ∪ {-5, 5}
= {-5, 2, 3, 5}

প্রশ্ন: যদি E = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 3 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য এবং x < 90} হয় তবে P(E) এর সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
E = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 3 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য এবং x < 90}
3 ও 5 এর লসাগু = 15

90 অপেক্ষা ছোট 3 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো: 15, 30, 45, 60, 75 = 5 টি
∴ P(E) এর সদস্য সংখ্যা = 25
 = 32 টি

প্রশ্ন: যদি P = {1, 2, 3}, Q = {4, 6, 8, 9} হয় এবং P ও Q এর উপাদানগুলোর মধ্যে y = x + 5 সম্পর্ক বিবেচনায় থাকে, তবে সংশ্লিষ্ট অন্বয় কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {1, 2, 3}
Q = {4, 6, 8, 9}

প্রশ্নানুসারে, সংশ্লিষ্ট অন্বয়, R হবে:
R = {(x, y) : x ∈ P, y ∈ Q এবং y = x + 5}

এখন, x ∈ P এর প্রতিটি মানের জন্য y = x + 5 শর্তটি পরীক্ষা করি:
যখন x = 1, তখন y = 1 + 5 = 6। যেহেতু 6 ∈ Q, তাই (1, 6) অন্বয়ে থাকবে।
যখন x = 2, তখন y = 2 + 5 = 7। যেহেতু 7 ∉ Q, তাই (2, 7) অন্বয়ে থাকবে না।
যখন x = 3, তখন y = 3 + 5 = 8। যেহেতু 8 ∈ Q, তাই (3, 8) অন্বয়ে থাকবে।

∴ নির্ণেয় অন্বয়, R = {(1, 6), (3, 8)}

দ্যা মরগ্যানের সূত্র অনুসারে -
সার্বিক সেট U এর যে কোনো উপসেট A ও B এর জন্য -
(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ এবং
(A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

প্রশ্ন: যদি A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {2, 3, 5, 6} এবং C = {4, 7, 8, 9} হয়, তবে (A - B) ∪ C = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},
B = {2, 3, 5, 6}
এবং C = {4, 7, 8, 9}

এখন, A - B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - {2, 3, 5, 6}
= {1, 4, 7}

∴ (A - B) ∪ C = {1, 4, 7} ∪ {4, 7, 8, 9}
= {1, 4, 7, 8, 9}

প্রশ্ন: যদি A = {1, 2, 3, 4} এবং B = {3, 4, 5, 6} হয়, তাহলে A - (A ∩ B) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}

∴ A ∩ B = {1, 2, 3, 4} ∩ {3, 4, 5, 6}
= {3, 4}

∴ A - (A ∩ B)
= {1, 2, 3, 4} - {3, 4}
= {1, 2}

সুতরাং,  A - (A ∩ B) = {1, 2}

সেটের উপাদান সংখ্যা n = 4
প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা  = 2ⁿ - 1 = 2⁴ - 1 = 15

প্রশ্ন: যদি ∇ = {z : z স্বাভাবিক সংখ্যা যা 3 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য এবং z < 90} হয় তবে P(∇) এর সদস্য সংখ্যা কত?

প্রশ্ন: যদি B = {x : x হলো 6, 8 দ্বারা বিভাজ্য এবং x < 100} হয় তবে P(B) এর সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
x যদি 6 এবং 8 উভয় দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে x অবশ্যই 6 এবং 8 এর লসাগু দ্বারা বিভাজ্য হবে।
6 এবং 8 এর লসাগু = 24

এখন, 100 এর চেয়ে ছোট যেসব সংখ্যা 24 দ্বারা বিভাজ্য:
24, 48, 72, 96

সুতরাং, B = {24, 48, 72, 96}
∴ n(B) = 4

আমরা জানি,
যদি কোনো সেটে n সংখ্যক সদস্য থাকে, তবে তার পাওয়ার সেট P(B) এর সদস্য সংখ্যা = 2ⁿ
∴ P(B) এর সদস্য সংখ্যা = 2⁴ = 16

প্রশ্ন: Q = {x ∈ N : x³ < 216} হলে, Q সেটের উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
এখানে
N = স্বাভাবিক সংখ্যার সেট
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,......}

ধরি,
Q = {x ∈ N : x³ < 216}
এখন,
x = 1 হলে, 1³ = 1 < 216
x = 2 হলে, 2³ = 8 < 216
x = 3 হলে, 3³ = 27 < 216
x = 4 হলে, 4³ = 64 < 216
x = 5 হলে, 5³ = 125 < 216
x = 6 হলে, 6³ = 216 < 216 ; ​যা সত্য নয় ।
 
নির্ণেয় সেট Q = {1, 2, 3, 4, 5}
∴ Q সেটের উপাদান সংখ্যা = 5

প্রশ্ন: n সংখ্যক উপাদান রয়েছে এমন একটি সেটের মোট কতগুলো উপসেট থাকতে পারে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n উপাদানবিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2ⁿ
উদাহরণ, যদি কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা, n = 4  হয়,
তাহলে, প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2ⁿ
= 2⁴
= 16

