সেট, ফাংশন ও ভেনচিত্র

দেওয়া আছে,
A = {4, 5, 6, 7}
এবং B = {3, 6, 8, 9}
এখন, A∪B = {4, 5, 6, 7} ∪ {3, 6, 8, 9}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

প্রশ্ন: P = {x : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং Q = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12} হলে P - Q = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {x : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ}
এখানে, 12 এর গুণনীয়কসমূহ: 1, 2, 3, 4, 6, 12
∴ P = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

আবার,
Q = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12}
এখানে, 12 পর্যন্ত 3 এর গুণিতকসমূহ: 3, 6, 9, 12
∴ Q = {3, 6, 9, 12}

এখন,
P - Q = {1, 2, 3, 4, 6, 12} - {3, 6, 9, 12}
= {1, 2, 4}

নির্ণেয় সেট: {1, 2, 4}

আমরা জানি, ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = 2;
∴ মৌলিক সংখ্যার সেটের ক্ষদ্রতম উপাদান 2

প্রশ্ন: যদি Q = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 6 ও 8 দ্বারা বিভাজ্য এবং x ≤ 96} হয়, তবে P(Q) এর সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 6 ও 8 দ্বারা বিভাজ্য এবং x ≤ 96}
6 ও 8 এর লসাগু = 24
96 অপেক্ষা ছোট বা সমান, 6 ও 8 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো: 24, 48, 72, 96 = 4 টি

∴ P সেটের সদস্য সংখ্যা = 4
∴ P(Q) এর সদস্য সংখ্যা = 2⁴
= 16 টি

প্রশ্ন: A ও B দুটি সসীম সেট। যদি n(A) = 18, n(B) = 24 এবং n(A ∪ B) = 30 হয়, তাহলে n(A ∩ B) = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
n(A) = 18, n(B) = 24 এবং n(A ∪ B) = 30

আমরা জানি, 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) 
∴ n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A ∪ B) 
= 18 + 24 - 30
= 42 - 30
= 12 

B-A = {5, 6, 7, 8, 10} - {3, 4, 5, 6, 7}
= {8, 10}

এখানে,
বাংলায় কথা বলে n(B) = ১২ জন
ইংরেজিতে কথা বলে n(E) = ৮ জন
উভয় ভাষায় কথা বলে n(B ∩ E) = ৬ জন
∴ যেকোন একটি ভাষায় কথা বলে,
n(B ∪ E) = n(B) + n(E) - n(B ∩ E)
= ১২ + ৮ - ৬
= ১৪
∴ কোন ভাষায় কথা বলতে পারেনা = ২৪ - ১৪
= ১০ জন

A′ = U - A = {1,2,3,4,5,6} - {1,2,3} = {4,5,6}
B′ = U - B = {1,2,3,4,5,6} - {2,4,6} = {1,3,5}
∴ A′ ∩ B′ = {4,5,6} ∩ {1,3,5} = {5}

n(A∪B) = 100, n(A) = 80, n(A∩B) = 25,  n(B) =?
∴ n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)
বা, 100 = 80 + n(B) - 25
বা, n(B) = 100 - 80 + 25 = 45

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় ১৫০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে ১১০ জন ইংরেজিতে, ১০০ জন ইতিহাসে এবং ৮০ জন উভয় বিষয়ে পাস করেছে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
শুধু ইংরেজিতে পাস করেছে = (১১০ - ৮০) জন = ৩০ জন
শুধু ইতিহাসে পাস করেছে = (১০০ - ৮০) জন = ২০ জন
উভয় বিষয়ে পাস করেছে = ৮০ জন
যেকোনো একটি বিষয় এবং উভয় বিষয়ে পাস করেছে = (৩০ + ২০ + ৮০) জন = ১৩০ জন
উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = (১৫০ - ১৩০) জন = ২০ জন

অতএব, উভয় বিষয়ে ২০ জন শিক্ষার্থী ফেল করেছে।

প্রশ্ন: A = {x : x, বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 1 < x < 7} এবং B = {x : x, 8 এর গুণনীয়কসমূহ} তাহলে A ∩ B এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A = {x : x, বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 1 < x < 7}
∴ বিজোড় সংখ্যা যেগুলো 1 এর চেয়ে বড় এবং 7 এর চেয়ে ছোট সেই সংখ্যা গুলো হলো - 3, 5
∴ A = {3, 5}

এবং 
B = {x : x, 8 এর গুণনীয়কসমূহ}

8 এর গুণনীয়কসমূহ = 1, 2, 4, 8
∴ B = {1, 2, 4, 8}

∴ A ∩ B = {3, 5} ∩ {1, 2, 4, 8} = ∅ ; (অর্থাৎ কোনো সাধারণ উপাদান নেই)