প্রশ্ন: কোনো ক্লাসে ২৫০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় ১৫০ জন পদার্থবিজ্ঞানে, ১৭০ জন রসায়নে এবং ১২০ জন উভয় বিষয়ে পাস করেছে।  তাহলে কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
মোট শিক্ষার্থী = ২৫০ জন

শুধুমাত্র পদার্থবিজ্ঞানে পাস করেছে = (১৫০ - ১২০) জন = ৩০ জন
শুধুমাত্র রসায়নে পাস করেছে = (১৭০ - ১২০) জন = ৫০ জন

যেকোনো একটি বা উভয় বিষয়ে পাস করেছে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা
= (৩০ + ৫০ + ১২০) জন = ২০০ জন

উভয় বিষয়ে ফেল করেছে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা
= (মোট শিক্ষার্থী - যেকোনো একটি বা উভয় বিষয়ে পাস করা শিক্ষার্থী)
= (২৫০ - ২০০) জন = ৫০ জন

সুতরাং, ৫০ জন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে।

42 এর গুণনীয়ক সমূহ 1,2,3,6,7,14,21,42
A ={1,2,3,6,7,14,21,42}
70 এর গুণনীয়ক সমূহ 1,2,5,7,10,14,35,70
B ={1,2,5,7,10,14,35,70}
A∩B= {1,2,3,6,7,14,21,42}∩ {1,2,5,7,10,14,35,70}
= {1, 2, 7, 14}

একটি সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, ঐ সেটের শক্তি সেটের প্রকৃত উপসেট সংখ্যা 

= ( ২ⁿ - ১ ) টি।

সুতরাং, একটি সেটের উপাদান সংখ্যা ৫ হলে, ঐ সেটের শক্তি সেটের প্রকৃত উপসেট সংখ্যা 

= ( ২^৫ - ১ )

= ৩২ - ১

= ৩১

প্রশ্ন: A = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা এবং x ≤ 5 হলে}, P(A) এর উপাদান সংখ্যা হবে: 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা এবং x ≤ 5 হলে}

A সেটের উপাদান হবে স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 5 এর সমান বা 5 থেকে ছোট [স্বাভাবিক সংখ্যা সাধারণত শুরু হয় 1 থেকে।] 
∴ A = {1, 2, 3, 4, 5}

A-এর উপাদান সংখ্যা, n(A) = 5

আমরা জানি, 
যেকোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, তার শক্তি সেট (power set)-এর উপাদান সংখ্যা = 2ⁿ
∴ P(A)-এর উপাদান সংখ্যা = 2⁵ ; [এখানে n(A) = 5] 
= 32

সুতরাং, P(A) এর উপাদান সংখ্যা 32.

50 জন লোকের মধ্যে ইংরেজিতে কথা বলেন 35 জন, উভয় ভাষায় 25 জন।
শুধু, ইংরেজিতে কথা বলতে পারেন (35 - 25) = 10 জন।
ধরি, শুধু বাংলায় কথা বলতে পারেন x জন।
∴ 10 + 25 + x = 50
x = 15
∴ বাংলায় কথা বলতে পারেন = 15 + 25 = 40 জন।

প্রশ্ন: যদি g(x) = x³ + ax² - 4x - 8 হয়, তবে a এর কোন মানের জন্য g(-1) = 0?

সমাধান:
g(x) = x³ + ax² - 4x - 8
g(-1) = (- 1)³ + a(-1)² - 4(- 1) - 8
= - 1 + a + 4 - 8
= a - 5
প্রশ্নানুসারে,
g(- 1) = 0
⇒ a - 5 = 0
⇒ a = 5

A এর উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ = 2⁴ = 16 টি।
A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 16 - 1
= 15 টি।

প্রশ্ন: {y ∈ N এবং y² - 16 = 0} সেটটির তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
y² - 16 = 0
⇒ y² = 16
⇒ y = √16
∴ y = ± 4

কিন্তু y স্বাভাবিক সংখ্যা তাই ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ y = 4

পাওয়ার সেট/সূচক সেটঃ
কোন সেটের উপসেটসমূহের সেটকে ঐ সেটের শক্তি সেট (Power set) বলে । কোন সেট A এর পাওয়ার সেটকে P(A) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
পাওয়ার সেট বা সূচক সেটের সংঞ্জানুসারে প্রশ্নটি প্রণীত।

প্রশ্ন: যদি B = {x ∈ N, x হলো জোড় সংখ্যা এবং 2 ≤ x ≤ 10} হয়, তবে P(B) এর সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
B = {x ∈ N, x হলো জোড় সংখ্যা এবং 2 ≤ x ≤ 10}
∴ B = {2, 4, 6, 8, 10}

∴ P(A) এর সদস্য সংখ্যা = 2ⁿ = 2⁵
= 32