অপশনগুলো R⊂C, R⊂B, R⊆C×B, C×B⊆R হলে গ হতো উত্তর

প্রশ্ন: সার্বিক সেট U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 6} এবং C = {1, 3, 5, a, b,} হলে, (A' ∪ B') ∩ C =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
A = {2, 4, 6}
এবং B = {1, 3, 6}

A' = U - A
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {2, 4, 6}
= {1, 3, 5}

B' = U - B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {1, 3, 6}
= {2, 4, 5}

A' ∪ B' = {1, 3, 5} ∪ {2, 4, 5}
= {1, 2, 3, 4, 5}

∴ (A′ ∪ B′) ∩ C = {1, 2, 3, 4, 5} ∩ {1, 3, 5, a, b} = {1, 3, 5}

(ক) এর ছেদ সেট = {1, 2, 3}

(খ) এর ছেদ সেট = {0}

(গ) এর সেটসমূহ {2, 3} ও {5}
∴ ছেদ সেট = Φ

(ঘ) এর সেট সমূহ = {4, 8, 12, 16, 20, 24....} ও {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24......}
∴ ছেদ সেট = {12, 24....}

প্রশ্ন: 100 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে 94 জন বাংলায়, 80 গণিতে এবং 75 জন উভয় বিষয়ে পাশ করে। কতজন শিক্ষার্থী এক এবং উভয় বিষয়ে পাশ করে?

সমাধান:
বাংলায় পাশ করেছে, n(A) = 94 জন
গণিতে পাশ করেছে, n(B) = 80 জন
উভয় বিষয়ে পাশ করেছে, n(A ∩ B) = 75 জন

∴ এক এবং উভয় বিষয়ে পাশ করে,
অর্থাৎ, কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ করেছে, A ∪ B = A + B - (A ∩ B)
= 94 + 80 - 75
= 174 - 75
= 99 

শুধু বাংলায় পাস করেছে = (৯১ - ৭০) জন।
= ২১ জন।
শুধু গণিতে পাস করেছে = (৭৭ - ৭০) জন।
= ৭ জন।
উভয় বিষয় ফেল করেছে = ১০০ - (৭০ + ২১ + ৭) জন।
= (১০০ - ৯৮) জন।
= ২ জন।

প্রশ্ন: A = {4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4} হলে, A ও B এর ছেদ সেট এর মান কোনটি? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে 
A = {4, 5, 6, 7}
B = {0, 1, 2, 3, 4}

A ও B এর ছেদ সেট = A ∩ B
 A ∩ B = {4, 5, 6, 7} ∩ {0, 1, 2, 3, 4}
= {4}

প্রশ্ন: যদি A = {1, 2, 3} এবং B = {2, 3, 5} হয় তাহলে A\B = কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
A = {1, 2, 3}
B = {2,3, 5}

A\B = {1, 2, 3}\{2, 3, 5}
= {1}

প্রশ্ন: যদি কোনো সেটের nটি উপাদান থাকে, তবে সেই সেটের সকল প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা কত?

সমাধান:
উপসেট (Subset):
- কোনো সেটের উপাদানগুলো নিয়ে যতগুলো নতুন সেট গঠন করা যায়, তাদের প্রত্যেকটিকে মূল সেটের উপসেট বলে।
- কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, তার মোট উপসেটের সংখ্যা হয় 2ⁿ।
- ফাঁকা সেট (∅) এবং মূল সেট নিজেও তার উপসেট।

প্রকৃত উপসেট (Proper Subset):
- মূল সেট ব্যতীত বাকি সব উপসেটকে প্রকৃত উপসেট বলা হয়।
- অর্থাৎ, একটি সেটের সকল উপসেটের মধ্য থেকে শুধু মূল সেটটিকে বাদ দিলেই প্রকৃত উপসেটগুলো পাওয়া যায়।

- যেহেতু মোট উপসেটের সংখ্যা 2ⁿ এবং এর মধ্যে একটি হলো মূল সেট নিজেই, তাই প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা হবে 2ⁿ - 1।

P x Q = {2, 3, 4} x {4, 6}
= {(2, 4), (2, 6), (3, 4), (3, 4), (4, 4), (4, 6)}
R = {(2, 4), (3, 6)}
নির্নেয় অন্বয় {(2, 4), (3, 6)}

- কোনো উপাত্তে যে সংখ্যা সর্বাধিক বার উপস্থাপিত হয়, সেই সংখ্যাই উপাত্তের প্রচুরক।
- ৩, ৫, ৪, ৫, ৬, ৯, ৪, ৭, ৫, ৩, ৯ উপাত্তগুলোর মধ্যে ৫ সর্বাধিক ৩ বার আছে।
- সুতরাং প্রদত্ত উপাত্তগুলোর প্রচুরক = ৫।

g(x) = x² - 1
∴ g(2) = 2² - 1
= 4 - 1
= 3
এখন, f(x, y) = x²y², f{2, g(2)}
= f(2, 3)
= 2².3²
= 36

প্রশ্ন: যদি M = {a, b, 1, 2} এবং N = {1, 2} হয়, তবে N - M এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
M = {a, b, 1, 2} এবং N = {1, 2}

প্রদত্ত রাশি, 
N - M = {1, 2} - {a, b, 1, 2} = { }
N - M = { }

অথবা, 
যদি M = {a, b, 1, 2} এবং N = {1, 2} হয়, তবে N - M এর মান হলো একটি খালি সেট, অর্থাৎ ∅ বা { }। এর কারণ হলো N সেটের সকল উপাদান (1 এবং 2) M সেটে উপস্থিত রয়েছে। N - M মানে হলো N সেটের এমন সকল উপাদান যা M সেটে নেই, এবং এই ক্ষেত্রে এমন কোনো উপাদান নেই। 

সুতরাং, N - M = ∅ বা  {}

প্রশ্ন: যদি U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 4} এবং B = {2, 4, 5} হলে A' U B' = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
U = {1, 2, 3, 4, 5},
A = {1, 2, 4}
এবং B = {2, 4, 5}

A‘ = U - A = {1, 2, 3, 4, 5} - {1, 2, 4}
= {3, 5}

এবং 
B’ = U - B = {1, 2, 3, 4, 5} - {2, 4, 5}
= {1, 3}

∴ A‘ U B’ = {3, 5} U {1, 3}
= {1, 3, 5}

n(A ∪ B)
= n(A) + n(B) - (A ∩ B)
= 40 + 64 – 13
= 91

P সেটের উপাদান সমূহ 4, 8, 12, 16, 20
এখানে, প্রত্যেকটি উপাদান জোড় সংখ্যা, 4- এর গুণিতক এবং 20 - এর চেয়ে বড় নয়
P = {x:x স্বাভাবিক সংখ্যা, 4 এর গুণিতক এবং x≤20}

প্রশ্ন: যদি n(A ∪ B) = 85, n(A) = 37 এবং n(B) = 63 হয়, তাহলে n(A ∩ B) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n(A ∪ B) = 85
n(A) = 37
n(B) = 63

আমরা জানি, সংযোগ সেটের সূত্র হলো:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
বা, 85 = 37 + 63 - n(A ∩ B)
বা, 85 = 100 - n(A ∩ B)
বা, n(A ∩ B) = 100 - 85
∴ n(A ∩ B) = 15

প্রশ্ন: স্কুলের বার্ষিক ক্রীড়া প্রতিযোগিতায় ১৫ জন ১০০ মিটার দৌড়ে, ১২ জন ২০০ মিটার দৌড়ে এবং ৭ জন দুটিতেই অংশগ্রহণ করে। ৩ জন প্রতিযোগী কোনোটিতেই অংশগ্রহণ না করলে মোট প্রতিযোগীর সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
কোনোটিতেই অংশগ্রহণ করে না = ৩ জন 
উভয় খেলায় অংশগ্রহণ করে = ৭ জন 
শুধু ১০০ মিটার দৌড়ে অংশগ্রহণ করে = (১৫ - ৭) জন 
= ৮ জন 

আবার, 
শুধু ২০০ মিটার দৌড়ে অংশগ্রহণ করে = (১২ - ৭) জন 
= ৫ জন 

∴ মোট প্রতিযোগীর সংখ্যা = (৩ + ৭ + ৮ + ৫) জন 
= ২৩ জন। 

এখানে, n(F) = 30, n(C) = 25 এবং n(F ∩ C) =11
আমরা জানি, n(F U C) = n(F) + n(C) – n(F ∩ C)
= 30 + 25 - 11
= 44
∴ অন্তত একটি খেলা পছন্দ করে 44 জন।
∴ কোনটিই পছন্দ করে না = 50 - 44 = 6 জন।

প্রশ্ন: যদি U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} এবং P = {2, 3, 5} এবং Q = {4, 6} হয়, তবে P ∩ Q' = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 
P = {2, 3, 5} এবং Q = {4, 6}

এখন, Q' = U - Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - {4, 6}
= {1, 2, 3, 5, 7}

P ∩ Q' = {2, 3, 5} ∩ {1, 2, 3, 5, 7} = {2, 3, 5} = P

∴ P ∩ Q' = P